具体描述
本书是以大学理工科的《高等数学》的教学大纲为依据，结合大学数学教学大纲并参考最主流教材编写而成。内容简练明确，解决问题透彻明了，易学易用。本书的结构特点是，在每章的开头，首先列出本章的知识要点，然后扼要论述知识要点分析和学习要求，随后通过丰富的典型例题，详细讲述解析方法和答案，最后附有极具针对性的习题和自测。
本丛书具有三“导”合一的特点：集中知识要点“导”学，典型例题与习题“导”讲，知识点学习和自测紧密“导”练。
本书适合学习《高等数学》的大学理工科学生使用。
《微积分基础与应用进阶》图书简介 前言：探寻数学的严谨之美与无界应用 本书旨在为具有一定微积分基础的学习者提供一个深入、全面且富有启发性的进阶学习平台。我们深知，高等数学的学习并非仅仅是公式的堆砌与技巧的掌握，它更是对逻辑思维、抽象概括能力以及解决复杂问题能力的系统性训练。本书着重于夯实理论根基，并以大量贴近现代科学与工程实际的案例，展示微积分这门学科跨越不同领域的强大生命力。 第一部分：极限、连续性与导数的深度解析 本部分将对微积分的核心概念进行一次彻底的回顾与深化。我们不会停留在对 $epsilon-delta$ 语言的机械应用上，而是深入探讨极限的拓扑学意义，以及函数在不同空间中的连续性概念。 第一章：极限的严谨性与拓扑基础 1.1 极限的再定义与广义极限：从实数轴的极限扩展到更一般的度量空间中的极限概念。讨论序列收敛、聚点与极限点的关系。 1.2 函数连续性的多角度审视：深入分析一致连续性、紧集上的连续函数性质（如极值定理、介值定理的更一般形式）。引入拓扑学中的开集、闭集概念，阐释连续函数如何保持拓扑结构。 1.3 无穷小与无穷大的比较：建立严格的比较准则，探讨它们在级数收敛判定中的应用，特别是在处理渐近分析问题时的重要性。 第二章：导数的深层结构与微分学的高级应用 2.1 微分的本质与高阶微分：超越 $Delta y approx dy$ 的简单叙述，探讨微分在变分法和泛函分析中的初步应用。引入微分形式（Differential Forms）的初步概念。 2.2 中值定理的推广与应用：罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的严格证明及其在不等式证明中的巧妙运用。重点讲解广义洛必达法则在处理不定式时的局限与突破。 2.3 函数极值与最优化理论：不仅限于单变量函数，深入探讨多元函数的一阶和二阶条件（Hessian矩阵分析）。引入拉格朗日乘子法在等式约束优化问题中的完整数学框架。 2.4 曲线与曲面的几何性质：曲率、挠率的精确计算与物理意义。对空间曲线的 Frenet 标架进行详尽的几何和代数推导。 第二部分：积分学的理论拓展与 Lebesgue 积分的引入 本部分将引导读者跨越 Riemann 积分的边界，接触现代数学分析中更具普适性的 Lebesgue 积分理论，并探究其在概率论和物理学中的不可替代性。 第三章：黎曼积分的局限性与不定积分的再思考 3.1 黎曼可积性的深入分析：探讨函数可积性的充分必要条件（如测度论的初步概念）。分析不满足黎曼可积性的典型函数（如 Dirichlet 函数的变体）。 3.2 反导数的唯一性与广义积分：讨论牛顿-莱布尼茨公式的严格前提。对不广义积分（瑕积分）进行收敛性的判定与计算技巧。 3.3 定积分的应用拓广：体积、表面积的计算不再局限于直角坐标系，引入柱坐标系、球坐标系以及一般曲线坐标系下的面积与体积元推导。 第四章：测度论导论与 Lebesgue 积分 4.1 集合测度与可测集：从长度、面积的直观概念过渡到 $sigma$-代数和外测度的严谨构造。理解可测集的性质。 4.2 简单函数与 Lebesgue 积分的定义： Lebesgue 积分如何克服 Riemann 积分在处理“病态”函数时的不足。积分的单调收敛定理（MCT）和有界收敛定理（DCT）的精确阐述与意义。 4.3 积分的变换与雅可比行列式：在多重积分中，系统阐述变量替换的理论基础——雅可比行列式，并讨论其在确定积分收敛性和几何意义上的核心作用。 第三部分：级数理论的高级分析与傅里叶分析的基石 本部分聚焦于无穷序列和无穷和的收敛性判定，并为读者搭建进入偏微分方程和信号处理领域的桥梁——傅里叶级数。 第五章：无穷级数的收敛性判定与函数项级数 5.1 更强的收敛判定法：阿贝尔判别法、狄利克雷判别法的严格证明与应用。探讨条件收敛与绝对收敛的本质区别。 5.2 幂级数与收敛半径：半径的确定方法（比值法、根值法）的普适性。讨论幂级数的逐项求导与逐项积分的合法性条件。 5.3 函数项级数的均匀收敛性：与逐点收敛的区别与重要性。 Weierstrass M 检验法及其在证明连续性、可微性上的关键作用。 第六章：傅里叶级数与周期函数的分析表示 6.1 傅里叶级数的构建：周期函数的分解原理。欧拉-傅里叶公式的推导与复指数形式的引入。 6.2 收敛性讨论：狄利克雷定理——函数在何处收敛？收敛点处的极限值讨论（如吉布斯现象的几何解释）。 6.3 傅里叶级数在积分与微分中的应用：如何利用傅里叶展开求解特定积分、微分方程的初值问题（作为对常微分方程方法的补充）。 结语：走向数学分析的更深处 本书的编写目标是提供一个扎实、深入且具有前瞻性的微积分进阶教程。通过对概念的严谨定义、理论的深入剖析以及对现代数学工具（如测度论基础）的适度引入，我们期望读者不仅能熟练运用微积分的计算技巧，更能理解其背后的深层逻辑，从而为未来深入学习实分析、复变函数或应用数学打下坚实的基础。数学之美，在于其结构的统一性与思想的穿透力，本书愿为探索者铺平通往更高层次的阶梯。
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