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出版者:第1版 (2001年7月1日)

作者:刘树利

出品人:

页数:424 页

译者:

出版时间:2001年7月1日

价格:29.8

装帧:平装

isbn号码:9787040099430

丛书系列:

图书标签:

• 计算机数学
• 数学基础
• 高等教育
• 教材
• 计算机科学
• 离散数学
• 微积分
• 线性代数
• 概率论
• 数值分析

《高等代数精要》 内容概要： 本书旨在为理工科专业学生系统梳理和深入讲解高等代数的核心概念与基本技巧，是理解后续深入数学分支的坚实基础。全书结构清晰，内容精炼，注重理论推导的严谨性与实际应用的有效结合。 第一章：数域与线性空间基础 本章首先引入数域的概念，明确实数域 $mathbb{R}$ 和复数域 $mathbb{C}$ 的代数结构特性，为后续的向量空间讨论奠定基础。随后，我们对线性空间的定义、基本性质（如子空间、生成集、线性相关性与线性无关性）进行了详尽的阐述。重点探讨了向量组的秩及其计算方法，特别是通过初等行变换求解线性方程组的通解和基础解系。 第二章：线性变换与矩阵 线性变换是本章的核心。从定义、性质出发，详细讨论了线性变换的核空间（Kernel）和像空间（Image），并阐述了维度定理。线性变换在不同基下的矩阵表示是本章的难点和重点，通过基变换矩阵连接了不同坐标系下的表示，揭示了矩阵变换的本质。矩阵的乘法、逆矩阵的性质以及矩阵的秩的几何意义得到了深入剖析。 第三章：行列式理论 本章系统介绍了行列式的定义、性质以及计算方法。从二阶、三阶行列式的几何意义出发，推广到 $n$ 阶行列式的莱布尼茨公式和拉普拉斯（代数余子式）展开定理。重点讨论了行列式在判断矩阵可逆性、求解线性方程组（克拉默法则）中的应用。此外，还探讨了行列式在几何学中表示面积和体积的直观联系。 第四章：特征值与特征向量 特征值与特征向量是理解线性变换内在结构的关键工具。本章首先定义了特征值和特征向量，推导了它们满足的特征方程。对于不同类型的矩阵（如实对称矩阵），详细讨论了它们的特征值分布规律。本章还引入了相似变换的概念，为第五章的对角化做好了铺垫。 第五章：矩阵的对角化与标准形 矩阵的对角化是简化复杂线性变换的关键技术。本章系统讲解了可对角化的充要条件（特征向量的完备性）。对于不可对角化的矩阵，引入了更一般的若尔当标准型（Jordan Normal Form, JNF）的理论。JNF的计算过程，包括计算广义特征向量和构造若尔当块，被分解为详尽的步骤指导，确保读者能够掌握复杂矩阵的标准化处理。 第六章：二次型理论 二次型是多变量函数分析和几何学中的重要对象。本章首先定义了二次型及其标准形，并阐述了如何通过配方法和正交变换将二次型化为标准形。重点深入讲解了实对称矩阵的谱定理，它是实现二次型正交对角化的理论基石。二次型的正定性、半正定性是判断函数极值和几何形状的关键判据，通过特征值和主子式判断法进行了详尽的对比和应用演示。 第七章：欧几里得空间 本章将线性代数的概念提升到具有内积结构的欧几里得空间。定义了内积、范数（长度）和夹角。基于内积，引入了施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，这是构建正交基的根本方法。正交矩阵的性质及其在旋转变换中的应用得到了详细讨论。最后，通过正交投影的概念，为最小二乘法等优化问题提供了坚实的理论基础。 附录：预备知识回顾 本附录快速回顾了复数运算、多项式理论中的基本概念，如多项式的除法、因式分解，以及多项式的根的性质，确保读者在进入正式章节学习前，对代数基础有清晰的认识。 本书特点： 1. 理论与实践并重： 每个重要定理的引入都伴随着清晰的几何或代数解释，避免了纯粹的形式主义推导。 2. 计算方法详尽： 针对行列式计算、特征值求解、若尔当标准型构造等计算难点，提供了详尽的算法步骤和示例。 3. 逻辑严密递进： 全书内容严格遵循从基础向量空间到高级结构（如欧几里得空间和二次型）的逻辑顺序，便于读者构建完整的知识体系。 4. 面向应用： 书中穿插了线性规划初步、微分方程组的解法等应用背景，展现了高等代数在现代科学中的不可替代性。 本书适合作为高等院校数学专业、物理学、计算机科学与技术、电子工程、自动化等理工科专业的本科生教材或参考书。通过系统学习，读者将能够熟练运用线性代数的工具解决复杂的工程和科学问题。

