具体描述
内 容 提 要
本书内容包括概率论、数理统计两部分。第1～4章为概率论部分，介绍了概率论中的基
本概念及基本原理：随机事件与概率、随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、极限定理
等。第5～9章为数理统计部分，介绍了数理统计的基本概念及经典方法：参数估计、假设检
验、方差分析、回归分析等。在书末的附录中收编了部分统计方法的C语言程序。本书可作
为工科各专业的本科生教材，也可供工程技术人员及报考工科类硕士研究生人员参考。
现代工程中的数值计算方法 本书简介 本书旨在为工程技术人员、科研人员以及高等院校相关专业学生提供一套全面、深入且实用的数值计算方法体系。在现代科学研究和工程实践中，许多复杂的物理、化学、经济或社会问题无法通过解析方法求解，此时，数值计算便成为解决问题的关键工具。本书立足于工程应用需求，系统地介绍了从基础理论到高级算法的各类数值方法，并侧重于这些方法在实际工程问题中的应用、实现和性能分析。 第一部分：误差分析与基础工具 第一章：数值计算的基石——误差理论 本章首先阐述数值计算的本质：用有限的精度和有限的步骤去逼近真实世界的连续问题。我们将详细讨论误差的来源，包括模型误差（由于对实际问题进行简化和假设产生的误差）和截断误差（由于使用有限级数或有限步迭代逼近真实解而产生的误差）。随后，重点分析舍入误差（由于计算机有限的浮点数表示能力造成的误差）。通过引入绝对误差、相对误差和有效数字的概念，读者将掌握如何量化和控制计算过程中的不确定性。本章还将介绍误差的传播规律，特别是对病态问题（Ill-conditioned problems）的敏感性分析，这对于识别和规避计算陷阱至关重要。 第二章：线性代数方程组的数值求解 线性代数方程组是工程中最常见的一类数学模型。本章从矩阵的性质入手，讨论了直接法（如高斯消元法、LU分解、Cholesky分解）的原理、算法流程、计算复杂度和稳定性。特别关注LU分解在处理大规模稀疏矩阵时的优化策略。 紧接着，本章深入探讨迭代法，包括雅可比迭代法（Jacobi）、高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel）以及超松弛迭代法（SOR）。我们将分析这些迭代方法的收敛性条件和收敛速度，并讨论如何通过预处理技术（Preconditioning）来加速收敛，以应对大型稀疏系统的挑战，这在有限元分析和电磁场仿真中应用极为广泛。 第二部分：插值、逼近与函数求导 第三章：函数逼近的艺术——插值方法 在许多情况下，我们只有一组离散的实验数据点，需要构造一个连续函数来描述这些数据。本章系统地介绍了插值法的核心技术。从最基础的拉格朗日插值法和牛顿插值法开始，分析其构造原理和存在的Runge现象等局限性。随后，重点介绍分段插值，特别是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation），该方法因其在各分段点处具有良好的连续性和光滑性，成为工程数据拟合的首选工具。本章还将触及Hermite插值，用于同时考虑函数值和导数值的插值需求。 第四章：最小二乘法与数据拟合 当数据点带有随机噪声时，插值法的过度拟合反而会引入过多的误差。本章引入最小二乘法（Least Squares Method），这是处理过拟合和噪声数据的标准方法。我们将区分线性最小二乘和非线性最小二乘问题。对于线性问题，讨论正规方程组的求解和QR分解在提高数值稳定性方面的优势。对于非线性问题，重点介绍牛顿法和高斯-牛顿法等迭代优化技术在曲线拟合中的应用。 第五章：数值微分与积分 数值微分和数值积分是处理无法解析求导或积分的函数表达式的必要手段。在数值微分方面，本章推导了基于有限差分的各种公式（前向、后向、中心差分），并分析了它们相对于解析导数的误差。在数值积分方面，本书详细讲解了牛顿-科茨公式（如梯形法则、辛普森法则），并重点介绍复化公式和高斯求积公式（Gaussian Quadrature），后者以其卓越的精度和效率在工程计算中占据重要地位。 第三部分：常微分方程的数值解法 第六章：常微分方程（ODE）的单步法 常微分方程是描述动态系统的基本数学工具。本章聚焦于初始值问题（IVP）的数值求解。从欧拉法（Euler's Method）的基础思想出发，引出局部截断误差和全局误差的概念。随后，系统介绍龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法族，特别是经典的四阶RK法（RK4），分析其精度和稳定性。本章还讨论了步长自动控制策略的必要性。 第七章：常微分方程（ODE）的多步法与刚性问题 为了提高计算效率，本章引入多步法，如Adams-Bashforth法和Adams-Moulton法。