Geometric Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Cambridge University Press

作者:Peter Li

出品人:

页数:416

译者:

出版时间:2012-6-29

价格:USD 75.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781107020641

丛书系列:Cambridge Studies in Advanced Mathematics

图书标签:

• 数学
• 几何
• 微分几何7
• 几何分析
• 偏微分方程
• Geometric
• GA
• Cambridge
• 几何分析
• 微分几何
• 偏微分方程
• 流形
• 黎曼几何
• 变分法
• 拓扑
• 数学物理
• 奇点理论
• 调和映射

《拓扑流形与微分几何基础》 作者： [此处留空，模拟作者信息] 出版社： [此处留空，模拟出版社信息] ISBN： [此处留空，模拟ISBN信息] --- 图书简介 本书旨在为读者提供一个严谨而深入的现代微分几何基础框架，重点聚焦于拓扑流形理论的构建与微分结构在这些空间上的自然延伸。我们避开了对传统欧几里得空间几何的过度依赖，转而将读者的视野提升至更抽象、更广阔的几何世界。全书结构清晰，从最基本的集合论概念出发，逐步构建起拓扑空间、连续映射，最终过渡到光滑流形这一现代几何学的核心对象。 第一部分：拓扑基础与构造性思维 本书的开篇部分，我们精心设计了关于拓扑学基础的讲解，目的在于为后续的微分几何打下坚实的分析基础。我们首先回顾了度量空间的概念及其完备性，并引入了拓扑空间的定义，着重讨论了开集、闭集、邻域、和连续映射的拓扑定义。在此基础上，我们深入探讨了拓扑空间的几个关键性质：紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）。对于紧致性，我们不仅给出了 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中的经典形式）的拓扑推广，更强调了它在分析中的重要作用，例如在保证连续函数取到最大值和最小值时的普适性。对于连通性，我们区分了路径连通性和拓扑连通性，并展示了在特定空间中两者的等价性。 同胚（Homeomorphism）的概念作为拓扑研究的基石，被给予了充分的论述。我们详细分析了同胚的性质，并引入了同伦（Homotopy）这一更精细的等价关系。通过构建一些经典的例子，例如区分球面和环面，我们展示了如何利用同伦不变式来识别不同拓扑空间。本部分末尾，我们引入了基本群（Fundamental Group）的概念，特别是圆周 $mathbb{S}^1$ 的基本群 $pi_1(mathbb{S}^1) cong mathbb{Z}$ 的计算，这为读者理解更高阶的同伦群奠定了直观基础。 第二部分：光滑流形的构建与坐标系 在奠定了拓扑基础后，本书的核心内容转向光滑流形（Smooth Manifolds）。我们定义了拓扑流形，并着重强调了可微结构（Differentiable Structure）或光滑结构（Smooth Structure）的引入，即图册（Atlas）和相容性（Compatibility）的概念。我们细致地阐述了如何通过局部坐标系（Chart）来描述高维空间中的几何对象。 本部分对“光滑”一词进行了严格的数学定义，涉及到光滑函数在不同坐标系之间的转换规则。我们详细分析了 $mathbb{R}^n$ 上的各种子集，例如球面 $mathbb{S}^{n-1}$ 和二维环面 $T^2$，证明它们是光滑流形。这些例子不仅是理论的验证，更是培养读者几何直觉的关键步骤。我们还引入了切空间（Tangent Space）的概念，将其定义为流形上每一点处所有可能方向的线性空间。我们通过“曲线法”和“向量场作用于函数”两种方式来构造切空间，确保读者对其几何意义有深刻的理解。 第三部分：向量场、微分形式与积分几何 本部分将微分计算工具引入流形结构。我们首先深入研究了向量场（Vector Fields）及其在流形上的定义。向量场被视为切丛上的截面，是流形上所有切空间的“连续”选择。我们讨论了向量场的李导数（Lie Derivative），它衡量了函数或其它几何对象在向量场方向上的变化率，是深入理解对称性的关键工具。 随后，本书引进了微分形式（Differential Forms），它们是切空间的对偶空间上的多重线性函数。我们详细定义了 $k$ 阶微分形式 $Omega^k(M)$，并阐述了楔积（Wedge Product）如何将它们构成一个分次代数——外代数（Exterior Algebra）。微分形式的核心在于其上的外微分（Exterior Differentiation）运算 $d$。我们严格证明了外微分满足 $d^2 = 0$ 的重要性质，这在拓扑学中具有深远意义。 第四部分：德拉姆上同调与拓扑的度量 本书的最后部分，我们将微分形式的代数工具与拓扑不变性联系起来，重点阐述了德拉姆上同调（de Rham Cohomology）。我们利用 $d^2=0$ 的事实，定义了德拉姆链复形，并明确了闭形式（Closed Forms）和正合形式（Exact Forms）的概念。德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$ 被定义为闭形式模正合形式的空间。 我们通过经典的庞加莱引理（Poincaré Lemma），证明了在欧几里得空间上，所有闭形式都是正合的，从而证明了 $mathbb{R}^n$ 的德拉姆上同调是平凡的。随后，我们引入了德拉姆定理（de Rham Theorem），它建立了光滑流形的德拉姆上同调群与拓扑的奇异上同调群之间的同构关系。这个定理是连接分析、代数和拓扑的桥梁，展示了微分几何在揭示空间内在拓扑结构方面的强大能力。 最后，本书简要探讨了在流形上引入黎曼度量（Riemannian Metric）的可能性，虽然这已超出了纯粹拓扑流形的范畴，但它预示着更丰富、更具度量结构的几何分析领域，为读者后续的深入学习指明了方向。 本书的特点在于其严谨的定义、清晰的逻辑链条以及大量精心挑选的例子，旨在帮助读者建立对现代微分几何的全面、深刻的理解，而非仅仅停留在计算层面。它要求读者具备扎实的实分析和线性代数基础。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

