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出版者:高等教育出版社

作者:周建伟

出品人:

页数:301

译者:

出版时间:2006-5

价格:13.70元

装帧:简裝本

isbn号码:9787040118780

丛书系列:

图书标签:

• 几何
• 高等数学
• 数学
• 代数几何
• 拓扑学
• 微分几何
• 抽象代数
• 数学分析
• 研究生教材
• 学术著作

现代解析几何学基础与应用 图书简介 本书旨在为读者提供一个全面、深入且富有启发性的现代解析几何学导论。它不仅仅是传统欧氏几何概念的简单复述，而是立足于向量空间、仿射空间和射影空间等现代代数结构，系统地阐述几何对象的本质及其代数表示。全书内容组织严谨，逻辑清晰，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾几何直观的培养。 第一部分：基础概念与向量空间几何 本部分是全书的基石，侧重于将几何概念提升到向量空间的抽象层面。 第一章：预备知识与基础结构 首先，我们回顾必要的线性代数知识，包括域、向量空间、线性变换、基与维数。随后，引入欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的结构，重点讨论内积的概念及其性质，这是定义距离、角度和正交性的关键。我们详细探讨了正交基的构造（如 Gram-Schmidt 正交化过程）以及正交投影的概念，这些都是后续许多几何构造的基础。 第二章：仿射空间的概念 仿射空间是连接线性代数与传统几何的桥梁。我们定义了仿射空间 $A$ 作为一个集合，以及其上的一个向量空间 $V$（称为方向空间）。我们详细分析了点和平移向量之间的关系，强调了仿射空间的“平移不变性”而非“原点依赖性”。本章着重区分了仿射组合（如中点、重心）和线性组合，并引入了仿射子空间（仿射子空间、直线、平面）的定义、参数方程和点方程表示法。 第三章：欧几里得几何的坐标表示 在 $mathbb{R}^n$ 这一特定的仿射空间中，我们引入了标准内积，从而可以在坐标系下处理欧几里得几何问题。本章细致讨论了刚体运动（等距变换），包括旋转、平移和反射，并使用正交矩阵描述旋转群 $O(n)$ 和特殊正交群 $SO(n)$。我们详细推导了两个点集之间距离的保持性，以及坐标变换对几何图形描述的影响。 第二部分：二次型与二次曲面 本部分是解析几何的核心内容之一，研究由二次多项式定义的几何对象，这是理解高维空间中曲线和曲面的关键。 第四章：二次型与矩阵表示 我们从代数角度定义了二次型 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$，其中 $A$ 是一个对称矩阵。本章的核心在于矩阵的合同关系和二次型的规范形。通过对二次型矩阵进行正交相似对角化（或使用 Sylvester 惯性定理），我们可以将复杂的二次型简化为其最简洁的形式。我们详细解释了二次型的正定性、半正定性等分类及其几何意义。 第五章：二次曲面分类与标准形 基于二次型，本章将研究 $mathbb{R}^3$ 中的二次曲面。我们系统地推导了椭球面、双曲面、抛物面等经典二次曲面的标准方程，并分析了它们在不同参数下的几何形态变化（例如，单叶双曲面与双叶双曲面）。重点在于理解曲面的主轴方向和中心，这些信息直接来源于二次型矩阵的特征向量和特征值。我们还探讨了退化二次曲面的情况。 第六章：二次曲线与矩阵秩 将讨论拓展到 $mathbb{R}^2$ 中的二次曲线。二次曲线的一般方程是 $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$。本章利用矩阵理论，特别是曲面矩阵的秩，来系统地分类圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）以及退化情况（如两条相交直线）。通过旋转主轴（消去交叉项 $xy$）和必要的平移（消去一次项 $dx, ey$），我们最终将任何二次曲线化为标准形式，并讨论了曲率的概念。 第三部分：射影几何的引入 射影几何提供了一种更广阔的视角来审视传统几何，尤其是在处理无穷远处的概念时。 第七章：齐次坐标与射影空间 本章引入了齐次坐标 $mathbf{x} = (x_1, x_2, dots, x_{n+1})$，它使得欧几里得空间中的点与 $mathbb{R}^{n+1}$ 中穿过原点的直线建立了一一对应关系，从而构造了 $n$ 维射影空间 $mathbb{P}^n$。我们详细解释了射影平面 $mathbb{P}^2$ 的结构，包括有限点（仿射点）和无穷远线（或无穷远点）的概念。 第八章：射影变换与对偶性原理 射影变换（或称透视变换）是保留直线性的变换，在齐次坐标下表现为可逆的 $(n+1) imes (n+1)$ 矩阵的乘法。我们研究了射影变换群 $PGL(n, K)$ 的性质，并探讨了它如何将一个二次曲面变换为另一个（即二次曲面在射影意义下的不变量）。本章的亮点是对偶性原理的阐述：在射影几何中，关于点和线的任何定理，如果将“点”和“线”互换，得到的定理依然成立。我们通过实例演示了这一原理在 $mathbb{P}^2$ 中的应用。 第九章：射影平面上的二次曲线 在射影框架下，二次曲线的描述更加统一和优美。我们使用射影矩阵 $B$ 来定义射影二次曲线 $ mathbf{x}^T B mathbf{x} = 0 $。本章讨论了二次曲线的判别式，并利用射影变换的工具证明了所有非退化的二次曲线在射影意义上是等价的，即可以通过射影变换相互转化。 总结与展望 本书的结构设计旨在引导读者从熟悉的欧几里得空间出发，逐步过渡到更抽象的仿射和射影框架。通过对向量空间代数的深入运用，读者将能以统一的视角理解传统解析几何中的各项结论，并为进一步学习微分几何、代数几何等更高级的数学分支打下坚实的基础。本书适合数学、物理、工程类专业的高年级本科生及研究生阅读。

