高等微積分（上） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:五南

作者:趙文敏

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2000年09月01日

价格:NT$ 500

装帧:

isbn号码:9789571121512

丛书系列:

图书标签:

• 微积分
• 高等数学
• 数学分析
• 理工科
• 大学教材
• 函数
• 极限
• 导数
• 积分
• 数学

经典数学教材：深度解析与严谨推导 图书名称：《分析学导论：基础与进阶》 本书简介 《分析学导论：基础与进阶》旨在为读者构建坚实而全面的高等数学分析基础。本书涵盖了从实数系统到多变量微积分的诸多核心概念，尤其侧重于理论的严谨性、证明的完整性以及概念的深刻理解。不同于侧重于计算技巧的入门教材，本书将分析学的本质——极限、连续性、收敛性与一致性——置于核心地位，引导读者真正掌握数学的思维方式。 第一部分：实数系统与极限的严谨性 本书伊始，便将着墨于构成整个分析学大厦的基石——实数系统。我们将详尽阐述有理数集到实数集的构造过程，着重讲解戴德金截割（Dedekind Cuts）或柯西序列（Cauchy Sequences）等构造方法的数学逻辑。重点讨论实数系统的完备性公理（Completeness Axiom），并证明其等价命题，如单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）和确界原理（Least Upper Bound Property）。理解完备性是区分初等微积分与高等分析学的关键分水岭。 随后，我们将进入极限的严格定义。$epsilon-delta$ 语言的引入并非仅仅为了满足证明的需要，更是为了精确刻画“无限接近”这一概念。本书将通过大量的例题和反例，帮助读者熟练运用此语言来证明数列的收敛性、函数的极限存在性，以及双边极限的性质。紧接着，我们将详细讨论上极限（Limit Superior）和下极限（Limit Inferior）的概念，并探讨它们在判断序列收敛性、判断函数行为中的重要作用。 第二部分：连续性、微分学与中值定理 在扎实的极限基础上，本书对函数的连续性进行了深入剖析。我们不仅定义了点态连续性，更引入了一致连续性（Uniform Continuity）的概念，并论证了在闭区间上连续函数必一致连续（即海涅-博雷尔定理在函数空间中的体现）。一致连续性与点态连续性的区别，是理解函数序列收敛中可积性和可微性后续讨论的基础。 微分学的讨论将严格遵循极限定义。导数的定义被视为函数在某点附近线性近似的极限。本书的核心内容在于微分中值定理的完整证明。我们将采用逐层递进的方式，首先证明罗尔定理（Rolle's Theorem），再推导出拉格朗日中值定理（Lagrange Mean Value Theorem），并探讨其在证明函数单调性、凹凸性以及估计函数变化率方面的应用。随后，对于高阶导数，我们将详细阐述柯西中值定理（Cauchy Mean Value Theorem），并以此为基础，严谨地推导泰勒定理（Taylor's Theorem）的各个形式，包括带拉格朗日余项和柯西余项的形式，强调泰勒级数在函数逼近中的局限性与适用范围。 第三部分：积分学的理论基石 本书的积分学部分将完全建立在黎曼可积性（Riemann Integrability）的严格定义之上。我们将超越初等微积分中对“面积”的直观理解，转而专注于上和（Upper Sum）与下和（Lower Sum）的逼近过程。详细讨论达布上积分（Darboux Upper Integral）和黎曼积分之间的关系。 我们着重分析哪些函数是可积的，哪些不是。例如，狄利克雷函数为何不可积。在此基础上，我们将证明微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus）的两个主要部分，展示微分与积分之间的深刻对偶关系。对于积分的推广，本书将简要介绍反常积分（Improper Integrals）的概念，并讨论其收敛性的判别准则，如比较判别法。 第四部分：序列、级数与收敛性判据 数列和级数的收敛性是分析学的核心挑战之一。本书将对级数收敛性的判别方法进行系统梳理。 对于常项级数，我们将详细检验比较判别法、比值判别法的适用条件，并深入研究根式判别法。关键在于交错级数（Alternating Series）的讨论，严格证明莱布尼茨判别法（Leibniz Criterion）。更重要的是，本书将区分条件收敛（Conditional Convergence）与绝对收敛（Absolute Convergence），并证明黎曼重排定理（Riemann Rearrangement Theorem），揭示条件收敛级数重排后可以收敛到任意指定值这一惊人事实。 对于函数项级数，我们首次引入一致收敛性（Uniform Convergence）的概念。通过与点态收敛的对比，清晰阐述一致收敛性对于保持极限运算与积分运算顺序不变的必要性。魏尔斯特拉斯M判别法（Weierstrass M-Test）将被用来检验一致收敛性。一致收敛性的强大后果，例如在一致收敛序列的极限可以逐项求导、一致收敛级数可以逐项积分的定理，将被完整证明。 第五部分：多变量微积分的初步探讨 在掌握了一元分析的基础上，本书将简要过渡到多变量函数的初步分析。我们将定义偏导数（Partial Derivatives），并展示偏导数存在并不足以保证函数可微。多变量可微性（Differentiability of Multivariable Functions）的严格定义将基于线性近似的极限概念。 对于这些多变量函数，我们将讨论方向导数（Directional Derivatives），并系统推导多元链式法则（Chain Rule），这是处理复杂函数复合结构的关键工具。最后，本书将介绍多重积分的定义，着重于在二维或三维空间中，积分区域的划分与积分的可行性，为读者后续进入更专业的拓扑学或更深入的多元分析做好理论准备。 本书的特色在于其严谨的逻辑结构和详尽的证明过程，适合数学、物理、工程学等专业的高年级本科生或研究生作为第一本专业分析教材使用，旨在培养读者对数学理论的深刻洞察力和严密的逻辑推理能力。

