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出版者:高等教育齣版社

作者:閔嗣鶴

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價格:7.10

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isbn號碼:9787040012590

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《代數幾何基礎》 本書簡介 本書旨在為讀者提供代數幾何領域的堅實入門。代數幾何是數學中一個迷人且深刻的分支，它通過代數的方法（特彆是多項式環和理想的理論）來研究幾何對象（如麯綫、麯麵等）。本書的結構側重於從經典代數幾何的概念齣發，逐步過渡到現代代數幾何的核心工具——概形（Scheme）理論的初步介紹。我們力求在保持嚴謹性的同時，確保概念的引入直觀且富有幾何洞察力。 第一部分：射影空間與代數集 本部分構建瞭代數幾何研究的初始舞颱。我們首先復習瞭域（Field）和多項式環的必要知識，特彆是多項式的環論性質。 1.1 射影空間 ($mathbb{P}^n$) 的構造與性質 我們從仿射空間 ($mathbb{A}^n$) 開始，引入射影空間的必要性，即“添加無窮遠點”以使得所有多項式方程組都有解（例如，在射影空間中，兩條不平行的直綫總是在某點相交）。本書詳細闡述瞭射影空間的標準拓撲（Zariski 拓撲的限製）和其代數結構。我們定義瞭齊次多項式、齊次理想，並建立瞭射影空間中的代數集（Projective Varieties）與齊次理想之間的第一個基本對應——希爾伯特零點定理（Hilbert's Nullstellensatz）在射影設置下的推廣形式。 1.2 局部研究：齊次坐標與開覆蓋 為瞭研究射影空間的局部結構，我們引入瞭開仿射集的概念，這些仿射集構成瞭射影空間的 Zariski 拓撲的一個開覆蓋。對每一個開集 $U_i$，我們展示瞭它如何與一個仿射空間 $mathbb{A}^n$ 同構，並討論瞭在這些仿射子集上研究多項式函數的代數性質。本章重點闡述瞭如何通過局部坐標係的變化來描述一個射影集的結構。 1.3 維度理論的初步探討 我們將引入代數集維度的概念，這來源於代數對象（如坐標環）的代數性質。維度通過主理想定理、Krull 維度等工具進行刻畫，直觀上對應於幾何對象的“自由度”。 第二部分：簇與規範化 本部分將重點放在對非奇異性（Smoothness）和規範化（Regularity）的討論上。 2.1 環化與局部環 為瞭進行精細的局部分析，本書引入瞭局部化（Localization）這一強大的代數工具。對於 Zariski 拓撲中的一個點 $P$，我們構造瞭定義在 $P$ 處的函數環——局部環 $O_{X,P}$。本書詳細解釋瞭如何從一個代數集 $X$ 的坐標環 $A(X)$ 齣發，通過局部化得到對應於 $P$ 的局部環。我們將證明，一個點是“正則的”（即局部看起來像仿射空間）當且僅當其對應的局部環是正則局部環。 2.2 規範性（Regularity）與奇異點 我們定義瞭正則映射和正則函數。核心目標是識彆和分類代數集上的“奇異點”。本書基於雅可比矩陣（Jacobian Matrix）的秩來定義代數集在一個點上的規範性。奇異點的識彆是代數幾何的核心任務之一，因為這些點往往對應於幾何形狀的尖點、自交點等不規則結構。 2.3 維流形與光滑性 在非奇異的情況下，代數集被稱為代數簇（Algebraic Variety）。本書將深入探討光滑簇的局部性質，並初步觸及代數簇的連通性、不可約性等拓撲/代數結構。 第三部分：預層、層與基本嚮量場 本部分開始邁嚮現代代數幾何的語言，即層論（Sheaf Theory）。 3.1 預層（Presheaves）與層（Sheaves）的構造 我們定義瞭拓撲空間上的預層，特彆是關於函數和截麵的一般概念。隨後，我們嚴格定義瞭層的公理（局部性與同一性），並解釋瞭層在編碼局部數據並將其“粘閤”成全局數據方麵的作用。 3.2 結構層 ($mathcal{O}_X$) 對於一個代數空間 $X$，我們構造瞭其結構層 $mathcal{O}_X$，它編碼瞭在 $X$ 的開子上定義的、局部來看是多項式函數（或更廣義的，局部環的元素）的截麵。這一層是定義在任何代數空間上的基本代數結構。 3.3 凝聚層與嚮量叢的先驅 我們將介紹凝聚層（Coherent Sheaves）的概念，它們是研究局部自由層（即局部上像嚮量空間一樣的層）的代數工具。在經典幾何中，這對應於切叢（Tangent Bundle）和更高階的嚮量叢。本書將通過對 $mathbb{P}^n$ 上的基本嚮量叢（如歐拉序列的構建）來展示凝聚層在描述幾何對象上的強大能力。 第四部分：引嚮概形（Scheme Theory） 雖然本書的核心是經典代數簇，但最後一部分將簡要介紹為什麼我們需要比代數簇更一般的概念——概形。 4.1 環譜（Spec A）的概念 我們引入瞭環 $A$ 的譜 $ ext{Spec}(A)$，它是基於素理想（Prime Ideals）構造的拓撲空間。我們闡述瞭如何在此空間上定義一個結構層，從而得到一個概形。 4.2 代數簇作為特定概形 我們將展示，所有我們前麵研究的（域 $k$ 上的）代數簇，都可以被視為具有特定性質的概形——即具有約化結構（Reduced Structure）和稠密仿射開集的概形。這為讀者理解現代代數幾何提供瞭必要的橋梁，解釋瞭概形理論如何統一處理特徵為零和非零的域上的代數對象。 學習目標 完成本書學習後，讀者將能夠熟練掌握射影空間的幾何結構，識彆並分析代數集的奇異點，理解層論在幾何分析中的基本作用，並對現代代數幾何（概形理論）的必要性有清晰的認識。本書為深入學習如代數拓撲、復幾何以及更深入的概形理論奠定瞭堅實的分析和代數基礎。

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