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出版者:科学出版社

作者:马如云

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2004年4月8日

价格:34.0

装帧:平装

isbn号码:9787030125903

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《非线性常微分方程非局部问题》 本书聚焦于一类在数学和物理科学中扮演着关键角色的方程——非线性常微分方程（ODE）的非局部（nonlocal）问题。这类问题因其能够刻画物理系统中广泛存在的非局部相互作用和记忆效应而备受关注。与描述局部变化的经典ODE不同，非局部问题中的方程不仅依赖于当前状态，还取决于过去的状态或空间上的积分项，这使得它们在建模诸如生物动力学、材料科学、金融建模以及天体物理学等领域具有独特的优势。 核心内容与研究对象 本书深入探讨了具有各种非局部算子的非线性常微分方程的理论。这些非局部算子可以是积分形式的（例如，涉及某种核函数的积分），也可以是延迟算子的形式（指方程的演化依赖于过去某个时间点的状态）。我们将系统地分析这类方程的解的存在性、唯一性、光滑性以及稳定性。 方程的类型： 书中将涵盖多种非线性常微分方程的非局部变体，包括但不限于： 具有积分核的非局部方程： 这类方程中的非局部项通常表示为对某个函数在特定区间上的积分，并乘以一个核函数。核函数的性质（如其衰减率、奇异性等）对解的行为有着至关重要的影响。 具有延迟的非局部方程： 这类方程的演化同时受到当前状态和过去某个延迟时间点的状态的影响。延迟的存在可能导致复杂的动态行为，如周期性、混沌甚至是分岔。 记忆效应方程： 某些非局部问题能够精确地捕捉系统中的“记忆”现象，即系统当前的演化受到其整个历史轨迹的影响，而不仅仅是某个固定时间点。 分析工具与方法： 为了理解和解决这些复杂的方程，本书将介绍和应用一系列强大的数学工具，包括： 不动点理论： 利用各种不动点定理（如Banach收缩映射原理、Schauder不动点定理）来证明解的存在性。 能量方法： 通过构造适当的能量函数或Lyapunov函数来分析解的稳定性。 迭代方法： 发展和分析数值迭代算法，用于逼近方程的解。 泛函微分方程理论： 专门针对具有延迟算子的方程，将应用泛函微分方程领域的相关理论。 微分不等式： 利用Gronwall不等式等工具来界定解的增长或衰减行为。 拓扑方法： 在某些情况下，也可利用拓扑学的方法来研究解的性质。 问题的类型： 我们将重点关注以下几类非局部问题： 初值问题（IVP）： 给定方程以及在初始时刻的状态，研究解的演化。 边值问题（BVP）： 研究在给定区间端点（或特定边界条件）下方程的解。对于非局部问题，边值条件可能也具有非局部性质。 周期边值问题（PBVP）： 在周期性边界条件下，探寻方程的周期解。 理论深度与应用前景 本书在理论层面力求严谨，为非线性常微分方程非局部问题的研究提供坚实的基础。研究成果不仅有助于深化对非局部现象的数学理解，也为解决实际工程和科学问题提供了强有力的理论支持。 理论贡献： 本书将系统地梳理现有研究成果，并在此基础上提出新的分析方法和理论框架。例如，对于某些新型非局部算子，将建立相应的存在性、唯一性定理；对于复杂非线性项，将分析其对解稳定性的影响。 应用价值： 本书的研究成果有望应用于： 生物系统建模： 模拟群体动力学、疾病传播中个体间的非局部相互作用。 材料科学： 描述具有长程相互作用的材料的力学或热学行为。 金融市场分析： 建立具有记忆效应的金融模型，预测市场波动。 天体物理学： 研究恒星演化、星系动力学中引力等长程力的影响。 控制理论： 设计具有非局部反馈的控制系统。 本书特点 系统性： 本书将从基础概念出发，逐步深入，系统地介绍非线性常微分方程非局部问题的理论和方法。 全面性： 涵盖了多种类型的非局部算子和问题，以及分析这些问题所需的关键数学工具。 前沿性： 关注该领域最新的研究进展和未解决的问题，为读者提供一个展望未来研究方向的视角。 严谨性： 数学推导严谨，结论可靠，为研究人员和学生提供可靠的参考。 目标读者 本书适合以下读者： 数学、应用数学、计算数学等专业的硕士、博士研究生。 从事非线性分析、微分方程、动力系统等领域研究的学者和研究人员。 需要利用非线性常微分方程非局部模型来解决实际问题的工程师和科学家。 通过对《非线性常微分方程非局部问题》的深入研读，读者将能够掌握分析和解决此类复杂数学问题的必备知识和技能，从而在各自的研究和应用领域取得突破。