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这本书的封面设计得相当朴实，带着一种老派的学术气息，但翻开内页，排版清晰，图文并茂，尤其是那些复杂的公式和证明，作者的逻辑推导非常到位。我之前在学习离散数学和线性代数时，总觉得理论和实际应用之间有一道鸿沟，很多定义和定理总是停留在概念层面，难以真正内化。这本书在这方面做得尤其出色，它没有仅仅罗列那些枯燥的定义，而是通过大量的、贴近计算机科学实际问题的例子来阐释数学原理。比如，在讨论图论的部分，作者巧妙地将算法复杂度分析与图的遍历算法结合起来，让人瞬间明白了为什么某些算法效率更高。对我来说，最受启发的是它对抽象代数在编码理论中应用的介绍，虽然内容深度很大，但讲解的层次感极强，即便是初学者也能沿着作者的思路逐步深入。这本书的语言风格非常严谨，几乎没有冗余的词句，每一个章节的过渡都自然流畅，读起来虽然需要集中注意力，但每一次的“顿悟”感都让人回味无穷。它更像是一本精心打磨的工具书，而不是简单的教材，随手翻开任何一页，都能找到值得推敲的数学洞察。

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这本书的装帧和纸张质量都非常适合长时间阅读，墨水颜色深邃，反光度适中，即便是在深夜台灯下看久了眼睛也不容易疲劳。从内容上看，它最吸引我的是对离散数学中“关系与函数”的深入剖析，很多教科书对这些概念一带而过，导致我在学习数据库理论时总是感到基础不牢。这本书用集合论的严格语言清晰地界定了等价关系和偏序关系，并配上了丰富的例子说明它们在数据结构和排序算法中的应用。更重要的是，作者在讲解递归和归纳法时，提供了一种近乎哲学层面的阐释，让人理解了为什么这些看似简单的工具能够解决如此复杂的计算问题。这本书的叙述风格偏向于经典数学教科书，语言精炼，推导详尽，很少使用网络流行语或者过于轻松的表达方式，这使得它具有很高的参考价值和持久的生命力。它更像是一部经典的参考手册，而不是一个短暂的学习向导。

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我通常比较抗拒那些标题宏大的“基础”类书籍，因为它们往往内容泛泛而谈。然而，这本《计算机数学基础》成功地避开了这个陷阱。它没有试图涵盖所有数学分支，而是精准地聚焦于计算机科学的核心数学支撑。尤其在信息论和编码部分，作者对熵的定义和计算过程的阐述清晰到令人赞叹，我之前在其他地方看这个概念总是觉得云里雾里，但在这里，它与信息压缩的实际需求紧密结合，一下子就变得直观可感了。作者的行文节奏把握得非常好，长篇的证明后总会跟上一个简短的总结或者应用场景的过渡，保证了阅读的连贯性。这本书的价值不仅在于教会了我们数学知识，更在于塑造了一种严谨的、结构化的数学思维方式，它教会你如何将一个复杂的计算机问题，剥离掉所有不相关的信息，还原成一个纯粹的数学模型，然后利用数学工具去求解。这是一种实实在在的能力提升，而非单纯的知识积累。

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拿到这本书时，我首先被它厚重的质感所吸引，这绝对不是那种快餐式的读物。我原本以为“计算机数学基础”这个标题意味着内容会非常基础和肤浅，但实际上，它在很多领域都进行了深入的探讨，尤其是在数值分析和概率统计这块，处理得非常精妙。作者显然对现代计算的需求有着深刻的理解，他没有停留在微积分的皮毛，而是直接切入了迭代方法、误差分析和蒙特卡洛模拟这些更前沿的话题。让我印象深刻的是其中关于“病态问题”的讨论，作者用非常形象的比喻解释了为什么计算机在处理某些矩阵时会产生巨大的精度误差，并且给出了如何通过选择合适的数值方法来规避这些问题的具体步骤。这本书的论证过程就像是搭建一座精密复杂的桥梁，每一步的受力分析都考虑得清清楚楚，让人感到无比踏实。对于那些希望从“会用”数学软件到“理解”软件底层原理的读者来说，这本书简直是及时雨。它不是教你如何套用公式，而是教你如何像一个数学家那样去思考计算的本质和局限性。

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说实话，这本书的难度曲线有点陡峭，对于数学基础薄弱的读者可能需要多花一些时间去消化。我刚开始阅读时，在矩阵分解那一章确实卡住了，感觉作者的跳跃性有点大，很多地方需要参照其他资料来辅助理解。但是，一旦攻克了最初的难关，后面的阅读体验就变得豁然开朗了。这本书的优点在于它的“完整性”，它试图建立一个自洽的数学体系，将代数、分析、逻辑这些原本割裂的领域统一起来。我特别欣赏作者在介绍布尔代数和命题逻辑时所采用的结构化方法，它为理解计算机的底层逻辑门操作提供了坚实的理论基础，而不是仅仅停留在简单的真值表判断上。书中的习题设计也相当有水平，它们不是简单的计算题，而是更偏向于证明和设计，要求读者真正运用所学的知识去解决一个抽象的计算问题。我感觉自己不是在“读书”，而是在进行一场智力上的攀登，每解决一个难题，都能感受到思维的拓展和逻辑能力的提升。

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