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初次接触《高等几何》这本书时，我最大的感受是它的体系性达到了惊人的高度。它不像市面上许多几何学书籍那样，将欧氏空间、射影几何、仿射几何等知识点零散地堆砌在一起，而是构建了一个清晰的、层层递进的结构。从基础的向量空间和线性变换出发，逐步提升到更抽象的度量空间和内积结构，直至最终过渡到整体微分流形。这种从具体到抽象的引导过程，极大地降低了初学者的入门门槛，尽管后面的内容依然艰深。尤其值得称赞的是，作者在引入曲率时，没有直接跳到教科书上常见的黎曼曲率张量，而是先花了大量篇幅讨论如何用曲率来衡量“平直性”的丢失，通过“平行移动”的路径依赖性来定义曲率，这种教学策略，将数学直觉的培养放在了公式推导之前，非常人性化。虽然阅读过程中需要时常停下来查阅作者在附录中给出的线性代数回顾，但这种“带着镣铐跳舞”的感觉，反而让我更加确信每一个数学概念都是有其坚实历史和逻辑根基的。

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说实话，这本书的阅读体验更像是在攀登一座知识的高峰，每前进一步都伴随着汗水和顿悟交织的复杂情感。我印象最深的是其中关于微分几何中“联络”的讨论，作者似乎非常钟爱那些看似枯燥的符号演算，但他硬是通过对“平行移动”这一直观概念的深入挖掘，将抽象的联络形式赋予了物理意义。我记得有一节专门讲了曲率的测地线偏离，那段描述简直是诗意的数学。作者没有直接抛出复杂的微分方程组，而是先用“想象一个粒子沿着测地线运动，它如何偏离预期轨道”的场景来引导读者，这种叙事手法让冰冷的数学公式变得鲜活起来。当然，书中对代数拓扑的引入也处理得相当到位，特别是关于同调群和同伦群的介绍，虽然篇幅相对较短，但其逻辑脉络清晰，成功地将读者从纯粹的微分结构带入了更广阔的拓扑世界。对于我这种并非专业数学系出身的读者来说，能在这本书里找到如此详尽且富有洞察力的阐述，实属不易，唯一的遗憾是，有些更前沿的理论，比如规范场论在纤维丛上的应用，似乎只是点到为止，留下了更多的探索空间。

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这本书的装帧设计可能不太吸引那些追求时尚外观的读者，它走的是那种传统学术著作的路线，纸张略显粗糙，油墨味儿也比较重，但这反而给我一种信赖感，觉得它是一本可以被时间考验的工具书。我最近在使用这本书来辅助我进行一些非线性动力学模型的构建，特别是在研究系统的几何结构时，书中关于李群和李代数的章节发挥了巨大的作用。作者在阐述李括号的非交换性质时，用了非常细致的例子来展示其在对称性破缺中的角色，这比我之前看的任何一本参考书都要来得透彻。另外，我注意到书中对“规范不变性”的讨论，虽然放在高等几何的框架下，但其数学基础的扎实程度，让我能够反过来更好地理解物理学中那些看似“黑箱”的操作。这本书的难度是阶梯式的，前面章节尚可接受，但一旦进入到微分形式的对偶空间和德拉姆上同调，阅读速度就会急剧下降，需要配合大量的练习题才能真正消化。那些习题设计得非常精妙，很多都是需要将前几章的概念融会贯通才能解出的“大题”。

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这本《高等几何》的书，拿到手里沉甸甸的，封面设计得非常古典，那种深沉的藏青色配上烫金的字体，一下子就让人感受到了一种学术的厚重感。我本来是抱着对几何学一丝敬畏的心情去翻阅的，没想到内容展开后，那种扑面而来的严谨性简直让人屏息。开篇部分对点集拓扑和流形基础的构建，没有丝毫的含糊，每一步推理都像精密的钟表齿轮咬合得那样完美无瑕。尤其是作者在引入黎曼几何概念时，那种从欧几里得空间平滑过渡到弯曲空间的处理方式，简直是教科书级别的示范。我花了好大力气才啃完第一章，里面的张量分析部分，那些复杂的协变导数和里奇张量的定义，需要反复对照图示和公式推导才能勉强跟上作者的思路。书中的例子选取得极其巧妙，既有理论上的抽象美感，又不乏与物理学，比如广义相对论中时空曲率的直观联系。读完后，感觉脑子里像是被重新梳理了一遍，对空间和维度的理解上了一个新的台阶，绝不是那种浮光掠影的科普读物，而是需要真正投入时间和心力的硬核经典。

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读完《高等几何》后，我必须承认，它不是一本可以轻松放在床头翻阅的休闲读物，而是一本需要被“对待”的严肃著作。它的价值不在于提供了多少现成的结论，而在于它教会了你如何用一种“几何的思维”去看待世界。书中对拓扑结构的讨论，尤其是关于紧致性和连通性的性质，对我理解复杂系统的稳定性起到了潜移默化的影响。我特别欣赏作者在处理向量丛和联络时的那种近乎偏执的清晰度，他用大量的图例来辅助那些高维空间的直观想象，即便在最抽象的章节，你也能感受到作者希望读者能够“看见”那些看不见的结构。这本书的排版质量非常高，公式居中对齐，符号使用规范统一，这在阅读专业书籍时至关重要，能有效减少因排版混乱带来的理解误差。总而言之，这是一部凝聚了作者毕生心血的力作，它可能不会让你瞬间成为几何学大师，但它绝对是你通往更高深数学殿堂的一把无可替代的钥匙。

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