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出版者:武汉大学出版社

作者:钟集/唐素兰/叶木秀编

出品人:

页数:322

译者:

出版时间:2005-2

价格:16.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787307044289

丛书系列:面向21世纪本科生教材

图书标签:

• 几何
• 高等几何
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• 投影几何
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好的，这是一本名为《高等几何》的图书简介，内容聚焦于其核心主题，力求详实而专业，不涉及任何其他学科或您已提及的书名内容。 --- 《高等几何》图书简介 卷首语：探寻空间的本质与结构 《高等几何》是一部深入探讨现代几何学基础、理论体系及其前沿应用的权威著作。本书旨在为高等数学、理论物理、计算机图形学以及相关工程技术领域的研究人员、研究生和高年级本科生提供一套严谨、系统且富有洞察力的学习资料。几何学，作为研究空间、形状、大小、相对位置和性质的数学分支，在本书中被提升至一个更高的抽象层次，重点关注那些超越欧几里得平面和三维空间直观经验的数学结构。 本书的编写遵循了清晰的逻辑递进和理论的内在统一性原则，从基础概念的严格定义出发，逐步构建起复杂的几何理论框架。我们力求在保持数学严谨性的同时，兼顾概念的清晰阐释和生动的几何直觉培养。 --- 第一部分：基础与拓扑的桥梁 本部分着重于为后续的高级理论打下坚实的基础，重点在于从经典几何向现代抽象几何过渡的关键概念。 第一章：射影几何基础 射影几何关注的是在投影变换下保持不变的几何性质。我们首先引入射影平面（Projective Plane）的概念，并严格定义同次坐标（Homogeneous Coordinates）。 无穷远元素： 详细阐述了如何通过引入“无穷远线”或“无穷远点”来统一平行线和相交线的处理，这是射影几何的核心洞察。 对偶性原理： 深入剖析射影几何中无处不在的对偶性，即点与线（或平面）之间的互换关系，并通过一系列定理（如帕普斯定理和对偶的帕斯卡定理）进行验证。 透视与投影变换： 探讨了射影变换（Projectivity）的代数表示，以及如何利用矩阵来描述空间中的透视关系，这对于计算机视觉和图形学中的相机模型至关重要。 第二章：微分流形初步 微分流形是现代几何学的基石，它允许我们在局部具有欧几里得空间的良好性质，同时整体上可以具有复杂的拓扑结构。 拓扑空间的复习与深化： 快速回顾拓扑空间、连续性、紧致性、连通性等基本概念，并引入流形的正式定义，即带有相容坐标图集（Atlas of Compatible Charts）的空间。 切空间的概念： 引入切向量（Tangent Vector）和切空间（Tangent Space），将其视为函数在流形上某一点的微分可能方向的集合，这是建立微分几何工具的前提。 嵌入定理： 初步探讨了如何将抽象的流形嵌入到更高维的欧几里得空间中，为理解几何对象的“内在”与“外在”性质做铺垫。 --- 第二部分：微分几何的深度探索 本部分是全书的核心，专注于利用微积分工具研究光滑流形上的几何结构。 第三章：曲线与曲面的经典微分几何 在 $mathbb{R}^3$ 中，我们回归到对经典几何对象的精确测量和描述。 空间曲线的参数化与不变式： 引入弧长参数化，定义并计算曲线的曲率（Curvature）和挠率（Torsion）。通过弗雷内-塞尔塞（Frenet-Serret）公式组，展示了这三个量如何完全确定空间曲线的形状。 