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出版者:武汉大学出版社

作者:樊恽

出品人:

页数:234

译者:

出版时间:2002-1

价格:12.50元

装帧:简裝本

isbn号码:9787307035980

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 群论
• 编码理论
• 组合数学
• 密码学
• 信息安全
• 代数结构
• 离散数学
• 算法
• 计算机科学
• 数学

《群与组合编码》图书简介 一部深入探讨代数结构与信息论的跨学科力作 本书旨在为读者构建一个坚实的理论基础，以理解现代编码理论在数学结构层面的深刻根源。我们聚焦于抽象代数中的核心概念——群论，以及它在构建高效、可靠通信系统中的关键作用。本书内容精心组织，结构严谨，力求在概念的清晰阐述与复杂理论的深入挖掘之间找到最佳平衡点。 第一部分：群论基础与代数结构（The Algebraic Foundation） 本部分是全书的基石，为后续编码理论的应用奠定不可或缺的代数背景。我们将从最基础的群的定义出发，逐步深入到更复杂的代数结构。 第一章：群的基本概念与性质 本章将系统介绍群（Group）的四个基本公理：封闭性、结合律、单位元和逆元。我们不仅会列举整数加法群 $mathbb{Z}$、非零有理数的乘法群 $mathbb{Q}^$ 等经典例子，还会详细分析有限群的性质，如拉格朗日定理（Lagrange's Theorem）及其在确定群阶方面的应用。此外，循环群（Cyclic Groups）作为最基础且应用广泛的一类群，将被给予特别的关注，包括其生成元、子群结构及其同构分类。 第二章：子群、陪集与正规子群 在理解了群的结构后，我们转向内部结构的研究。子群（Subgroups）的定义与判定方法是本章核心。随后，我们将引入陪集（Cosets）的概念，这是通向量群分解的桥梁。重点在于对左陪集和右陪集的区分及其性质。在此基础上，正规子群（Normal Subgroups）的引入将引导我们进入商群（Quotient Groups）的构造。商群的概念是理解同态定理和构造更抽象代数结构的关键。 第三章：群同态与同构 本章探讨不同群之间的映射关系。群同态（Group Homomorphisms）的定义及其保持群运算的特性是重点。我们详细分析核（Kernel）和像（Image）的概念，并证明它们分别是源群和目标群的子群。同构（Isomorphisms）则标志着结构上的完全一致性，本章将通过具体的例子展示如何判定两个群是否同构。最后，同态基本定理（The First Isomorphism Theorem）将作为代数结构分解的强大工具得到严格证明和应用。 第四章：环与域的初步探索 虽然本书的主题是群，但为了更有效地处理编码理论中的运算空间（特别是伽罗瓦域），本章将简要介绍环（Rings）和域（Fields）的基本概念。重点在于交换环、单位环的定义，以及域的特性——特别是除法运算的完整性。对于有限域 $mathbb{F}_q$（伽罗瓦域）的构造和性质，我们将进行初步介绍，为后续的线性分组码奠定域论基础。 第二部分：组合结构与设计（Combinatorial Structures） 本部分将视角从纯代数转向离散数学的组合领域，探讨在有限空间内组织元素的系统方法，这些方法直接与构造特定编码有关。 第五章：组合学基础 本章回顾计数原理，包括排列（Permutations）与组合（Combinations），并引入帕斯卡三角和二项式系数。更重要的是，我们将探讨鸽巢原理（Pigeonhole Principle）及其在证明存在性问题中的应用，这在编码理论中常用于论证某些编码参数的限制性。 第六章：设计理论的初步概念 设计理论关注如何在集合上安排元素以满足特定的平衡和覆盖条件。本章将介绍平衡不完全区组设计（BIBD）的基本思想。虽然不直接涉及编码的纠错能力，但这些结构为构建具有高对称性和良好覆盖特性的代数对象提供了直观模型。我们将讨论拉提斯（Lattices）的概念，理解它们在多维空间中点集分布的几何意义。 第三部分：群论在编码中的应用前奏（Precursors to Coding Theory） 本部分开始将前两部分的理论知识迁移到信息论和编码的语境中，着重于那些依赖于特定群结构的对象。 第七章：向量空间与线性代数在有限域上 本章是连接代数与编码理论的直接桥梁。我们将重新审视向量空间（Vector Spaces）的定义，但强调其基础域是有限域 $mathbb{F}_q$ 而非实数域 $mathbb{R}$。我们将定义 $mathbb{F}_q^n$ 上的线性组合、生成集和线性无关性。子空间（Subspaces）的概念将自然地引向线性分组码的结构，尽管真正的编码构建将在后续的专门书籍中详述。 第八章：置换群与对称性分析 置换群（Permutation Groups）是群论在组合结构中最直观的应用之一。本章将详细分析置换的分解、循环结构以及对称群 $S_n$ 的性质。我们将介绍伯恩赛德引理（Burnside's Lemma），用以计算在群作用下具有不同等价类的对象的数量。这种对对称性的分析，虽然在经典编码中不是核心，但对于分析特定结构（如循环码或格结构）的自同构群具有重要指导意义。 总结 本书不涉及具体的线性分组码（如汉明码、BCH码、Reed-Solomon码）的构造细节、校验矩阵的计算，或纠错能力的具体指标（如最小距离、汉明界）。它专注于提供一个坚实、全面的代数和组合框架，使读者能够深刻理解那些在更高级编码理论中作为“原材料”被直接使用的数学实体——群、环、域以及它们在有限空间内的行为。阅读本书，将使读者具备从代数角度“阅读”和“理解”编码结构的能力，而非仅仅停留在公式和算法的应用层面。 本书的叙述风格力求精确、严谨，每一个定理的陈述和证明都经过仔细推敲，旨在培养读者严谨的数学思维，为进一步深造于代数编码理论、代数几何编码或密码学领域打下坚实的基础。