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我一直在寻找一本能真正深入浅出讲解高等微积分的书籍，市面上很多教材要么过于简略，很多关键的证明步骤一带而过，要么就是过于晦涩，把简单的概念用复杂的符号堆砌起来，让人望而却步。而这本书，在我翻阅的这几个章节中，展现出了一种难得的耐心和条理。我特别留意了级数收敛性的那几节，通常这是很多学生感到头疼的地方，因为牵涉到许多判别准则和极限的精细操作。这本书的处理方式是，先用直观的例子建立感性认识，比如用几何级数的衰减速度来类比收敛的快慢，然后再逐步引入比值判别法、根值判别法，每一步的逻辑推导都清晰可见，几乎没有跳跃性的思维过程。作者似乎非常清楚读者可能在哪里卡住，并在那些潜在的难点处提前设置了“减速带”和“警示牌”。对于自学者来说，这种细致入微的讲解方式，大大降低了学习曲线的陡峭程度。我能感受到作者在撰写过程中，是站在一个“导师”的角度，而不是一个冷冰冰的“知识搬运工”的角度在与读者交流。

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这本书的封面设计得非常经典，米白色的纸张给人一种沉稳的感觉，仿佛能感受到知识的厚重。我拿到书的时候，首先被它的装帧吸引了，精装本的质感非常好，拿在手里沉甸甸的，很适合长期保存。内页的排版也看得出来是下了功夫的，字体清晰易读，公式推导的步骤分明，这一点对于学习微积分这种逻辑性强的学科来说至关重要。我特地翻阅了几页关于多变量函数的导数部分，作者在讲解偏导数和方向导数时，不仅给出了严谨的数学定义，还穿插了一些直观的几何解释，这对于我这种偏爱形象思维的读者来说，是极大的帮助。有时候教科书过于注重形式，反而让人抓不住核心概念，但这本书显然在这方面做得比较平衡。尤其欣赏它在引入新概念时，会先回顾相关的基础知识，确保读者不会因为基础不牢而掉队。书中的例题选取也很有代表性，涵盖了从基础计算到复杂应用的不同难度级别，感觉作者是站在一个非常理解初学者的角度来构建知识体系的。总而言之，从物理感受和初步的阅读体验来看，这是一本非常值得信赖的教材。

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这本书的习题设置是其一大亮点，这直接决定了一本数学书的实用价值。光看不练，那只是在看故事，学数学最终还是要靠动手算。我随机挑了几个章节后面的练习题来观察，它们的难度梯度设计得非常科学。开头的几道是基础概念的巩固，主要是对定义和基本公式的熟练运用；中间部分开始出现了一些需要综合运用多个定理才能解决的题目，开始考验读者的融会贯通能力；而章节末尾的几道“思考题”或“选做题”，则明显是留给那些希望挑战自我、深入理解理论本质的读者的。更让我惊喜的是，这本书的某些关键定理的证明部分，作者并非直接给出标准的、教科书式的证明，而是提供了一种更具启发性的证明思路，甚至在证明的某一关键步骤后留有空白，鼓励读者自己去填补，这种互动性是很多传统教材所缺乏的。这使得学习过程不再是被动的接受信息，而成为了一个主动探索和发现知识的过程。

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作为一名对数学史略感兴趣的读者，我总希望教材能提供一些历史背景，让枯燥的公式背后能有人物和思想的脉络可循。虽然这本《高等微积分（上）》定位是严谨的教材，但我发现它在某些基础概念的介绍时，还是巧妙地融入了一些历史的痕迹。比如在介绍极限的 $epsilon-delta$ 定义时，虽然推导严密，但字里行间流露出对柯西和魏尔斯特拉斯奠基性工作的尊重，而非仅仅是冰冷地呈现结果。这种对“为什么是这样”而非“它就是这样”的探究，极大地提升了阅读的趣味性。此外，书中的插图运用也相当克制且精准，没有那种为了美观而堆砌的冗余图表，每一张图都是为了清晰地阐释一个几何或物理意义上的直观理解，比如曲面的法线向量的计算，配图就能让人立刻明白空间向量操作的意义。整体来看，这本书在保持学术严谨性的同时，没有完全割裂知识的人文底色。

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这本书的翻译质量，或者说是中文表达的流畅度，给我留下了非常深刻的印象。很多理工科的引进版教材，即便内容再好，也常常因为翻译腔过重或者术语对应不当，导致阅读体验大打折扣。然而，这本《高等微积分》的中文叙述非常地道、自然，没有那种生硬的、逐字翻译的痕迹。无论是对“闭区间”的描述，还是对“一致收敛性”的阐释，都使用了国内数学界非常成熟和规范的术语，使得专业概念的理解毫无障碍。特别是对于那些涉及“紧集”、“连通性”这类拓扑概念的描述，作者（译者）选择了最清晰准确的词汇来界定，避免了歧义。这种高水准的语言组织能力，使得读者可以将全部精力集中在数学逻辑本身，而不是花费额外的精力去“解码”文字。一本好的教材，其语言本身就应该成为辅助理解的工具，而不是理解的障碍，这本书在这方面做得堪称典范。

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