实变函数与泛函数分析习题精解 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:宋国柱 编

出品人:

页数:327

译者:

出版时间:2003-1

价格:27.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030120663

丛书系列:科学版大学数学习题精解系列

图书标签:

• 数学
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《数学分析精要：理论、方法与应用》 内容概述： 本书旨在为读者构建一个扎实而全面的数学分析知识体系，深入探讨实数系统、极限、连续性、微分、积分等核心概念，并在此基础上引申至多变量函数、级数、傅里叶分析及初步的泛函分析思想。全书以理论严谨性为基石，辅以详尽的例证和启发式的讲解，旨在引导读者深刻理解数学分析的逻辑脉络与内在美，并能灵活运用其工具解决实际问题。 第一章：实数系统与基本概念 本章将从最基础的实数集入手，系统介绍其完备性公理，这是理解后续所有分析概念的基石。我们将深入探讨数列的收敛性，包括柯西序列、单调有界定理等，并介绍上确界和下确界的概念，为理解函数的极限奠定基础。此外，还会初步触及集合论中的基本概念，如开集、闭集、紧集等，为后续的拓扑概念做铺垫。 第二章：函数的极限与连续性 本章的核心是对函数极限的严谨定义及其性质的探讨。我们将详细阐述 $epsilon - delta$ 定义，并运用其证明重要的极限定理，如和、差、积、商的极限性质，以及复合函数的极限。在此基础上，我们将深入研究函数的连续性，包括点态连续、一致连续和一致连续性的充要条件。极端值定理、介值定理等一系列关于连续函数的重要性质也将得到详细的论证和阐释。 第三章：微分学 本章将系统介绍一元函数的微分概念，从导数的定义出发，探讨可导性与连续性的关系。我们将详细讲解微分学的基本计算法则，如四则运算法则、链式法则、反函数求导法则等。洛必达法则作为解决不定型极限的重要工具，其推导过程和应用范围将被深入剖析。此外，我们将探讨高阶导数及其在泰勒公式中的应用，为函数逼近和分析函数的局部性质提供有力支持。中值定理，特别是拉格朗日中值定理、罗尔定理和柯西中值定理，作为微分学的灵魂，其几何意义和理论价值将被充分体现。 第四章：积分学 本章将聚焦于黎曼积分的理论。我们将从定积分的定义出发，深入探讨可积性的充要条件，并介绍积分的基本性质。微积分基本定理作为连接微分与积分的桥梁，其深刻内涵和应用价值将被详细阐述。我们将系统介绍各种积分技巧，包括换元积分法、分部积分法等，并解决各种实际问题中的积分计算。此外，本章还将介绍不定积分的概念，以及与定积分的关系。 第五章：多变量函数的微积分 本章将把微分和积分的概念推广到多变量函数。我们将引入偏导数、方向导数和梯度，并探讨其在函数局部性质分析中的作用。全微分的概念及其与偏导数的关系将被详细阐述。隐函数定理和反函数定理作为多变量微积分中的重要工具，其表述和应用将得到深入讲解。对于积分部分，我们将介绍多重积分（二重积分、三重积分）的概念，及其计算方法，如直角坐标系、极坐标系下的计算。格林公式、高斯公式和斯托克斯公式等积分定理，作为连接曲线积分、面积分和体积分的重要桥梁，将是本章的重点内容。 第六章：无穷级数 本章将探讨无穷级数的收敛性。我们将介绍正项级数、任意项级数的判敛法，如比较判敛法、比值判敛法、根值判敛法、莱布尼茨判敛法等。一致收敛的概念及其重要性将被详细阐述，并探讨一致收敛与逐项可微、逐项可积的关系。幂级数作为一种特殊的级数，其性质和应用，如函数展开成幂级数（泰勒级数）、计算定积分等，将得到重点介绍。 第七章：傅里叶级数与傅里叶变换初步 本章将引入周期函数的傅里叶级数展开，探讨收敛性及其在信号分析和偏微分方程求解中的应用。我们将介绍傅里叶级数的收敛定理，并讨论其性质。在此基础上，我们将初步介绍傅里叶变换的概念，理解它如何将时域信号转换到频域，为理解更广泛的信号处理和工程应用打下基础。 第八章：度量空间与拓扑初步 本章将开始引入更抽象的分析概念，为泛函分析做铺垫。我们将定义度量空间，探讨其基本性质，如距离、开集、闭集、完备性等。紧集的概念在度量空间中的重要性将被强调。本章还将初步介绍拓扑空间的定义，区分度量空间和一般拓扑空间，为后续理解更一般的数学结构打下基础。 第九章：赋范线性空间与巴拿赫空间 本章将进入泛函分析的领域。我们将定义赋范线性空间，并深入研究其性质，如范数、内积、完备性等。我们将重点介绍巴拿赫空间——完备的赋范线性空间，以及希尔伯特空间——带内积的巴拿赫空间。这些空间是研究函数空间和其他无限维空间的基础。 第十章：线性算子与有界线性算子 本章将探讨定义在赋范线性空间上的线性算子。我们将重点研究有界线性算子，并探讨其性质，如连续性、范数、零空间和值域等。我们将介绍有界逆定理、开映射定理和闭图像定理等重要定理，它们是理解有界线性算子行为的关键。 教学目标与特色： 理论严谨性： 严格遵循数学分析的公理化体系，推导过程一丝不苟。 启发式讲解： 并非简单罗列定理和公式，而是通过直观的解释和类比，帮助读者理解概念的产生背景和内在逻辑。 例证丰富： 大量精心设计的例题，涵盖了各种类型和难度，帮助读者掌握理论的应用。 习题精选： 每一章节都配有高质量的习题，旨在巩固所学知识，锻炼分析解决问题的能力。 循序渐进： 内容安排由浅入深，从实数系统到抽象的函数空间，逐步构建起完整的分析知识框架。 联系实际： 在讲解过程中，适当提及数学分析在物理、工程、经济等领域的应用，激发读者的学习兴趣。 适宜读者： 本书适合高等院校数学、物理、工程、计算机科学及相关专业的本科生、研究生，以及对数学分析有深入学习需求的科研人员和自学者。尤其适合在学习了基础微积分后，希望系统、深入地掌握数学分析理论，并为进一步学习高等数学、泛函分析、偏微分方程等课程打下坚实基础的读者。

