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出版者:Springer

作者:Thomas Jech

出品人:

页数:772

译者:

出版时间:2011-9-8

价格:USD 219.00

装帧:Paperback

isbn号码:9783642078996

丛书系列:

图书标签:

• 神作么……
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《集合论》是一本深入探索数学基石的著作，它并非一本虚构的叙事，也不是对某个特定领域的泛泛而谈。相反，它是一次严谨、系统且富有启发性的思维之旅，带领读者走进构成现代数学的抽象世界。这本书的核心在于“集合”这一基本概念，并通过对其性质、运算和关系的细致分析，构建起一套强大的数学语言和工具。 首先，本书将从集合最直观的定义出发，解释什么是集合，以及如何描述一个集合。我们将探讨集合的两种基本表示方法：外延式（列举法）和内涵式（描述法）。外延式清晰明了，直接列出集合中的所有元素；而内涵式则通过描述元素的共同属性来定义集合，这种方式在处理无限集合时尤为重要。读者将学会如何区分集合及其元素，理解集合的唯一性原则，例如 {1, 2, 3} 与 {3, 1, 2} 是同一个集合，而 {1, 1, 2} 则等同于 {1, 2}。 接着，本书将重点介绍集合之间的基本关系。首先是“属于”关系（∈），这是集合论中最基础的联系，表明一个元素是否是某个集合的成员。在此之上，我们将深入探讨“子集”关系（⊆），理解一个集合的全部元素是否都包含在另一个集合之中。这将区分真子集与普通子集，并引发对“空集”（∅）的讨论——一个不包含任何元素的特殊集合，它却是所有集合的子集。同时，我们也会研究“相等”关系，探讨两个集合在什么条件下可以被认为是完全相同的。 集合论的魅力还在于它提供了丰富的集合运算，这些运算就像是逻辑上的“加减乘除”，允许我们构建新的集合，发现元素之间的联系。本书将详尽讲解以下几种核心运算： 并集（∪）：将两个集合的元素合并，得到包含所有这些元素的全新集合。例如，集合 A={1, 2} 和集合 B={2, 3} 的并集 A∪B={1, 2, 3}。我们将探讨并集的性质，如交换律和结合律。 交集（∩）：找出两个集合共有的元素。例如，集合 A={1, 2} 和集合 B={2, 3} 的交集 A∩B={2}。我们将分析交集的性质，以及当两个集合没有共同元素时，它们的交集为空集。 差集（-）：从一个集合中移除另一个集合中存在的元素。例如，集合 A={1, 2, 3} 和集合 B={2, 4} 的差集 A-B={1, 3}。我们将理解差集的不同方向性，即 A-B 与 B-A 的区别。 补集（A' 或 A^c）：在给定一个全集 U 的前提下，补集指的是不属于集合 A 但属于全集 U 的所有元素。例如，如果全集 U={1, 2, 3, 4, 5}，集合 A={1, 2}，那么 A 的补集 A'={3, 4, 5}。我们将探讨补集与自身、空集以及其他集合运算的关系。 本书不仅会介绍这些基本运算，还会深入探讨它们之间的联系，例如德摩根定律（De Morgan's Laws），它们揭示了并集、交集和补集之间的深刻关系，是集合论推理中不可或缺的工具。 在掌握了集合和基本运算之后，本书将逐步引入更高级的概念。一个重要的领域是笛卡尔积（×），它允许我们将不同集合中的元素进行组合，形成有序对的集合。例如，集合 A={1, 2} 和集合 B={a, b} 的笛卡尔积 A×B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)}。笛卡尔积是构建关系和函数的基础，它在计算机科学、图论等领域有着广泛的应用。 本书还会探讨幂集（P(A)）的概念，即一个集合所有子集的集合。对于一个有限集合 A，如果它有 n 个元素，那么它的幂集将有 2^n 个元素。幂集的概念为我们打开了思考集合“上的集合”的可能性，也是进一步研究更复杂数学结构的起点。 本书的一个关键部分将是集合的基数（Cardinality）。基数用来衡量集合中元素的“数量”。对于有限集合，基数就是其元素的个数。然而，集合论的真正力量在于它能够处理无限集合。我们将介绍区分不同“大小”的无限集合的概念，即可数无限（Countably Infinite）和不可数无限（Uncountably Infinite）。通过康托尔（Cantor）的对角线论证等经典证明，读者将领略到，数学中存在的无限并非只有一个层面，而是存在着不同等级的无限。这将颠覆直观的认识，揭示数学世界的奇妙与深刻。 在讲解了这些核心概念后，本书将进一步深入到关系（Relations）和函数（Functions）的理论。关系可以被看作是笛卡尔积的子集，它描述了元素之间存在的联系。我们将研究各种类型的关系，例如自反性（Reflexivity）、对称性（Symmetry）和传递性（Transitivity），这些性质对于定义和理解数学结构至关重要。例如，相等关系和小于等于关系就具有不同的性质组合。 函数则是一种特殊的二元关系，它要求每个输入元素对应唯一的输出元素。我们将详细讨论函数的定义、性质（如单射、满射、双射）、复合运算以及反函数。函数是数学中描述变化和映射的核心工具，几乎渗透到数学的每一个分支。 最后，本书还将触及集合论的一些基础性话题，例如公理化方法（Axiomatic Approach）。我们将介绍集合论的标准公理系统，例如策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC），并解释这些公理的作用——它们是如何被设计来避免悖论（如罗素悖论），并为整个数学提供一个坚实的基础。理解公理系统，有助于读者认识到数学并非空中楼阁，而是建立在一系列基本假设之上。 总而言之，《集合论》是一本旨在为读者构建坚实数学基础的指南。它不是关于历史事件的编年史，也不是关于某个特定科学发现的报告，更不是一个虚构故事的载体。它是一次抽象思维的训练，一次逻辑推理的实践，一次对数学语言深刻理解的探险。通过这本书，读者将掌握一套理解和构建数学世界的强大语言，为进一步探索微积分、代数、拓扑学等更复杂的数学领域打下坚实的基础。它是一扇门，通往那个由精确、抽象和深刻洞见构成的数学宇宙。

