高等微積分（下） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:五南

作者:趙文敏

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2005年04月01日

价格:NT$ 600

装帧:

isbn号码:9789571138749

丛书系列:

图书标签:

• 高等数学
• 微积分
• 数学分析
• 理工科
• 大学教材
• 函数
• 极限
• 积分
• 微分方程
• 数学

深入解析《解析几何的奥秘》 作者： [此处填写一位假想的数学大家姓名，例如：李文博] 出版社： [此处填写一个经典的学术出版社名称，例如：科学文献出版社] ISBN： [此处填写一个假想的ISBN号，例如：978-7-5022-1234-5] --- 丛书定位与背景 本书是“现代数学基础系列”中的重要一卷，旨在为学习高等数学的读者提供一个坚实而深入的解析几何基础。在数学学科的演进历程中，解析几何作为连接代数与几何的桥梁，其重要性不言而喻。它不仅是物理学、工程学、计算机图形学等诸多应用领域不可或缺的工具，更是理解更高级拓扑学、微分几何的先决条件。 然而，现行的许多教材往往将解析几何的讲解碎片化，或者过于侧重于初等二维平面上的坐标变换，未能充分展示其在更高维度空间乃至抽象结构中的普适性与优雅性。《解析几何的奥秘》正是在此背景下，力求构建一个自洽、严谨且富于洞察力的解析几何知识体系。本书的编写严格遵循数学证明的逻辑严密性，同时兼顾教学的直观性和启发性，确保读者能够从“计算”层面跃升至“理解”层面。 内容结构与核心章节详解 全书共分为八个主要部分，结构层层递进，从基础的向量代数出发，逐步过渡到三维空间中的二次曲面分析，并引入了现代代数与拓扑的初步概念，为后续的线性代数和多元微积分学习打下坚实的基础。 第一部分：线性代数与向量空间基础 本部分是全书的基石。我们不将向量空间视为一个独立的课程，而是将其内嵌于解析几何的框架内。 向量的代数表示与几何意义： 详细探讨了二维和三维空间中向量的加法、数乘、内积（点积）的几何诠释，特别是其与投影、长度和夹角的关系。 外积（叉积）的深入研究： 重点剖析了三维空间中外积的几何意义——它不仅定义了垂直向量，更与由两个向量张成的平行四边形的面积相关联。我们还讨论了外积在坐标系旋转下的变换性质。 仿射空间与欧几里得空间： 首次引入了点与向量的区别，为理解更抽象的几何结构做铺垫。 第二部分：直线与平面的精确描述 这是对传统解析几何的深化与重构。 空间中直线的参数方程与对称方程： 详细对比了不同表示形式的优劣，并引入了直线的方向向量的唯一性问题。 平面的法向量与点法式： 强调法向量在确定平面位置上的核心作用。 点、线、面之间的相对位置关系： 严格推导了交角、距离的公式，并特别关注了共线、共面等退化情况的处理方法。 第三部分：二维曲线的几何代数统一 本部分着重于对圆锥曲线的现代视角解析。 二次方程的判别式： 利用行列式和特征值理论，统一判别一般二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 所代表的曲线类型（椭圆、双曲线、抛物线，以及退化情况）。 极坐标与曲线描绘： 探讨了如何利用极坐标系更好地描述具有对称性的曲线，例如莱姆尼塞特（Lemniscate）和阿基米德螺线。 第四部分：三维空间中的曲线分析 从二维平面过渡到三维空间，引入了曲线的运动学描述。 空间曲线的参数化： 讨论了如何用三个分量函数 $x(t), y(t), z(t)$ 来描述空间轨迹。 曲率与挠率： 这是本部分的核心难点。我们详细定义了曲率（衡量曲线弯曲程度）和挠率（衡量曲线偏离其主切平面的程度），并利用弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式组推导了它们随参数变化的规律。这部分内容直接服务于物理学中粒子的运动分析。 第五部分：二次曲面——三维空间的形状字典 本章是对三维空间中复杂几何形状的系统分类。 二次曲面的标准形： 对椭球面、单叶/双叶双曲面、抛物面（椭圆/双曲）进行了详尽的推导和图像分析。我们着重展示了如何通过坐标旋转和配方法将一般二次曲面的方程化为标准形。 截面的重要性： 强调通过不同平面（如平行于坐标平面）切割二次曲面，来理解其三维形态的层次性方法。 退化二次曲面： 分析了例如圆锥、圆柱以及退化为平面或直线的特殊情况。 第六部分：坐标变换与矩阵表示 本部分将解析几何提升到矩阵代数的层面，这是理解现代图形学和张量分析的关键。 刚体变换： 详述了平移、旋转和反射在矩阵下的表示，特别是旋转矩阵的性质（正交性、行列式为1）。 相似变换与特征值： 重新审视坐标轴的旋转，如何通过特征值分解（Diagonalization）来消除二次型中的交叉项（如 $xy, xz, yz$），从而简化二次曲面的方程。 第七部分：高斯曲率与微分几何的萌芽 本章是连接初等解析几何与现代微分几何的过渡桥梁。 曲面的参数化与第一基本形式： 引入了曲面上曲线长度、面积的计算方法，通过计算曲面的第一基本张量来量化局部几何性质。 高斯曲率的定义与性质： 解释了高斯曲率如何度量曲面在某一点的弯曲程度，并讨论了如平面、球体、圆柱面的高斯曲率值，为“所有局部性质均可由第一基本量决定”的深层定理埋下伏笔。 第八部分：非欧几何的初探（选读与展望） 本章旨在拓宽读者的视野，指出解析几何在更广阔数学背景下的局限性与潜力。 度量空间的引入： 讨论了欧几里得度量（内积）的特殊性。 射影几何的视角： 简要介绍无穷远点和无穷远线，展示如何将平行线在射影空间中统一处理，从而体会解析几何的“完备性”问题。 教学特色与读者对象 本书的编写秉持“严谨而不失灵动”的原则。每一节的理论推导都力求详尽，并配有大量的几何插图辅助理解。书中穿插了大量的“洞察与应用”栏目，例如： 1. 光学反射定律的解析推导（利用光的最小时间原理与反射平面的性质）。 2. 空间定位中的最小二乘法几何意义（如何用最小二乘法拟合空间中的直线）。 3. 计算机图形学中的变换流水线（从模型坐标到屏幕坐标的矩阵链）。 本书适合以下读者： 正在学习或已经学完高等数学第一阶段（单变量微积分）的理工科本科生。 计划深入学习线性代数、多元微积分、微分几何或工程力学的学生。 对解析几何的理论深度和严谨性有较高要求的数学专业学生。 通过系统学习《解析几何的奥秘》，读者将不仅掌握在三维空间中描述和分析几何对象的计算技巧，更重要的是，能够建立起代数语言与几何直观之间的深刻联系，为未来所有涉及空间结构和变换的数学分支打下无可动摇的坚实基础。