讨论这些方法的稳定性和收敛性，并对比单步法与多步法的优缺点。最后，引入“刚性方程”（Stiffness）的概念，这是许多实际工程系统（如控制系统、化学反应动力学）的关键特征。针对刚性问题，系统介绍隐式方法（如后向欧拉法）和隐式Runge-Kutta法（如BDF方法）的求解策略。 第四部分：偏微分方程的数值逼近基础 第八章：偏微分方程（PDE）的离散化基础 偏微分方程是描述场分布问题的核心，如热传导、流体力学和结构力学。本章作为PDE数值解法的入门，重点介绍有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。详细推导一维热传导方程和泊松方程的显式和隐式有限差分格式，分析其稳定性（如CFL条件）。最后，简要介绍有限元方法（FEM）和有限体积法（FVM）的基本思想，为后续深入学习打下基础。 附录：MATLAB/Python在数值计算中的应用 本书的每个算法章节后，都配有相应的算法实现思路和伪代码。附录部分将提供使用主流科学计算语言（如MATLAB或Python的NumPy/SciPy库）实现上述核心算法的实例代码，帮助读者快速将理论知识转化为可执行的计算工具。 本书特色 本书的编写遵循“理论支撑、算法详述、实例驱动”的原则。所有核心算法均提供清晰的推导过程和详细的步骤分解，确保读者不仅知其然，更知其所以然。通过大量贴近工程实际的案例分析，本书致力于架起纯数学理论与工程实践之间的桥梁，培养读者识别问题、选择合适数值方法并评估结果可靠性的综合能力。
作者简介
目录信息
目 录
前言
第1章 随机事件与概率
1.1随机事件
1.1.1随机现象与随机试验
1.1.2样本空间与随机事件
1.1.3事件的关系与运算
1.2 概率
1.2.1概率的古典定义
1.2.2概率的统计定义
1.2.3概率的公理化定义
1.2.4概率的性质
1.3古典概率的计算
1.4条件概率 事件的相互独立性
1.4.1条件概率与乘法定理
1.4.2全概率公式与贝叶斯公式
1.4.3事件的独立性
1.5附录
习题1
第2章 随机变量及概率分布
2.1一维随机变量
2.1.1随机变量与分布函数
2.1.2离散型随机变量
2.1.3连续型随机变量
2.2二维随机变量
2.2.1二维随机变量与联合分布函数
2.2.2二维离散型随机变量
2.2.3二维连续型随机变量
2.3随机变量的相互独立性
2.4 随机变量的函数的概率分布
2.4.1一维随机变量的函数的概率分布
2.4.2二维随机变量的函数的概率分布
习题2
第3章 随机变量的数字特征
3.1数学期望
3.1.1数学期望的定义
3.1.2随机变量的函数的数学期望
3.1.3数学期望的性质
3.2方差
3.2.1方差和标准差
3.2.2方差的性质
3.3矩、协方差与相关系数
3.3.1协方差与相关系数
3.3.2矩
3.3.3协方差矩阵
习题3
第4章 大数定律与中心极限定理
4.1大数定律
4.1.1切比雪夫不等式
4.1.2切比雪夫大数定律
4.1.3贝努利大数定律
4.2 中心极限定理
4.2.1独立同分布的中心极限定理
4.2.2不同分布的中心极限定理
习题4
第5章 数理统计学的基本概念
5.1总体与样本
5.1.1总体及其分布
5.1.2样本
5.2样本分布
5.2.1样本频数分布与频率分布
5.2.2频率直方图
5.2.3经验分布函数
5.3 统计量
5.3.1统计量
5.3.2几个常用的统计量
5.4 抽样分布
5.4.1几个常用的重要分布
5.4.2分位数
5.4.3正态总体的抽样分布
5.5附录
习题5
第6章 参数估计
6.1点估计
6.1.1问题的提法
6.1.2估计量的求法
6.2估计量的评选标准
6.2.1无偏性
6.2.2有效性
6.2.3相合性
6.3区间估计
6.3.1双侧区间估计
6.3.2单侧区间估计
6.4 正态总体参数的区间估计
6.4.1单个总体N（μσ2）的情形
6.4.2两个总体N（μ1，σ12）和N（μ2，σ2）的情形
习题6
第7章 假设检验
7.1假设检验的基本概念
7.1.1假设检验的基本原理
7.1.2两类错误
7.1.3假设检验的一般步骤
7.2正态总体参数的假设检验
7.2.1单个总体N（μσ2）的情形
7.2.2两个总体N（μ1，σ12）和N（μ2，σ22）的情形
7.3单边假设检验
7.4参数假设的大样本检验
7.5分布假设检验
7.5.1分布拟合检验 皮尔逊定理
7.5.2x2拟合检验法
习题7
第8章 方差分析
8.1一元方差分析
8.1.1数学模型
8.1.2统计分析
8.1.3未知参数的估计
8.2二元方差分析
8.2.1非重复试验的二元方差分析
