具体描述
《线性代数与空间解析几何》是关于线性代数与空间解析几何两方面内容的教材。它将这两部分内容按其内在联系合理的结合起来，相互渗透，前后呼应，成为一体。内容包括行列式、矩阵、向量、空间中的平面与直线、线性方程组、特征值与特征向量、二次型、空间中的曲面与曲线。
《线性代数与空间解析几何》是在第一版的基础上，广泛听取校内外教师的意见后修订而成的，书中配有内容丰富的习题和综合练习100例，全书层次清晰，论证简洁严谨，可读性强。
《线性代数与空间解析几何》适合作为高等院校非数学理、工科各专业相应课程的教材或教学参考书，亦可作为硕士研究生入学考试的参考书。
《拓扑学基础与流形入门》内容简介 本书旨在为读者提供一个严谨而直观的拓扑学基础，并在此基础上引入现代微分几何的核心概念——流形。我们相信，理解空间本身的内在结构，是探索更复杂数学和物理世界的基石。本书将带领读者从最基本的集合论概念出发，逐步构建起一个完整的拓扑空间理论框架，最终迈入微分几何的殿堂。 --- 第一部分：点集拓扑学的基石（Foundations of Point-Set Topology） 本部分是全书的理论基础，旨在建立读者对“邻域”、“连续性”和“收敛性”在抽象空间中定义的精确理解。 第一章：预备知识与集合论回顾 我们将简要回顾实数系统 $mathbb{R}^n$ 上的基本拓扑结构，并着重阐述集合论中对于构造拓扑空间至关重要的概念：基、子基、拓扑的定义与构造。重点讨论由函数、集合族诱导的拓扑结构，例如子空间拓扑、商拓扑的初步概念。 第二章：拓扑空间的结构与性质 邻域系统、开集、闭集与闭包的严格定义是本章核心。我们将详细探讨边界、内部、外部的概念及其相互关系。拓扑空间最重要的性质之一——连续性的定义将在本章得到详尽的讨论，并与 $mathbb{R}^n$ 上的连续函数进行对比，揭示拓扑连续性的本质。 第三章：分离公理与特殊空间 分离公理（$T_0, T_1, T_2$（Hausdorff）, $T_3, T_4$）是区分不同类型拓扑空间的尺度。本章将重点分析 Hausdorff 空间的重要性，它是后续构建更复杂结构（如流形）的前提。我们还将深入研究紧致性（Compactness）及其性质。紧致性在有限维空间中等价于闭有界（Heine-Borel 定理），但在一般拓扑空间中则需要依靠开复盖这一更抽象的工具来刻画。可数性概念（如可数紧致性、可数紧致闭子集、第二可数空间）也将得到介绍。 第四章：连通性与度量空间（Connectivity and Metric Spaces） 连通性描述了空间是否可以被分解为分离的非空开集。我们将区分路径连通性和连通性之间的关系，并探讨其在代数拓扑中的初步意义。 紧接着，我们引入度量空间（Metric Spaces）。度量空间是拓扑空间的一个重要子类，因为距离赋予了空间更丰富的结构。本章将详述度量空间上的拓扑如何自然产生，并对比一般拓扑空间与度扑空间在收敛、完备性上的区别。完备性 (Completeness)，特别是 Baire 范畴定理，将在本章作为度量空间结构的重要体现进行深入探讨。 第五章：构造新拓扑空间的方法 如何从已知空间构造新的拓扑空间是拓扑学的核心操作之一。本章将聚焦于： 1. 商拓扑 (Quotient Topology)：如何通过等价关系构造出具有特定结构的空间，例如对 $mathbb{R}^n$ 进行粘合或收缩得到的环面、球面等。 2. 积拓扑 (Product Topology)：用于处理多个拓扑空间直积上的结构，并将其推广到无限多个空间（Tychonoff 定理的讨论）。 --- 第二部分：代数拓扑的萌芽（Seeds of Algebraic Topology） 本部分将初步探讨如何用代数工具来区分拓扑空间。 第六章：同伦与基本群导引 虽然深入的代数拓扑（如同调论）需要更深的背景知识，但我们在此引入同伦 (Homotopy) 的概念。同伦等价性是拓扑性质的一种更高层次的分类。本章将定义连续映射的同伦，并介绍基本群（Fundamental Group） $pi_1(X, x_0)$ 的直观意义——用于区分“洞”的存在性，例如辨别平面与圆周的区别。我们将计算简单空间的 $pi_1$ 群，如圆周 $S^1$。 --- 第三部分：流形与微分结构初步（Introduction to Manifolds and Differential Structure） 将点集拓扑学的概念提升到可进行微积分操作的层面，是连接几何与分析的桥梁。 第七章：流形的定义与基本例子 本章正式引入拓扑流形（Topological Manifold）的严格定义：一个可数且局部欧几里得（Locally Euclidean）的拓扑空间。我们将详细分析 $n$ 维流形的定义，并重点考察常见的例子： 1. 欧几里得空间 $mathbb{R}^n$：作为最基本的例子。 2. 球面 $S^n$：作为高维曲面的代表，讨论其拓扑结构。 3. 环面 $T^n$：通过商拓扑构造，展示拓扑结构如何编码“洞”的数量。 第八章：图册、坐标系与同胚映射 流形之所以强大，在于我们可以在局部使用 $mathbb{R}^n$ 的工具。本章聚焦于流形的局部结构： 图（Chart）与图册（Atlas）：描述如何用坐标系覆盖整个流形。 转移映射（Transition Maps）：连接不同图册中局部坐标系之间的映射。 第九章：光滑结构入门（The Smooth Structure） 为了进行微分运算，拓扑流形需要被赋予一个光滑结构。本章定义了光滑流形（Smooth Manifold）的概念，要求所有转移映射都是光滑的（即具有无穷可微性）。 光滑结构的诱导：讨论如何判断一个已有的拓扑流形上是否可以赋予一个光滑结构。 区分拓扑与光滑：简要提及一些拓扑上相同但光滑结构不同的空间（如高维球面），作为展望。 --- 结语 本书的结构旨在引导读者逐步建立起对空间几何属性的理解，从抽象的拓扑公理出发，到构建可进行微积分分析的流形结构。我们力求在理论的严谨性与几何直观性之间找到平衡，为读者后续深入学习微分几何、广义相对论或微分拓扑打下坚实的基础。通过对空间本质的探讨，读者将能以全新的视角审视熟悉的几何对象。
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