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**评价三：信息量巨大，但组织结构略显松散的知识合集** 坦白说，这本书的内容密度高得惊人，涵盖了从古典集合论到现代公理化体系的诸多方面，信息量绝对是教科书级别的。然而，我个人在阅读体验上遇到了一些小小的挑战。尽管每个章节的知识点都非常扎实，但在章节之间的过渡和主题的衔接上，有时候会感觉有些跳跃。比如，前一页还在讨论洛文海姆-斯科伦定理的直观含义，下一页似乎就直接跳到了关于选择公理的独立性证明的讨论，中间缺乏一个足够平滑的过渡层，使得初次接触这些高级概念的读者可能会感到应接不暇，需要花费大量时间自行梳理知识点之间的内在联系。这感觉就像是站在一个巨大的知识宝库前，里面的宝藏琳琅满目，但没有清晰的导览图指引，需要读者自己去摸索路径。如果作者能在章节间的逻辑串联上再多花些笔墨，这本书的整体阅读体验将会有质的飞跃。

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**评价五：装帧精美，适合案头常备的参考手册** 从实体书的角度来看，这本书的制作质量非常出色。纸张的触感温润，印刷清晰锐利，即便是最复杂的公式和图表也毫无模糊之感。这使得它非常适合作为案头的常备参考书。我发现自己经常会翻阅其中的一些关键定义或定理的表述部分，仅仅是为了欣赏其语言的简洁与精确。虽然我可能不会一次性从头读到尾，但它提供的那些详尽的术语索引和定理归纳，在遇到具体问题需要快速查阅时，表现得极为高效。它不像是一本需要快速读完的小说，更像是一部随时可以取用的工具箱，里面的每件工具——无论是定义、引理还是证明的关键步骤——都摆放得井井有条。这种扎实的手感和可靠的排版，让我在学习的间隙，仅仅是抚摸书页和浏览目录时，都能感受到知识的厚重感，是一种非常实在的阅读体验。

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**评价二：结构严谨，逻辑链条无懈可击的哲学思辨** 这本书的深度和广度远远超出了我最初的预期，它不仅仅是关于数字和元素的简单罗列，更是一场关于“存在”和“定义”的深刻哲学思辨。作者在构建理论体系时所展现出的那种近乎偏执的逻辑严密性令人叹服。每一个定义都建立在前一个定义之上，环环相扣，构成了一个坚不可摧的知识城堡。我特别欣赏作者在处理一些经典悖论时的态度——不回避矛盾，而是正视它们，并展示现代数学是如何通过更精细的框架来解决这些困境的。阅读过程中，我常常需要停下来，反复咀嚼那些看似简单的公理，思考它们在更宏大的数学世界中的基石地位。这迫使我跳出日常经验的限制，进入一种纯粹、抽象的思维模式。对于那些追求学术深度，渴望理解数学底层逻辑的读者来说，这本书提供了无与伦比的洞察力。它不提供廉价的答案，而是教你如何以最严谨的方式提问。

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**评价一：深入浅出的数学之旅** 这本书简直是为那些对数学基础充满好奇，又常常被抽象概念吓退的读者量身定做的。作者的叙述方式非常平易近人，仿佛一位经验丰富的导师在身边细心引导。它并非那种堆砌着晦涩术语的教科书，而是更像是一场精心设计的探索之旅。从最基本的集合概念，到后来的并集、交集这些操作，每一步都伴随着清晰直观的例子和类比。尤其让我印象深刻的是，作者并没有急于展示复杂的证明，而是首先确保读者能够真正“理解”这些概念在实际问题中是如何运作的。例如，在讲解集合的基数时，通过生活化的例子将无限的概念具象化，这极大地降低了我的理解门槛。读完第一部分，我对数学语言的严谨性有了一个全新的认识，不再觉得它们是高高在上的装饰，而是精确表达思想的有力工具。这种由浅入深、循序渐进的教学法，使得阅读过程既轻松又充满成就感。我强烈推荐给所有希望建立扎实数学思维框架的初学者。

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**评价四：对高等数学背景读者的进阶指南** 对于已经掌握了基础微积分和线性代数知识的读者来说，这本书提供了一个绝佳的视角，让我们得以回溯并重新审视那些我们习以为常的数学对象——集合——是如何被精确构造和定义的。这本书的价值在于其对“形式系统”的强调，它不仅仅是教会你“如何操作集合”，更深层次地探讨了“集合的意义”以及“数学基础的稳固性”。作者在某些章节中引入的构造性方法和元数学的观点，对于想要深入研究数学逻辑或理论计算机科学的同仁来说，无疑是极具启发性的。相比市面上许多只停留在应用层面的数学书籍，它勇敢地触及了数学理论的根基，探讨了为什么我们相信数学是自洽的。阅读这本书的过程，更像是在进行一次高强度的智力训练，它挑战了我原有的认知边界，让我对整个数学学科的宏伟蓝图有了更清晰的认识。

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