8.2.2等重复试验的二元方差分析
习题8
第9章 回归分析
9.1一元线性回归
9.1.1一元线性回归模型
9.1.2a，b和σ2的估计
9.1.3一元线性回归中的假设检验
9.1.4预测与控制
9.2可线性化的一元非线性回归
9.3多元线性回归
9.3.1模型和参数估计
9.3.2线性回归的另一种形式
9.3.3线性回归的显著性检验
9.3.4回归系数的假设检验
9.3.5预测
习题9
附录A 统计方法的C语言程序
A1样本的数字特征值计算
A2线性回归分析的数值计算
2.1一元线性回归分析
2.2多元线性回归分析
附录B
附表1标准正态分布表
附表2泊松分布表
附表3t分布表
附表4x2分布表
附表5F分布表
习题答案
· · · · · · (收起)
前言
第1章 随机事件与概率
1.1随机事件
1.1.1随机现象与随机试验
1.1.2样本空间与随机事件
1.1.3事件的关系与运算
1.2 概率
1.2.1概率的古典定义
1.2.2概率的统计定义
1.2.3概率的公理化定义
1.2.4概率的性质
1.3古典概率的计算
1.4条件概率 事件的相互独立性
1.4.1条件概率与乘法定理
1.4.2全概率公式与贝叶斯公式
1.4.3事件的独立性
1.5附录
习题1
第2章 随机变量及概率分布
2.1一维随机变量
2.1.1随机变量与分布函数
2.1.2离散型随机变量
2.1.3连续型随机变量
2.2二维随机变量
2.2.1二维随机变量与联合分布函数
2.2.2二维离散型随机变量
2.2.3二维连续型随机变量
2.3随机变量的相互独立性
2.4 随机变量的函数的概率分布
2.4.1一维随机变量的函数的概率分布
2.4.2二维随机变量的函数的概率分布
习题2
第3章 随机变量的数字特征
3.1数学期望
3.1.1数学期望的定义
3.1.2随机变量的函数的数学期望
3.1.3数学期望的性质
3.2方差
3.2.1方差和标准差
3.2.2方差的性质
3.3矩、协方差与相关系数
3.3.1协方差与相关系数
3.3.2矩
3.3.3协方差矩阵
习题3
第4章 大数定律与中心极限定理
4.1大数定律
4.1.1切比雪夫不等式
4.1.2切比雪夫大数定律
4.1.3贝努利大数定律
4.2 中心极限定理
4.2.1独立同分布的中心极限定理
4.2.2不同分布的中心极限定理
习题4
第5章 数理统计学的基本概念
5.1总体与样本
5.1.1总体及其分布
5.1.2样本
5.2样本分布
5.2.1样本频数分布与频率分布
5.2.2频率直方图
5.2.3经验分布函数
5.3 统计量
5.3.1统计量
5.3.2几个常用的统计量
5.4 抽样分布
5.4.1几个常用的重要分布
5.4.2分位数
5.4.3正态总体的抽样分布
5.5附录
习题5
第6章 参数估计
6.1点估计
6.1.1问题的提法
6.1.2估计量的求法
6.2估计量的评选标准
6.2.1无偏性
6.2.2有效性
6.2.3相合性
6.3区间估计
6.3.1双侧区间估计
6.3.2单侧区间估计
6.4 正态总体参数的区间估计
6.4.1单个总体N（μσ2）的情形
6.4.2两个总体N（μ1，σ12）和N（μ2，σ2）的情形
习题6
第7章 假设检验
7.1假设检验的基本概念
7.1.1假设检验的基本原理
7.1.2两类错误
7.1.3假设检验的一般步骤
7.2正态总体参数的假设检验
7.2.1单个总体N（μσ2）的情形
7.2.2两个总体N（μ1，σ12）和N（μ2，σ22）的情形
7.3单边假设检验
7.4参数假设的大样本检验
7.5分布假设检验
7.5.1分布拟合检验 皮尔逊定理
7.5.2x2拟合检验法
习题7
第8章 方差分析
8.1一元方差分析
8.1.1数学模型
8.1.2统计分析
8.1.3未知参数的估计
8.2二元方差分析
8.2.1非重复试验的二元方差分析
8.2.2等重复试验的二元方差分析
习题8
第9章 回归分析
9.1一元线性回归
9.1.1一元线性回归模型
9.1.2a，b和σ2的估计
9.1.3一元线性回归中的假设检验
9.1.4预测与控制
9.2可线性化的一元非线性回归
9.3多元线性回归
9.3.1模型和参数估计
9.3.2线性回归的另一种形式
9.3.3线性回归的显著性检验
9.3.4回归系数的假设检验
9.3.5预测
习题9
附录A 统计方法的C语言程序
A1样本的数字特征值计算
A2线性回归分析的数值计算
2.1一元线性回归分析
2.2多元线性回归分析
附录B
附表1标准正态分布表
附表2泊松分布表
附表3t分布表
附表4x2分布表
附表5F分布表
习题答案
· · · · · · (收起)
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
