Introduction to the Representation Theory of Compact and Locally Compact Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Robert, Alain

出品人:

页数:216

译者:

出版时间:1983-2

价格:$ 88.14

装帧:

isbn号码:9780521289757

丛书系列:London Mathematical Society Lecture Note Series

图书标签:

• 表示论
• 紧群
• 局部紧群
• Representation Theory
• Compact Groups
• Locally Compact Groups
• Harmonic Analysis
• Mathematics
• Abstract Algebra
• Group Theory
• Lie Groups
• Topology
• Functional Analysis

《紧致群与局部紧致群的表示理论导论》 本书深入探讨了数学中一个极其重要且活跃的分支——群的表示理论。我们关注的焦点是两大类重要的群：紧致群和局部紧致群。这两类群在数学的各个领域，从代数、几何到分析，再到理论物理学，都扮演着核心角色。因此，理解它们的表示理论，对于深入掌握现代数学的许多分支至关重要。 本书的写作目标是为读者提供一个坚实且全面的基础，使他们能够理解表示理论的核心概念、基本工具和关键结果。我们力求在概念的清晰性、逻辑的严谨性以及内容的深度之间取得平衡，既要为初学者扫清障碍，也要为有一定基础的读者提供新的视角和启发。 内容概述： 全书按照逻辑顺序，层层递进地展开： 第一部分：初步概念与基础 群的表示：首先，我们将引入群表示的基本定义。什么是群的表示？它如何将抽象的群结构转化为线性和代数上的操作？我们将详细阐述表示的定义，包括线性空间、群元素的映射以及保持群结构的同态性质。 可约表示与不可约表示：这是表示理论中的核心概念。我们将区分可约表示和不可约表示，并解释为何不可约表示是表示理论的“基石”。我们将介绍如何识别和分解可约表示，以及寻找不可约表示的重要性。 酉表示：我们将特别关注酉表示，因为它们在许多应用中具有天然的物理意义，并且具有良好的分析性质。酉表示与内积空间的关联将得到详细阐述。 特征标（Character）：特征标是理解表示的一个强大工具。我们将定义群表示的特征标，并展示其在区分不同表示、计算表示的维度以及研究表示的性质方面的关键作用。 第二部分：紧致群的表示理论 彼得-韦尔定理（Peter-Weyl Theorem）：这是紧致群表示理论的基石。我们将详细证明并深刻阐述彼得-韦尔定理，该定理断言紧致群的（酉）表示可以由一系列不可约酉表示构成，并给出了这些表示的构造方法。 Haar测度的存在性与唯一性：对于局部紧致群，Haar测度是分析的灵魂。我们将证明紧致群上Haar测度的存在性与唯一性，并阐述其在积分、范数定义以及后续理论发展中的核心地位。 紧致群表示的完备性：我们将利用Haar测度和彼得-韦尔定理，证明紧致群的不可约酉表示构成了一个完备的正交系。这意味着任何（酉）表示都可以被分解为这些基本表示的直和。 单位根分解（Unitary Decomposition）：我们将讨论如何利用特征标和Haar测度，将任意连续函数在紧致群上的性质与群的不可约表示联系起来，揭示群的结构信息。 第三部分：局部紧致群的表示理论 Haar测度的性质与应用：我们将深入研究局部紧致群上Haar测度的性质，包括其平移不变性、正性和唯一性（在适当的规范化下）。我们将展示Haar测度如何在积分、平均值计算以及定义卷积运算等方面发挥作用。 紧致化与伸展（Compactification and Extension）：对于非紧致的局部紧致群，我们有时可以通过紧致化技术来分析其表示，或者研究其“伸展”到紧致群上的表示。我们将探讨这类方法。 Plancherel公式：这是局部紧致阿贝尔群（例如 $mathbb{R}^n$ 或有限阿贝尔群）表示理论中的一个重要公式，它将群的积分与对偶群（Pontryagin对偶群）上的积分联系起来。我们将介绍Plancherel公式及其在傅里叶分析中的深刻含义。 表示的分解与分类：我们将讨论对于更一般的局部紧致群，其表示的分解和分类是一个更为复杂但极其重要的课题。我们将介绍一些基本的思想和工具，为进一步深入研究打下基础。 本书的特点： 循序渐进：内容设计遵循从简单到复杂的逻辑，从基本定义到高级定理，确保读者能够逐步建立理解。 强调直觉：在介绍数学概念时，我们努力提供直观的解释和几何上的联系，帮助读者更好地把握抽象的数学思想。 丰富的例子：本书将穿插大量的具体例子，包括经典的有限群、李群（如 $SO(2), SU(2)$）以及阿贝尔群等，通过实例加深理论的理解。 严谨的证明：所有的重要定理都将提供详细而完整的证明，帮助读者理解理论的根基。 广泛的适用性：本书内容覆盖了表示理论的核心，为后续学习李群、李代数、调和分析、量子力学以及粒子物理等领域的研究奠定坚实的基础。 读者对象： 本书适合具有扎实线性代数基础、初步学习过抽象代数（群论）和拓扑学知识的数学、物理专业高年级本科生、研究生以及相关领域的科研人员。对于希望系统学习群表示理论，并将其应用于自身研究的读者而言，本书将是一个不可多得的参考。 我们相信，通过本书的学习，读者不仅能够掌握表示理论的精髓，更能体会到其在现代科学研究中的巨大魅力和广泛应用。

