具体描述
本书根据教育部颁发的线性代数课程教学基本要求，参考硕士研究生入学考试大纲，总结、梳理教材中各章的基本概念、基本理论和计算方法，提示内容重点和学习难点，选择典型范例精讲，并配有相当数量的练习题，题目难度适中，也兼顾考研要求。本忆上可作为线性代数课程的教学参考书，也可作为考研的复习应考用书。
现代几何与拓扑学基础 作者： [此处留空，或填写其他作者名] 出版社： [此处留空，或填写其他出版社名] 开本： 16开 页码： 约580页 定价： ￥88.00 --- 内容简介： 本书是一部面向高等院校数学专业本科高年级学生及研究生初学者的权威性教材，系统而深入地介绍了现代几何与拓扑学的核心概念、基本理论及其相互间的联系。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为读者构建一个坚实而广阔的数学视野，尤其侧重于将分析学的工具与代数结构相结合的方法论。 本书内容涵盖了微分几何、代数拓扑以及黎曼几何的入门基础，力求在保持数学严谨性的同时，兼顾概念的直观性和应用的可理解性。 第一部分：微分几何基础 本部分着重于在光滑流形上建立起微积分的工具箱，这是连接经典几何与现代数学分析的桥梁。 第一章 流形与张量场： 从可微结构和浸入/淹没的直观概念出发，严格定义了光滑流形。随后，引入了切空间、向量场和微分形式的代数结构。重点讨论了流形上的张量、张量场的概念及其在坐标变换下的不变量性。深入探讨了外微分的构造，并详细阐述了李导数的物理意义和代数性质，为李群和对称性的研究奠定基础。 第二章 联络与曲率： 核心内容是流形上的联络概念。我们引入了仿射联络的定义，并着重分析了Levi-Civita联络——它是赋予黎曼流形以度量结构后自然产生的联络。曲率张量（黎曼曲率张量、里奇曲率张量和标量曲率）被详细推导和计算，阐明了曲率如何衡量空间弯曲的程度。此外，还讨论了测地线的概念及其变分原理，为后续的动力学和物理学中的应用打下基础。 第三章 纤维丛与联络： 从向量丛（特别是切丛）的视角提升对流形的理解。本章系统介绍了纤维丛的纤维化结构，重点讨论了主丛、向量丛以及它们的上同调性质。深入讲解了联络的现代定义——纤维丛上的水平升成，并展示了曲率形式与经典曲率张量之间的内在联系。通过展示陈示类（如陈类、示性类）的定义与基本性质，初步触及拓扑不变量的代数描述。 第二部分：拓扑学导论 本部分旨在为读者提供一个理解空间“形变不变性”的代数框架，即拓扑学的核心思想。 第四章 拓扑空间与连续性： 从点集拓扑的基础出发，定义了拓扑空间、开闭集、邻域系统，并严格定义了连续函数、拓扑积与商拓扑。本章特别强调了紧致性、连通性及其在函数空间中的重要作用。通过对这些基本性质的深入探讨，为后续代数工具的引入做铺垫。 第五章 基本群与纤维丛： 引入了代数拓扑学的第一个重要不变量——基本群（$pi_1$）。详细介绍了路径、同伦概念，并使用庞加莱截面定理（或更基础的覆盖空间理论）来计算常见空间的 $pi_1$ 群，如圆周群 $S^1$。在此基础上，自然地引出了纤维丛的覆盖空间理论，并讨论了单连通性与流形分类的初步关系。 第六章 同调论初探： 转向更强大的同调理论。本章介绍了辛链复形的构造，并详细讲解了单纯同调的定义、边界算子和链映射。核心部分是讲解同调群的计算方法，特别是Mayer-Vietoris序列的应用，用以分解复杂空间的拓扑结构。虽然不深入奇异同调，但会提供同调与基本群之间的Hurewicz映射的直观描述，揭示它们之间的代数联系。 第三部分：几何与拓扑的交汇 本部分将前两部分的内容结合起来，展示现代数学中几何结构如何深刻影响拓扑性质。 第七章 黎曼度量与测地流： 结合第一部分关于联络的知识，系统地定义了黎曼度量、黎曼曲率的符号约定，并探讨了指数映射。重点分析了测地线方程在度量下的具体形式，并引入了黎曼流形上的李群作用（等距变换群）。通过考察爱因斯坦方程的几何背景，初步展示了微分几何在广义相对论中的应用潜力。 第八章 调和分析与几何谱论（选讲）： 简要介绍拉普拉斯-德拉姆算子（$Delta_d$）在光滑流形上的定义及其性质。展示了霍奇分解的直观思想，即流形上的微分形式可以被分解为调和形式、非调和形式和边界相关项。通过介绍谱几何的基本思想——流形的几何性质如何通过其拉普拉斯算子的本征值谱来刻画——为读者展示几何与分析的深度融合。 --- 本书特色： 1. 理论与工具并重： 本书不仅提供了严谨的数学证明，更注重对关键工具（如张量分析、微分形式、同伦方法）的清晰介绍和构造性推导，便于读者掌握实际操作。 2. 概念的几何直观性： 每一抽象概念的引入都尽可能与低维直观几何模型相结合，确保读者能够建立起坚实的图像感。 3. 现代视角： 涵盖了从流形到纤维丛，再到同调理论的现代数学结构，体现了当代几何学研究的前沿视角。 4. 自洽的知识体系： 内容组织遵循从局部到整体、从线性到非线性的逻辑顺序，使读者能够顺利过渡到更专业的领域，如微分拓扑、代数几何或理论物理中的几何场论。 适用读者： 数学专业本科高年级学生（进阶课程） 基础扎实的数学专业研究生 需要了解现代几何与拓扑学基础知识的物理学、工程学专业高年级学生及研究人员。 预备知识要求： 读者应具备扎实的微积分、线性代数、多变量微积分（含Green/Stokes定理）和基础抽象代数（群、环、向量空间）知识。
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