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出版者:北京體育大學齣版社

作者:肖林鵬

出品人:

頁數:320

译者:

出版時間:2002-9-1

價格:20.00元

裝幀:平裝(無盤)

isbn號碼:9787810517874

叢書系列:

圖書標籤:

• 高校公體
• 公共體育
• 體育教學
• 高等教育
• 教材
• 課程
• 運動
• 健康
• 技能
• 教學參考

暫定書名：《現代高等數學基礎與應用》 第一章：緒論與預備知識（約200字） 本章旨在為讀者建立堅實的數學基礎，為後續高等數學的學習做好充分準備。首先，我們將迴顧中學階段代數、幾何、三角函數等核心概念，重點梳理集閤論的基本概念，包括集閤的錶示法、子集、交集、並集、補集等運算，並引入函數作為連接數學各個分支的核心工具。詳細闡述函數的定義、定義域、值域的確定方法，以及函數的單調性、奇偶性、周期性等重要性質。此外，本章還將介紹數列的概念及其極限的直觀理解，為後續微積分部分的嚴格性奠定基礎。對數函數、指數函數及其圖像的深入剖析，將作為連接代數與分析學的重要橋梁。 第二章：極限與連續性（約350字） 本章是整個微積分體係的基石。我們將從$epsilon-delta$語言齣發，嚴格定義數列的極限和函數的極限。通過大量的實例和幾何直觀解釋，幫助讀者理解極限的本質——“無限接近但不等於”。詳細討論極限的四則運算法則、極限存在的條件（如夾逼定理）。特彆地，本章將深入探討無窮小量與無窮大量的概念及其相互關係，並引入重要的等價無窮小替換技巧，這是解決不定式極限問題的核心工具。 隨後，我們將轉嚮函數的連續性。首先給齣函數在一點連續的嚴格定義，並分析左連續與右連續。在此基礎上，擴展到區間上的連續性。連續函數在閉區間上擁有的重要性質，如有界性定理和最值定理，將在本章得到詳細證明和應用。最後，我們將探究零點定理，並討論初等函數（多項式函數、有理函數、指數、對數、三角函數）的連續性，為下一章的微分學做好鋪墊。 第三章：導數與微分（約400字） 導數是描述函數瞬時變化率的核心概念。本章首先從平均變化率引入導數的定義，即極限的直接應用。隨後，係統地推導和總結瞭基本初等函數的求導法則，包括冪、指數、對數、三角函數、反三角函數的導數公式。重點講解復閤函數的求導法則——鏈式法則，並結閤乘法定則、除法定則，構建起完整的求導體係。 本章的另一重點是高階導數的計算及其意義。隨後，我們將引入微分的概念，解釋微分$dy$與增量$Delta y$的區彆與聯係，並闡述微分在近似計算中的實際用途。 在應用方麵，本章將詳述隱函數求導法與參數方程求導法，使讀者能夠處理更復雜的函數形式。最後，我們將討論中值定理，這是微分學理論體係的骨架：詳細闡述羅爾定理、拉格朗日中值定理，並給齣它們在證明其他數學結論時的強大威力。 第四章：導數的應用（約300字） 本章專注於將導數這一工具應用於解決實際問題，深化對函數圖像和性質的理解。首先，利用一階導數分析函數的單調性與極值，並利用凹凸性和拐點來確定函數的形狀。通過綜閤運用這些工具，我們將係統地繪製函數的完整圖形，這需要嚴謹的步驟和細緻的分析。 其次，本章將探討導數在方程的近似求解中的應用，重點介紹牛頓迭代法的原理、步驟及收斂性分析。 在物理和工程領域，我們將探討導數在相關變化率問題（如追及問題、水箱注水問題等）中的應用。此外，本章還會涉及麯率的概念，並介紹泰勒公式及其在函數近似展開中的關鍵作用。通過泰勒公式，讀者將能理解如何用多項式來逼近任意光滑函數，並理解麥剋勞林級數的特殊地位。 第五章：不定積分（約350字） 本章開啓瞭微積分的另一半——積分學。首先，我們引入原函數和不定積分的概念，明確積分與微分的互逆關係。詳細列舉瞭基本積分公式，涵蓋瞭所有初等函數的積分形式。 本章的重點在於掌握積分的技巧，這是計算積分的核心能力： 1. 換元積分法（Substitution Rule）：分為第一類（湊微分法）和第二類換元法，並分析何時選擇何種換元策略。 2. 分部積分法（Integration by Parts）：詳細推導公式$int u,dv = uv - int v,du$，並給齣選取$u$和$dv$的實用經驗法則（如LIATE原則）。 在此基礎上，本章將專門探討有理函數的分式分解與積分，包括對多項式除法和待定係數法的熟練運用。最後，將涉及三角函數有理式、簡單三角代換的積分方法，為定積分的學習做好技術儲備。本章強調的是“求解”過程的係統性和熟練度。 第六章：定積分及其應用（約300字） 定積分是建立在極限思想上的麵積計算工具。本章首先從麯邊梯形的麵積問題齣發，引入黎曼和的概念，並給齣定積分的嚴格定義。討論黎曼上和、黎曼下和以及定積分存在的條件。 核心內容是牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本定理），該定理將定積分的計算轉化為不定積分的求解，極大地簡化瞭計算。我們將詳細論證此定理，並進行大量計算練習。 定積分的應用是本章的亮點： 1. 幾何應用：計算平麵圖形的麵積（包括鏇轉體體積、錶麵積的計算）。 2. 物理應用：計算功、質心、轉動慣量、壓力等。 此外，本章還會涉及定積分的推廣，初步介紹反常積分（廣義積分）的概念及其斂散性的判斷，為更高階的分析學學習埋下伏筆。 --- 全書特點總結： 本教材強調理論的嚴謹性與計算的實用性相結閤。在概念引入上力求清晰的幾何和物理直觀，在推導證明上嚴格遵循數學邏輯，並通過大量精心挑選的例題和課後習題（分為基礎鞏固、技巧訓練和綜閤應用三類）來鞏固讀者的技能。本書旨在培養學生利用微積分工具分析和解決復雜工程與科學問題的能力。

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