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出版者:高等教育出版社

作者:[英] 史密斯

出品人:

页数:649

译者:

出版时间:2004-8

价格:47.3

装帧:平装

isbn号码:9787040154870

丛书系列:

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《微积分 下册》是一本旨在深入剖析高等数学核心概念的学术著作，它承接了上册的基础，将带领读者进入一个更加广阔和精妙的数学世界。本书聚焦于微积分学中的一系列高级理论和应用，重点在于培养读者严谨的逻辑思维能力和解决复杂数学问题的能力。 本书的内容安排紧凑而富有条理，首先从多变量函数的微分学开始。这部分内容将现有单变量函数的微分概念推广到高维空间，深入探讨偏导数、方向导数、梯度等核心概念。读者将学习如何理解和计算多变量函数的极值，包括局部极值和全局极值，以及如何利用拉格朗日乘数法解决约束优化问题。此外，本书还将详尽介绍隐函数定理和反函数定理，这些定理在理论研究和实际应用中都扮演着至关重要的角色。隐函数定理允许我们处理由方程定义的隐式函数，而反函数定理则为我们提供了判断函数是否可逆及其逆函数的性质。 紧随其后的是多重积分，这是微积分学中一个极为重要的分支。本书将从二重积分和三重积分的定义和计算方法讲起，逐步引入雅可比式变换，使读者能够更灵活地在不同坐标系下进行积分计算。极坐标系、柱坐标系以及球坐标系下的多重积分计算将是重点讲解的内容。此外，本书还将深入探讨曲线积分和曲面积分，这两类积分是连接几何对象与分析运算的关键。读者将学习如何计算标量函数和矢量场的积分，以及理解其在物理学中的应用，例如功的计算、流体的流量等。 本书的另一大重要组成部分是积分学基本定理的推广，包括格林公式、高斯公式（散度定理）和斯托克斯公式。这些定理统一了不同类型的积分，揭示了微分与积分之间的深刻联系，是现代物理学和工程学中许多基本定律的数学基础。读者将通过大量的例题和证明，深刻理解这些定理的几何意义和应用价值。 除了上述核心内容，本书还将触及级数这一重要的数学工具。读者将学习关于数列极限的深入理论，以及无穷级数的收敛性判别方法，例如比值判别法、根值判别法、积分判别法等。本书还将重点介绍泰勒级数和麦克劳林级数，它们是近似计算复杂函数、研究函数性质以及解微分方程的强大工具。此外，幂级数和函数项级数也将被详细讨论，包括其收敛域的确定以及在分析和工程中的应用。 在理论的深度之外，本书也非常注重数学的严谨性。对于每一个重要的定理和概念，本书都提供了清晰、详尽的证明，旨在培养读者的数学证明能力和对数学本质的理解。同时，本书也包含了大量的练习题，覆盖了从基本概念的巩固到复杂问题的解决，难度循序渐进，能够有效地检验读者对所学知识的掌握程度，并帮助读者将理论知识转化为实际的解题能力。 本书的语言风格力求清晰、准确，避免使用晦涩难懂的术语。每一个概念的引入都伴随着直观的几何解释或实际的物理背景，以便读者能够更好地理解抽象的数学思想。对于需要深入研究的读者，本书还会提供一些进一步阅读的建议和参考资料。 总而言之，《微积分 下册》将是一本为读者打下坚实高等数学基础的权威性教材，是任何希望在数学、物理、工程、经济等领域取得更深造诣的学生和研究人员不可或缺的参考书。它不仅传授知识，更重要的是培养一种数学思维方式，为读者开启通往更广阔数学世界的大门。

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对于自学者而言，找到一本既全面又具备足够“人情味”的教材是件幸事。这本书就具备这种特质。它的行文风格不是那种高高在上的学术腔调，而是充满了鼓励和对话感。在处理那些容易混淆的概念，比如闭区间套定理和中值定理时，作者会不厌其烦地用对比、类比的方式进行区分，甚至会主动指出初学者容易在哪里犯错，并给出“避坑指南”。这感觉就像是有一个非常耐心的助教时刻在你身边指导。我记得有一次我被一个涉及多元函数极值的题目卡住了很久，正当我准备放弃时，翻到该章节的“思考园地”部分，里面正好有一个关于鞍点形成原因的深入讨论，虽然没有直接给出我的题目答案，但通过分析不同曲面在鞍点附近的局部形态，我豁然开朗，明白了问题的症结所在。这种“授人以渔”的教学策略，远胜于直接给出标准解答。这本书的参考文献和扩展阅读部分也做得非常出色，为那些渴望更进一步探索理论根源的读者指明了方向。