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这本书的作者似乎对读者的感受持有一种近乎冷漠的态度。他的写作风格极其客观，没有任何情感色彩，仿佛在陈述宇宙的基本法则，而不是在传授一项技能。我注意到，书中很少出现“我们来看一个例子”、“请读者思考一下”或者“这在实际中有重要的意义”这类引导性的语言。每当出现一个关键结论时，作者的论证过程是完整且无懈可击的，但这种完美有时反而令人感到压抑。它不容许你有任何疑问或含糊不清的地方，你必须完全接受他所构建的逻辑框架。我发现自己读得很慢，不是因为内容太难，而是因为我需要不断地进行自我提问和自我解答，来弥补作者没有提供的那些“人机交互”的部分。有时候，我甚至怀疑作者是不是故意把某些关键的过渡步骤略去了，以考验读者对底层原理的掌握程度。这不像是一本教学用书，更像是一份极其高深的数学家的私有笔记的整理出版，充满智慧，但也要求读者具备同等的智力水平才能与之对话。

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这本书的章节组织结构非常古典，有一种先广度后深度的感觉，但深度往往来得过于突然。前几章像是对基础代数概念的系统性回顾，虽然冗长，但还算可控。然而，一旦进入关于表示论和模论的章节，书的难度曲线就像垂直上升的过山车，瞬间将你带到了一个全新的高度。我发现，这本书的知识点之间关联性很强，但这种关联性是建立在对前置知识的完全掌握之上的。如果你在某一个环节掉队了，后面的内容就会像积木一样坍塌，因为作者不会回头去重新解释基础概念，他期望你已经内化了。这种“一气呵成”的叙事方式，对于那些需要时间消化和反复咀嚼概念的学习者来说，无疑是灾难性的。我甚至开始怀疑，这本书是不是更适合作为参考书目，放在书架上，偶尔查阅某个特定定理的严格表述，而不是作为一本从头读到尾的入门或进阶教材。它的价值在于其内容的纯粹性与完整性，而非其可读性或教学流畅度。

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这本书初看起来真叫人头大，封面设计得极其朴素，黑白灰的配色，丝毫没有现代畅销书那种花哨的吸引力。我本来是冲着“编码”这两个字来的，心想是不是能学点实用的加密技术或者数据压缩的窍门。结果翻开第一页，扑面而来的是一堆密密麻麻的数学符号和抽象的定义，什么$mathbb{F}_2$上的向量空间、域扩张、代数簇，看得我眼花缭乱。说实话，如果不是我对理论信息学抱有异乎寻常的执念，可能第一章我就合上了。作者的行文风格非常严谨，就像在写一份极其详尽的数学定理证明，缺乏任何循序渐进的引导。他似乎默认读者已经拥有扎实的抽象代数基础，上来就是直接抛出核心概念，然后迅速进入复杂结构的构建。阅读过程中，我不得不频繁地停下来，查阅那些我以为自己已经掌握了的群论和有限域的基本性质。这种阅读体验，用“艰深”来形容都是一种委婉的说法，更像是攀登一座陡峭的数学冰山，每一步都需要精确计算落脚点，稍有不慎就会滑坠回起点。对于期待快速获得应用技巧的读者来说，这本书绝对是一剂猛药，得做好长期抗战的准备，它挑战的不是你的阅读速度，而是你的数学耐心和抽象思维的极限。

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这本砖头书的排版简直是反人类的典范。我拿到的是精装版，拿到手里沉甸甸的，但打开后发现，印刷质量倒是过硬，纸张够厚实，墨水也清晰。问题在于它的版式设计，简直是上个世纪学术期刊的风格——双栏布局，行距极窄，页边距缩得跟刀切过一样。很多复杂的公式，本来就够难理解了，现在被塞进这么小的空间里，视觉上就形成了一团难以破解的符号迷宫。我尤其佩服作者对“图示”这种东西的极度不屑，全书除了几个非常枯燥的群结构示意图，基本看不到任何能帮助理解的直观插图。我不得不一边看书，一边在笔记本上画自己的图，试图将书上那些纯粹基于符号的推导过程“可视化”。举个例子，当讲到某个构造的同构性时，作者通常只用几行字给出映射关系，然后就直接跳到结论，如果你脑子里没有立刻构建出这个变换的三维空间模型，那么你就只能死记硬背那个映射的定义。这让我感觉不像是在学习一门知识，更像是在破解一个密码本，需要极高的专注力和极强的空间想象能力，否则那些符号就会在你眼前融化成一片毫无意义的墨迹。

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我原本以为这会是一本介绍如何应用“群”的概念来解决实际工程问题的教材，比如在密码学还是编码理论中如何巧妙地利用有限群的对称性来优化算法效率。但读下去才发现，这本书的野心完全不在“应用”层面，它似乎更专注于对“群”这个数学对象本身进行更深层次的挖掘和分类。作者花了大量的篇幅去讨论不同类型的群的内在结构，什么正规子群的性质、商群的构造，还有一些关于生成元和关系式的理论探讨。这些内容固然是数学理论的基石，但对于一个想知道“我如何用这个知识点去解一个实际问题”的读者来说，简直是隔靴搔痒。它更像是为未来的数学家准备的“理论储备库”，而不是给工程师准备的“工具箱”。读完第三章，我几乎忘记了书名里的“编码”二字，完全沉浸在对抽象代数纯粹美的追寻之中。如果有人想写一篇关于群论的博士论文，这本书可能是无价之宝，但如果你只是想知道如何用它来校验一个CRC码的有效性，你可能需要去别处寻找更接地气的资料了。

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