曲面的第一、第二基本形式： 这是研究曲面几何的关键工具。 第一基本形式： 定义了曲面上的内积结构，允许我们在曲面上测量长度、角度和面积。 第二基本形式： 描述了曲面如何在其所在空间中弯曲，引入了法曲率（Normal Curvature）的概念。 主曲率与关键不变量： 从第二基本形式出发，推导出高斯曲率（Gaussian Curvature）和平均曲率（Mean Curvature）。重点分析高斯绝妙定理（Theorema Egregium），揭示了高斯曲率是曲面固有的内蕴（Intrinsic）不变量，不受其在外部空间中如何弯曲的影响。 第四章：黎曼几何导论 将微分几何工具推广到任意维度的抽象流形上，这是现代几何学的制高点之一。 度量张量： 在流形上定义一个处处正定的二次型——黎曼度量（Riemannian Metric） $g$。度量张量 $mathbf{g}$ 使得我们可以在任何切空间上定义内积，从而测量向量的长度和夹角。 联络与平行移动： 由于流形上没有固定的坐标系，我们需要一个机制来比较不同点上的向量。本书详细讲解了仿射联络（Affine Connection）的概念，特别是Levi-Civita 联络，它是唯一一个兼容黎曼度量且无挠的联络。 测地线： 定义为“测地线”——在黎曼流形上两点间“最短”或“最直”的路径（即平行移动自身所产生的曲线）。详细推导了测地线的运动方程。 黎曼曲率张量： 这是黎曼几何的终极不变量。它通过比较不同路径的平行移动结果来量化流形弯曲的程度。本书深入分析了曲率张量的代数性质（如第一和第二 Bianchi 恒等式），并将其与高斯曲率在二维情况下的联系进行阐释。 --- 第三部分：几何学的联系与应用 本部分将所学的抽象理论应用于具体的数学结构和重要的物理/计算模型中。 第五章：经典几何的现代阐释 本章旨在连接高维抽象与我们熟悉的几何实例。 欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的黎曼流形结构： 将 $mathbb{R}^n$ 视为一个平坦的黎曼流形，探讨其度量张量、测地线（直线）和曲率张量（恒为零）的性质，以此作为所有弯曲空间的参照基准。 球面几何： 将 $n$ 维球面 $S^n$ 作为一个常正曲率的例子进行详细分析。计算其黎曼度量，推导其测地线（大圆），并计算其恒定的高斯曲率。 李群与齐性空间： 介绍了李群（Lie Group）作为具有光滑结构的群，并探讨了齐性空间（Homogeneous Spaces）——那些具有高度对称性的流形，它们在理论物理（如规范场论）中扮演关键角色。 第六章：几何学在现代科学中的体现 几何学不再仅仅是纯数学的研究对象，它已成为描述物理实在和构建计算模型的强大工具。 广义相对论的几何框架： 概述了爱因斯坦引力场方程的几何本质：时空是一个四维黎曼流形，引力效应表现为时空曲率。重点解释了测地线方程在描述自由落体运动中的核心地位。 微分形式与德拉姆上同调： 引入微分 $k$-形式的概念，并构建德拉姆复形。通过德拉姆上同调，几何对象（如流形）的拓扑性质可以通过分析微分方程的解空间（闭形式模恰当形式）来揭示，这是连接分析与拓扑的强大工具。 计算几何与离散微分几何： 简要讨论了如何将连续的黎曼几何概念离散化，应用于计算领域，例如在网格数据上定义曲率和测地线，以处理三维扫描数据和计算机图形中的曲面优化问题。 --- 总结 《高等几何》不仅是一本几何理论的教科书，更是一部引领读者跨越经典直觉，进入抽象、严谨且充满活力的现代数学领域的向导。通过对射影结构、拓扑基础、微分几何和黎曼几何的层层深入，读者将建立起一个统一的、多尺度的空间观念，为未来在纯数学或应用科学中处理复杂几何问题做好充分准备。本书的难度适中，但对读者的数学成熟度有一定要求，承诺提供深刻的智力回报。