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这本教材的排版实在是一绝，清晰、规范，每一个公式推导的步骤都像艺术品一样精确。拿到手里就能感觉到编者对细节的极致追求，纸张的质感也恰到好处，阅读体验非常舒适。我以前在啃其他同类书籍时，经常因为复杂的符号和跳跃的推导感到挫败，但这本书的逻辑链条异常清晰，从基础概念的引入到高级定理的证明，每一步都像是领路人耐心地牵引。特别是那些晦涩难懂的泛函空间和测度论部分，作者居然能用如此直观的图示和类比来辅助理解，这绝对是多年教学经验的结晶。它不是那种堆砌公式的“砖头书”，而是真正用心设计的学习工具。对于自学者来说，这种清晰的结构简直是福音，可以大大减少在迷宫里绕圈的时间。我甚至会特意留出时间，欣赏一下那些排版精美的定理和引理，这在学术书籍中是少有的享受。那种扑面而来的专业感和严谨性，让人有种“这就是标准答案”的信服感。

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从实用性角度来看，这本书的“注释”部分是其灵魂所在。它不像其他习题书只是冷冰冰地给出推导，而是充满了作者的“旁白”和“经验之谈”。比如，在处理勒贝格测度外延性时，作者会穿插解释为什么有些构造方法在实际应用中会遇到困难，或者某个定理的几何直观是什么。这种“润物细无声”的教学方式，让我对抽象理论的理解不再停留在符号层面。我甚至会把这本书当作一本“进阶阅读材料”来对待，而不是仅仅在做作业时才翻开。它成功地将严谨的数学逻辑与生动的数学思维连接起来，使得原本枯燥的计算和证明过程充满了探索的乐趣。这本书的使用体验，远超出了我对一本“习题解析”的预期，更像是一位良师益友在旁边陪伴你成长的记录。

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这本书的难度梯度设置得非常高明，完全可以作为一条从入门到精通的阶梯。开篇的基础练习，稳固了测度、积分、算子等核心概念的理解，让人站得住脚。但紧接着，它就毫不留恋地将读者带入了那些真正考验功力的挑战区，比如Hilbert空间上的紧算子理论或者Sobolev空间的嵌入定理。这些内容在一般的本科教材中往往一笔带过，但在这里，它们被当作核心内容进行系统性阐述和检验。我感觉自己不是在做一套习题，而是在进行一场智力上的“高强度训练”。更棒的是，作者似乎预设了读者可能会在哪里卡壳，然后在对应的解答中设置了“陷阱提示”，让你在犯错前就能有所警觉。这种“预判式”的教学设计，极大地提高了学习效率，让我不再为重复犯同样的错误而感到沮丧。

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坦白说，初次接触这套习题解析时，我内心是有些忐忑的，因为“习题精解”这几个字往往意味着要么答案过于简略，要么讲解过于碎片化。然而，这本书彻底颠覆了我的固有印象。它的精妙之处在于，它不仅仅给出了答案，而是深入剖析了解决问题的“思路地图”。对于那些需要多步组合技巧的难题，作者会先勾勒出整体的解题框架，然后再逐层深入，仿佛在拆解一个复杂的机械装置，让你看清每一个齿轮是如何咬合的。我特别欣赏其中对“反例”构造的讲解，很多时候，理解一个概念最好的方式就是知道它不能做什么，这本书在这方面提供了极为深刻且富有启发性的例子。比起那些只告诉你“怎么做”的书籍，这本书更侧重于告诉你“为什么这么做”，这种对底层逻辑的挖掘，极大地提升了我解决未知问题的迁移能力。

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这本书的深度和广度，让我不得不感叹其作者的学识渊博。它绝非仅仅局限于教科书上那些标准化的例题重现，而是融入了许多前沿研究中的经典工具和技巧。例如，在泛函分析部分，涉及到一些更抽象的拓扑理论在特定算子上的应用，这些内容在市面上常见的参考书里是很难找到如此清晰解析的。它更像是一位资深教授在为你量身定制的一份高阶进阶作业集。阅读过程中，我经常需要查阅其他更基础的分析书籍作为背景知识补充，这反而促使我将不同知识体系进行融会贯通，而不是孤立地看待这些理论。对于那些目标是攻读纯数学或理论物理研究生的读者来说，这本书的价值是无可估量的，它提供的不仅仅是解题能力，更是一种“研究视角”。

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