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我注意到市面上关于表示论的教材很多，但专门针对“紧致和局部紧致群”的入门级读物相对稀少，这使得我对这本书寄予了厚望，希望它能填补这一空白。我的主要兴趣点在于傅里叶分析在这些群上的推广，也就是所谓的调和分析的表示论视角。我希望能看到书中对离散群和连续群的处理方式有明确的对比和区分。例如，有限群的表示理论是离散的，而紧致群（如圆群 $T$ 或特殊酉群 $SU(n)$）的表示理论则需要分析工具。这种从代数到分析的跳跃，是许多学习者感到困难的地方。如果这本书能巧妙地平衡这两种视角，比如在引入李群的表示之前，先彻底弄清楚紧致阿贝尔群的表示（即傅里叶级数和傅里叶变换的抽象化），那将是非常成功的结构设计。

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阅读这类高等数学教材，除了内容本身，配套的习题和练习也是至关重要的反馈机制。我希望这本书的习题设计能够具有梯度性。初级的习题应该用于巩固基本定义和简单计算，确保读者已经掌握了基本的代数和拓扑操作。而中高难度的习题则应该真正挑战读者的思维，迫使他们将不同章节的概念融合起来，也许是要求他们独立构造某个特定群的表示，或者推导一个在书中没有完整展示的定理的某个关键引理。一个没有经过实践检验的理论知识是脆弱的。我期待这些练习能真正帮助我将抽象的理论转化为具体的计算能力，从而建立起对整个表示论体系的信心和掌控感。如果书的最后附带了详细的解题思路或者参考答案，那无疑是一个巨大的加分项。

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这本书的结构布局似乎非常注重逻辑的连贯性，从目录上就能感受到作者在努力搭建一个坚实的数学框架。我注意到它似乎从更基础的拓扑群概念讲起，这很关键，因为没有扎实的拓扑基础，讨论紧致性或局部紧致性就成了空中楼阁。我个人认为，好的数学教材应该像一位耐心的向导，而不是冷酷的裁判。我希望这本书在引入新概念时，能提供丰富的例子来支撑理论的抽象性。例如，关于Haar测度的引入，如果能通过具体的例子展示它在积分和不变性方面的作用，会大大提高读者的理解深度。我倾向于那种能帮助我构建“几何直觉”的书籍，即使是代数结构，在拓扑群的背景下也应该展现出某种空间感。我希望它在处理完基础概念后，能够自然而然地过渡到诸如Peter-Weyl定理这样的核心成果，并阐明这些定理在解决实际问题中的意义。

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作为一本入门级别的著作，我对它的行文风格抱有很高的期望。有些数学著作的语言过于精炼，使得读者在理解一个关键步骤时，需要花费大量时间去“解码”作者省略的中间步骤。我希望这本书能够避免这种情况，用清晰、精确且富有洞察力的语言来阐述复杂的数学论证。一个优秀的作者不仅知道答案，更知道如何引导读者发现答案的过程。我特别关注它在处理泛函分析与代数表示之间的交汇点时的处理方式。例如，当涉及到无限维表示空间时，收敛性和完备性问题是不可避免的，我希望作者能够用一种既不过于技术化，又不失严谨性的方式来讨论这些分析工具的必要性。如果能提供一些历史背景的注解，说明某些概念是如何在历史发展中被确立和完善的，那会增添不少阅读趣味，让冰冷的公式变得有温度。

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这本书的书名实在是太具挑战性了，光是“紧致和局部紧致群的表示论引言”这个标题就足以让很多初学者望而却步。我承认，在翻开这本书之前，我对表示论的理解还停留在非常基础的层面，仅仅停留在有限群的表示理论，对于更深层次的、涉及拓扑结构的群论概念，我一直感到力不从心。这本书的封面设计非常朴素，没有华丽的插图，这本身就暗示着内容的严谨和专业性。我希望它能提供一个平滑的过渡，将我现有的知识体系与更抽象的分析和拓扑结构联系起来。我特别期待它能清晰地解释为什么我们需要引入局部紧致群的概念，以及这些拓扑性质如何影响了表示的结构。如果它能用一种相对直观的方式引导我进入这个看似高不可攀的领域，那将是极大的成功。我更看重的是概念的建立和直觉的培养，而非仅仅罗列定理和证明。

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