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这本书的阅读体验，坦率地说，是有些“痛苦”但绝对“值得”的。它对读者的基础知识要求是比较高的，如果你对微分几何和拓扑学的基础概念只是浮于表面，那么在阅读到关于流形上的张量分析部分时，你会感到非常吃力。作者对于微分形式的引入，采取了一种非常“激进”的切入方式，直接从外微分开始构建整个外代数体系。这种方式虽然在数学上极其优雅和一致，但对于习惯于传统微积分和向量分析的读者来说，初期会有一个相当长的适应期。我花了大量时间去理解“楔积”和“外导数”在几何上的真正含义，而不是简单地把它们当作一种符号操作。书中对德拉姆上同调的介绍虽然点到为止，但已经足够勾勒出一个清晰的蓝图，暗示了代数工具在解决拓扑问题中的强大威力。每章末尾的习题设计得非常有层次感，从基础的计算题到需要综合运用多个定理才能解决的证明题，梯度设置得非常合理，迫使读者必须真正内化所学的知识，而不是仅仅停留在理解的层面。

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我对这本书的实用性方面，有一个非常独特的体会。它不是一本速成手册，更像是一部工具箱里的精密仪器。对于那些希望将几何语言应用于物理学，特别是广义相对论或规范场论的读者来说，这本书提供了无可替代的数学语言基础。我尤其关注了书中关于规范场理论几何基础的那一章，作者清晰地阐述了纤维丛、联络和曲率这些核心概念是如何自然地从“平行移动”的需求中诞生出来的。他对主丛和陪丛的区分，以及如何利用联络来定义协变导数，讲解得细致入微，避免了物理文献中常见的过于简化的处理。这种严谨的数学构建过程，使得我们能够真正理解为什么某些物理定律必须采取特定的数学形式。虽然书中没有直接给出具体的物理应用案例，但它提供的理论框架，其深刻性和普适性，使得读者一旦掌握，便能触类旁通，自行构建起复杂的物理模型。这本书的价值在于它教会了我们“如何用几何的思维去思考问题”，而非仅仅是“如何计算某个几何量”。

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从排版的角度来看，这本书的编纂者显然是下了一番苦功的。它所使用的数学符号系统高度统一且规范，这在处理涉及多个指标和多种张量的复杂公式时，极大地降低了阅读时的认知负荷。我发现，作者在引入新概念时，非常注重历史背景和不同数学流派之间的联系。比如，在介绍微分几何发展历程时，他不仅提到了黎曼和高斯的工作，还穿插了对卡坦等人在外微分几何方面贡献的评价，使得整本书的叙事不仅仅是数学知识的堆砌，更像是一部知识演进的史诗。这种对学术脉络的尊重和梳理，让读者在学习具体技术的同时，也能对整个学科的构建有一个宏观的认识。此外，这本书的索引做得极其详尽，当我需要回顾某个在前面章节中定义过的特定术语时，能够迅速定位，这对于经常需要查阅的深度学习者来说，是一个非常人性化的设计。总而言之，这是一部需要反复研读、常备案头的经典之作，其价值随着阅读次数的增加而愈发显现。

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这本书的封面设计充满了古典的韵味，那种深沉的蓝色调和烫金的字体，一下子就把人拉回到了那个几何学辉煌的年代。我翻开第一页，首先映入眼帘的是一套极其严谨的公理系统介绍，这部分内容对基础知识的铺陈非常扎实，可以说是为后续的复杂概念打下了无比坚实的地基。作者在讲解向量空间和线性变换时，没有急于展示那些繁复的公式推导，而是花了大量的篇幅去阐述几何直观的意义。比如，对于仿射变换的讨论，他用非常形象的例子说明了平行性在变换过程中是如何保持的，这对于初学者来说无疑是极大的福音，避免了陷入纯符号运算的泥潭。接着，书中对欧几里得空间的高维推广，描述得尤为细腻，从度量张量的引入到黎曼几何初步概念的触及，每一步都像是精心雕琢的工艺品，层次分明，逻辑环环相扣。特别是关于正交基的选取和坐标变换的讨论，作者巧妙地结合了矩阵理论的知识，使得原本抽象的几何操作具象化了。整本书的排版也十分考究，公式与文字的间距处理得当，大量的图示虽然简洁，却恰到好处地点明了关键的几何关系，让人在阅读时能够保持高度的专注度和思维的连贯性。

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说实话，这本书的深度远超我的预期，它更像是一本研究生的入门教材，而不是一本普通的“高等”教科书。我特别欣赏作者在处理曲面理论时的那种宏大叙事感。从局部坐标系到整体流形概念的过渡，处理得几乎可以说是行云流水般自然。书中对高斯曲率和平均曲率的讲解，不仅仅停留在公式的罗列，而是深入探讨了这些曲率不变量在描述空间形状上的内在物理意义和拓扑约束。例如，在讨论完极小曲面后，作者引用了肥皂膜的例子，将纯粹的数学抽象与现实世界的现象紧密联系起来，这种跨学科的视野极大地激发了我的学习热情。更让我印象深刻的是，关于测地线的讨论，它不仅仅是两点间的最短路径，作者还引入了变分法的视角，使得整个概念从静态的几何描述跃升到了动态的优化问题层面。这种将分析、几何和拓扑三大块内容巧妙融合的处理方式，使得这本书的理论体系显得异常丰满和立体。阅读过程中，我时常需要停下来，反复琢磨那些证明的巧妙之处，很多地方的论证精妙得让人拍案叫绝，体现了作者深厚的学术功底和独特的洞察力。

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