目 錄
第一部分 復 變 函 數
第一章 復數和復變函數
1.1復數及其運算規則
1.2復數的幾何錶示
1.3復數序列
1.4復變函數
1.5復變函數的極限和連續
1.6無窮遠點
1.7正十七邊形問題
第二章 解析函數
2.1導數
2.2解析函數
2.3初等函數
2.4多值函數
2.5解析函數的變換性質
第三章 復變積分
3.1復變積分
3.2單連通區域的Cauchy定理
3.3復連通區域的Cauchy定理
3.4Cauchy積分公式
3.5解析函數的高階導數
3.6Cauchy積分公式的幾個重要推論
3.7Poisson公式
第四章 無窮級數
4.1 復數級數
4.2二重級數
4.3 函數級數
4.4冪級數
4.5含參量的積分的解析性
4.6Euler求和公式
4.7發散級數與漸近級數
第五章 解析函數的局域性展開
5.1解析函數的Tay lor展開
5.2Taylor級數求法舉例
5.3解析函數的Laurent展開
5.4Laurent級數求法舉例
5.5單值函數的孤立奇點
5.6Bernoulli數和Euler數
5.7整函數和亞純函數
第六章 二階綫性常微分方程的冪級數解法
6.1二階綫性常微分方程的常點和奇點
6.2方程常點鄰域內的解
6.3方程正則奇點鄰域內的解
6.4Bessel方程的解
6.5方程非正則奇點附近的解
第七章 解析延拓
7.1 解析函數的零點孤立性和解析函數的唯一性
7.2解析延拓
第八章 留數定理及其應用
8.1留數定理
8.2有理三角函數的積分
8.3無窮積分
8.4含三角函數的無窮積分
8.5實軸上有奇點的情形
8.6多值函數的積分
8.7應用留數定理計算無窮級數的和
8.8留數定理的其他應用
第九章 T函數
9.1 T函數的定義
9.2T函數的基本性質
9.3T函數值的計算
9.4ψ函數
9.5B函數
9.6ι函數的無窮乘積錶示
9.7T函數的漸近展開
9.8幾個特殊函數公式的訂正
9.9Riemannζ函數和Mobius變換
第十章 Laplace變換
10.1Laplace變換
10.2Laplaw變換的基本性質
10.3Laplace變換的反演
10.4普遍反演公式
105 利用Laplace變換計算級數和
第十一章 δ函數
11.1δ函數
11.2利用δ函數計算定積分
11.3常微分方程初值問題的Green函數
11.4 常微分方程邊值問題的Green函數
第二部分 數學物理方程
第十二章 數學物理方程和定解條件
12.1弦的橫振動方程
12.2杆的縱振動方程
12.3熱傳導方程
12.4穩定問題
12.5邊界條件與初始條件
12.6內部界麵上的連接條件
12.7定解問題的適定性
第十三章 綫性偏微分方程的通解
13.1綫性偏微分方程解的疊加性
13.2常係數綫性齊次偏微分方程的通解
13.3常係數綫性非齊次偏微分方程的通解
13.4特殊的變係數綫性齊次偏微分方程
13.5波動方程的行波解
13.6波的耗散和色散
13.7 熱傳導方程的定性討論
13.8 Laplace方程的定性討論
第十四章 分離變量法
14.1兩端固定弦的自由振動
14.2矩形區域內的穩定問題
14.3多於兩個自變量的定解問題
14.4兩端固定弦的強迫振動
14.5非齊次邊界條件的齊次化
第十五章 正交麯麵坐標係
15.1正交麯麵坐標係
15.2正交麯麵坐標係中的Laplace算符
15.3Laplace算符的平移、轉動和反射不變性
15.4圓形區域
15.5Helmholtz方程在柱坐標係下的分離變量
15.6Helmholtz方程在球坐標係下的分離變量
第十六章 球函數
16.1Legendre方程的解
16.2Legendre多項式
16.3Legendre多項式的微分錶示
16.4Legendre多項式的正交完備性
16.5Legendre多項式的生成函數
16.6Legendre多項式的遞推關係
16.7Legendre多項式應用舉例
16.8圓盤的引力勢與靜電勢
16.9連帶Legendre函數
16.10 球麵調和函數
16.11 超幾何函數
第十七章 柱函數
17.1Bessel函數的基本性質
17.2Neumann函數
17.3柱函數
17.4Bessel方程的本徵值問題
17.5含Bessel函數的積分
17.6Hankel函數
17.7虛宗量Bessel函數
17.8Kelvin函數
17.9半奇數階Bessel函數
17.10Airy函數
17.11球Bessel函數
17.12閤流超幾何函數
附錄 涉及Bessel函數的常微分方程
第十八章 分離變量法總結
18.1內積空間
18.2函數空間
18.3自伴算符的本徵值問題
18.4SturmLiouville型方程的本徵值問題
18.5Sturm－Liouville型方程本徵值問題的簡並現象
18.6從Sturm－Liouville型方程本徵值問題看分離變量法
18.7關於正交多項式的一般討論
第十九章 積分變換的應用
19.1Laplace變換
19.2Fourier變換
19.3半無界空間的情形
19.4關於積分變換的一般討論
19.5小波變換簡介
第二十章 Green函數方法
20.1Green函數的概念
20.2穩定問題Green函數的一般性質
20.3三維無界空間Helmholtz方程的Green函數
20.4圓內Poisson方程第一邊值問題的Green函數
20.5三維調和函數的均值定理與極值原理
20.6波動方程的Green函數
20.7熱傳導方程的Green函數
第二十一章 變分法初步
21.1泛函的概念
21.2泛函的極值
21.3泛函的條件極值
21.4微分方程定解問題和本徵值問題的變分形式
21.5變邊值問題
21.6Rayleigh－Ritz方法
第二十二章 數學物理方程綜述
22.1二階綫性偏微分方程的分類
22.2綫性偏微分方程解法述評
22.3非綫性偏微分方程問題
22.4結束語
參考書目
外國人名譯名對照錶
· · · · · · (收起)