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关于这本书的实用价值和参考性，可以说是我近几年来遇到的同类书籍中的佼佼者。作为一本面向高阶学习者的资料，它对后续专业领域如理论物理、高级工程计算、甚至现代金融建模中的数学基础，都提供了极其扎实和完备的铺垫。它所涵盖的内容深度和广度，远超出了普通课程的要求，真正达到了“高等”二字的内涵。我将它放在案头作为工具书，很多时候遇到棘手的计算或理论瓶颈时，翻阅它的相关章节，总能找到最权威、最简洁的解答路径。它不仅仅教会了我如何计算极限或积分，更是塑造了我一种严谨的、基于逻辑的分析问题的思维模式，这种能力上的迁移价值，是任何考试成绩都无法衡量的。

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这本书的装帧设计简直是一场视觉的盛宴。我第一次在书店里看到它时，就被那种沉稳又不失活力的封面设计所吸引。那种深邃的蓝色调，搭配着烫金的字体，透露出一种经典与现代的完美融合。纸张的质感也无可挑剔，拿在手里沉甸甸的，散发着油墨的清香，让人有一种立刻翻开阅读的冲动。书页的裁切非常平整，内页的排版也极为考究，字体大小适中，行距合理，即便是长时间阅读也不会感到视觉疲劳。尤其值得称赞的是，书中那些复杂的数学公式和图形，印刷得清晰锐利，每一个符号的细节都处理得一丝不苟，这对于需要精确理解公式的读者来说，简直是太友好了。那种从指尖传递到心底的品质感，让我觉得这不仅仅是一本教材，更像是一件值得珍藏的艺术品。

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我必须强调这本书在习题设计上的独到之处。市面上的许多参考书，习题往往只是对概念的简单重复应用，但这本书的后记练习却展现出了极高的层次感和挑战性。它们不仅仅是为了检验你是否记住了公式，更是为了激发你运用所学知识去解决新问题的能力。从基础的计算巩固，到复杂的证明题，再到一些开放性的探索性问题，梯度设置得极其科学。我记得有几道涉及黎曼积分的题，我花了整整一下午才勉强得出结论，但当最终找到关键切入点时，那种成就感是无与伦比的。这些习题真正做到了“练一题，通一片”，它们逼迫你跳出书本的框架，去主动构建自己的知识网络，这才是真正的高等数学学习之道。

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这本书的语言风格非常成熟和严谨，但同时又保持着一种难得的人文关怀。它不是那种拒人于千里之外的纯粹的学术语言，而是在确保数学严密性的前提下，尽量使用清晰、准确且富有逻辑性的表达。作者在介绍一些历史背景或者不同学派对某一概念的理解差异时，展现出了深厚的学术修养和广阔的视野。这使得学习过程不再是枯燥的符号操作，而是一场对人类理性思维发展史的探索。读完某一章节后，你不仅掌握了“如何做”，更能理解“为什么是这样”，这种对知识背后的思想脉络的把握，对于任何想要走学术道路的人来说，都是至关重要的财富。

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阅读体验上，这本书的逻辑梳理达到了令人惊叹的水平。作者在构建知识体系时，仿佛是一位高明的建筑师，每一步的推导都如同精密的结构支撑，环环相扣，严丝合缝。它不是那种干巴巴地堆砌公式和定理，而是循序渐进地引导读者进入更深层次的思考。初学者可能一开始会觉得有些吃力，但只要跟着它的节奏走下去，那些原本晦涩难懂的概念，都会在作者精妙的阐述下变得豁然开朗。特别是对于那些抽象的拓扑概念或者多变量函数的分析，书中的例子和类比都非常贴合实际，极大地降低了理解的门槛。那种“原来如此”的顿悟感，在阅读过程中层出不穷，让人欲罢不能，感觉自己仿佛真的在与一位学识渊博的导师进行着面对面的深入探讨。

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