初次翻开这本书，我被其宏大的叙事框架和严谨的逻辑推理深深吸引住了。作者似乎并不满足于仅仅罗列枯燥的公式和定理，而是试图构建一个完整的知识体系，引导读者从基础概念出发，逐步深入到那些看似高深莫测的数学前沿。尤其值得称道的是，书中对于历史背景的梳理非常到位，让我们得以窥见这些深刻思想是如何在特定的时代背景下孕育而生的。阅读过程中，我常常停下来，反复咀嚼那些精妙的论证过程，那种豁然开朗的感觉，仿佛推开了一扇通往全新世界的大门。它不仅仅是一本教科书，更像是一场与数学巨匠们的跨时空对话，让人在敬畏之余，油然而生探索的渴望。那种对数学美的深刻体悟，远超出了单纯解题的范畴，它触及到了数学作为一种语言、一种思维方式的本质。

评分☆☆☆☆☆

说实话，这本书的深度是令人敬畏的。它毫不留情地挑战了读者的智力极限，很多章节需要反复研读，甚至需要借助其他辅助资料才能勉强跟上作者的思路。对于已经有一定基础的读者而言，这无疑是一份珍贵的财富，它提供了一个坚实而全面的平台，去夯实那些曾经模糊的知识点，并将其提升到更高的抽象层次。然而，对于完全的初学者来说，这本书的陡峭的学习曲线可能会带来挫败感。它更像是为那些已经准备好攀登高峰的探险家准备的地图，而不是为悠闲散步的游客准备的导览册。正是这种对深度的坚持，使得它在专业领域内拥有不可替代的地位，但同时也限制了它在大众普及方面的潜力，这或许是其内在属性所决定的取舍吧。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和装帧都透露出一种典雅与匠心。纸张的质感上乘，即便是长时间的阅读也不会感到视觉疲劳，这对于需要长时间沉浸其中的学习者来说，无疑是一个极大的福音。内容的组织上，作者展现了非凡的驾驭能力，复杂的内容被巧妙地分解成易于理解的小块，辅以清晰的图示和恰到好处的例子。我特别欣赏它在引入新概念时所采取的循序渐进的方式，避免了初学者常遇到的那种“突然被淹没”的恐慌感。不过，我个人觉得，在某些关键过渡环节，如果能增加一些更为生活化或工程上的实际应用案例，或许能更好地帮助那些偏向应用领域的读者建立直观感受。但瑕不掩瑜，从纯粹的学术角度来看，这本书的编排堪称教科书级别的典范，体现了作者深厚的教学功底和对学科脉络的深刻洞察。

评分☆☆☆☆☆

我常常在想，一位真正的大家是如何看待这门学科的？读完这本书后，我似乎有了一些答案。作者的叙述风格中透露出一种近乎诗意的精准。他不仅仅是在“描述”数学，更像是在“描绘”数学世界内在的和谐与结构。书中对一些概念的定义和引申，常常带着一种哲学的思辨色彩，让人不禁思考数学的边界在哪里，以及它与我们所感知的现实世界究竟有着怎样的联系。这种超越技术的探讨，极大地丰富了阅读体验。唯一让我略感遗憾的是，在对某些现代研究方向的展望部分，篇幅略显不足，如果能再深入探讨一些最新的研究热点及其背后的核心思想，相信会更具前瞻性和启发性，让读者在合上书本后，能更明确未来的研究方向。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值，体现在它为读者构建了一个坚不可摧的理论基石。它的逻辑链条是如此紧密，以至于一旦你理解了开篇的几个基本公理，后续的所有推导都显得水到渠成，尽管过程繁复，但每一步都无可指摘。这是一种强大的结构性力量，它教会的不仅仅是“如何证明”，更是“如何思考”——一种严谨、系统且富有洞察力的思维模式。我感觉自己不仅仅是学习了知识，更像是接受了一次智力上的“格式化重装”。这种思维训练的价值，甚至超过了书中所涵盖的具体数学定理本身。它将成为我未来处理任何复杂问题时，都会不自觉援用的底层逻辑框架，是真正的“内化”知识的典范之作。

评分☆☆☆☆☆

读了2/3

评分☆☆☆☆☆

读了2/3

评分☆☆☆☆☆

上课用的教材

评分☆☆☆☆☆

上课用的教材

评分☆☆☆☆☆

读了2/3