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这本书的难度曲线设置得极其巧妙，完全不像传统教材那样，在某一章节突然出现一个难以逾越的知识鸿沟。它更像是一位经验丰富的老教授，知道如何循序渐进地引导学生进入更深层次的思考。比如，在讲解定积分的概念时，作者并没有直接跳到黎曼和的严格定义，而是先通过计算不规则图形的面积和旋转体的体积这些具体的几何问题来铺垫，让读者自然而然地感受到需要一种“无限分割求和”的工具。然后，再逐步引入严谨的数学符号，此时读者已经对积分的“意义”有了深刻的理解，符号便不再是冰冷的符号，而成了描述直观想法的便捷工具。我尤其欣赏它在习题设计上的用心。每组练习题的后半部分，总会穿插着一些需要结合物理、工程学背景的综合应用题。这些题目不仅考察了计算能力，更重要的是训练了将实际问题转化为数学模型的能力，这才是微积分真正价值所在。我发现自己不再满足于仅仅“会算”，而是开始思考“为什么”要这么算，这种思维层次的提升，是这本书带给我最大的惊喜。

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这本书的理论深度和广度令人印象深刻，尤其在介绍向量微积分和应用时，处理得非常到位。它没有停留在二维平面的探讨上，而是迅速过渡到了三维空间乃至更高维度的思考，这为后续学习更专业的物理学或工程学课程打下了坚实的基础。例如，在讲解线积分和曲面积分时，作者清晰地阐述了斯托克斯定理和高斯散度定理的几何直观意义，而不是仅仅堆砌公式。通过配图，我可以清晰地想象出向量场在不同路径和曲面上的流动和累积效果。对我而言，最实用的一点是，它在介绍这些高阶概念时，始终保持着对“物理意义”的关注。它会反复强调，微分和积分工具的本质是为了描述自然界中的变化率和总量，而不是为了做数学游戏。这种务实的态度，极大地增强了我学习这些抽象概念的内在驱动力。总而言之，这是一本兼顾了严谨性、易读性和应用价值的优秀教材，是值得反复研读的知识宝库。

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这本书在细节的处理上，体现了极高的专业水准和对读者体验的关怀。印刷质量上乘，纸张的选择使得墨迹清晰不反光，即便是长时间在灯光下演算，视觉疲劳感也比我之前用的其他教材要轻得多。装帧结实，即使反复翻阅和做笔记，书本的内页也没有出现松动的情况，这对于需要频繁使用的工具书来说至关重要。内容组织上，它对微积分中的“证明”部分采取了一种分层处理的方式。基础的、必要的证明都以清晰的步骤呈现，确保读者能够跟上逻辑；而那些过于冗长或仅供参考的理论性证明，则被巧妙地放置在附录或标记为“选读”，避免了对初学者的认知负担。我特别喜欢它对历史背景的穿插介绍，比如牛顿和莱布尼茨关于微积分发明权的争论，以及柯西对极限概念的严格化过程。这些小插曲让原本枯燥的数学史增添了戏剧色彩，也让我更深刻地理解了现代微积分体系是如何一步步建立起来的，充满了对先贤们智慧的敬意。

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这本书的封面设计得非常朴实，没有太多花哨的装饰，给人的第一印象是内容扎实，不玩虚的。拿到手里的时候，就感觉到了那种沉甸甸的分量，就知道里面承载了多少知识。我本来对微积分这个科目就有些畏惧，总觉得那些无穷小的概念太抽象，难以捉摸。然而，这本书的引言部分却用一种非常生活化的语言，将微积分的起源和它在现实世界中的应用娓娓道来，一下子拉近了我和这门学科的距离。它没有急着抛出复杂的公式，而是先描绘了一幅关于变化和积累的宏大图景。我记得有一章专门讲了如何用导数来优化一个简单的生产流程问题，作者的讲解步骤清晰，每一步的逻辑推导都像是侦探解谜一样，让人忍不住想跟着一起深入下去。特别是对“极限”这个核心概念的阐释，作者引入了好几个历史上的经典思想实验，让原本晦涩的定义变得可视化、可感悟。这本书的排版也很舒服，字体大小适中，公式和文字之间的留白恰到好处，长时间阅读也不会感到眼睛疲劳。对于我这种数学基础相对薄弱的学习者来说，这种友好的呈现方式简直是雪中送炭，让我对后续的学习充满了信心。

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