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坦率地说，这本书的阅读体验是极其不连贯的，因为它的内容跨度极大，仿佛是从不同的研究课题中拼凑而成的合集。我注意到某些章节在探讨一些与量子场论边缘相关的随机微分方程的解的性质，其数学工具甚至开始涉及随机过程的高级理论。接着，下一章可能又突然转向了某种具有扩散项的边界值问题，并且用到了非常古典的傅里叶级数展开来构造解。这种风格上的巨大反差让我感到困惑，我无法建立起一个统一的理论框架来贯穿全书。我本以为会看到一个清晰的逻辑链条，比如从一维问题推广到高维，或者从线性推广到非线性，但这本书似乎更像是作者多年来不同研究兴趣的结晶，缺乏一个统一的、面向读者的学习路径。对于那些希望通过这本书建立起系统化知识体系的人来说，这种碎片化的叙述方式无疑增加了理解的难度。

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这本书的深度是毋庸置疑的，它毫不留情地将读者抛入了高度抽象的数学构造之中。我记得有一章专门探讨了某种关于时间演化算子的不动点定理，作者似乎在试图证明某个物理系统在无限长的时间尺度下，其状态会收敛到一个稳定的平衡点。这种论证过程极其漫长，环环相扣，每一步的逻辑跳跃都要求读者具备极强的抽象思维能力。我试图在其中寻找一些关于经典控制理论中状态空间描述的内容，比如李雅普诺夫稳定性理论的应用，但这本书似乎完全没有触及经典控制论的框架。它更倾向于用概率论和测度论的语言来描述系统的随机扰动和长期行为，这使得整个叙事风格与传统的工程数学书籍大相径庭。这本书更像是为那些痴迷于数学结构本身之美的学者准备的，对于追求快速解决实际工程难题的工程师来说，阅读过程可能更像是一场艰苦的智力跋涉。

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这本书的排版和字体选择，透露出一种严肃的学术气息，大量使用了希腊字母和复杂的上下标符号，这无疑是对专注度和数学功底的极大考验。我最初翻阅的章节，重点似乎完全放在了某个特定类型的偏微分方程组的正则性研究上，其中穿插了大量的泛函分析技巧，什么Sobolev空间、Bessel势等等，对我来说，这些术语就像是古老的咒语，需要我反复查阅参考书才能勉强跟上作者的思路。我原本是抱着希望能学习到一些关于如何数值模拟复杂流体力学现象的技巧的期望而来的，毕竟，非线性方程在描述湍流时表现得尤为突出。然而，这本书似乎对数值解法避之唯恐不及，几乎没有提及任何关于有限差分、有限元或者谱方法的内容。它更像是探讨“方程的解‘存在’且‘唯一’吗？”这个问题，而不是“如何‘求出’这个解？”这种实用主义的视角，这让那些期待快速应用新知识的读者可能会感到有些迷茫和挫败。

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这本书的封面设计得相当有力量感，黑色的背景上，几条错综复杂的曲线像是交织在一起的命运线，让人立刻联想到那种深邃而又难以捉摸的数学世界。我本以为会看到一些关于经典力学中那些耳熟能详的微分方程的讨论，比如简单的谐振子或者阻尼振动，毕竟这些内容在很多教材中都有涉猎。然而，当我翻开目录时，才意识到这本书记载的内容远比我想象的要前沿和晦涩。它似乎完全避开了那些基础的、可以在任何一本微积分或常微分方程入门读物中找到的内容，转而直插那些需要更高级数学工具才能触及的领域。比如，我印象最深的是其中一章对某种奇特积分算子的介绍，那种描述方式让我感觉像是在阅读一篇纯粹的理论物理论文，而不是一本数学专著。我期待着在阅读过程中能找到一些关于这些抽象概念在实际工程或物理模型中如何应用的实例，但似乎作者的重点完全放在了理论的严谨性和构造的精妙性上，对于那些“接地气”的例子着墨不多。整体而言，它给我的感觉更像是一份为资深研究者准备的工具箱，而不是给初学者准备的向导。

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这本书在参考文献的选择上，也展现出一种高度的专业性和倾向性。我注意到它大量引用了来自特定学派的俄国或欧洲学者的工作，这些文献往往是高度专业化的期刊论文，而不是那些广为流传的经典教科书。这表明作者的立足点非常高，似乎是在与圈子内最顶尖的研究者对话。遗憾的是，对于那些希望通过这本书来了解该领域发展历史或者主要流派的读者来说，这本书提供的背景信息是严重不足的。它直接从“问题是什么”跳到了“我的解决方案是什么”，中间的背景铺垫非常少。我期待能看到一些关于为什么这些“非局部”的条件在实际中是必要的、它们替代了哪些经典假设的讨论，但全书似乎对这些“为什么”的问题持保留态度，专注于证明“如何做”。它更像是一份面向同行、用于展示最新成果的报告，而不是一本旨在传授基础和拓宽视野的入门读物。

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