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出版者:北京师范大学出版社

作者:傅种孙

出品人:

页数:300

译者:

出版时间:2003-1-1

价格:25.0

装帧:

isbn号码:9787303056828

丛书系列:

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《数学的优雅：从古至今的几何思想演变》 序言 自古以来，人类就以其独特的智慧和观察力，试图理解我们所处世界的形态与结构。从孩童好奇地摆弄积木，到古代先贤对星辰轨迹的描摹，几何的种子早已深埋在人类文明的土壤之中。它不仅是关于点、线、面的抽象学问，更是连接我们感知世界与理性思考的桥梁。本书《数学的优雅：从古至今的几何思想演变》并非对某一特定几何分支的深入探讨，而是企图勾勒出一幅宏大的历史画卷，展现几何思想如何在不同的文明、不同的时代，以多样的面貌绽放出璀璨的光芒。我们将一同追溯那些塑造了我们空间认知，启发了无数科学发现的伟大思想，感受几何学那永恒的逻辑之美与创造之力。 第一章：智慧的萌芽——史前与早期文明的几何直觉 在文字诞生之前，人类早已在实践中运用着朴素的几何智慧。从穴居时代的岩画中，我们能辨认出对圆形、直线以及简单对称图形的描绘，这些可能与祭祀、计数或对自然的模仿有关。当人类开始定居，发展农业，对土地的丈量和分割变得至关重要。建造房屋、规划村落，都需要对面积、周长以及角度的粗略估算。 古埃及，一个依偎在尼罗河畔的伟大文明，在建筑、灌溉和天文方面展现出了非凡的几何才能。金字塔的精准建造，其底座的近乎完美的方形，坡面的特定角度，无不显示出高度发达的测量技术和几何知识。《莱因德纸草文书》和《莫斯科纸草文书》中保存的数学难题，更是直接揭示了古埃及人在面积计算（如圆面积、梯形面积）、体积计算（如金字塔体积）以及比例应用方面的成就。他们使用的“分数”概念，尽管与现代代数截然不同，却也足够解决实际问题。尽管古埃及人更多地将几何视为一种实用工具，但其背后所蕴含的对形状和空间的深刻理解，无疑为后世的几何发展奠定了感性基础。 同样，古巴比伦在天文学和度量衡方面也留下了宝贵的几何遗产。他们对圆周率的近似值运用，对勾股定理的早期认知（虽然并非现代形式的严格证明），以及在工程建造中对角度和距离的把握，都显示了其在空间领域的技术实力。他们的泥板文书记录了大量的代数和几何问题，很多都与土地分配、建筑施工等实际生活息息相关。 第二章：理性的光辉——古希腊几何的黄金时代 古希腊人将几何学从实用工具提升到了抽象科学的殿堂。他们追求逻辑的严谨和证明的普遍性，将几何视为认识宇宙基本秩序的钥匙。 泰勒斯，这位被誉为“希腊哲学之父”的智者，据说通过观察金字塔影子的比例，首次运用了相似三角形的原理来测量金字塔的高度，这标志着几何学开始从经验走向推理。毕达哥拉斯及其学派则将数学，尤其是几何，视为宇宙的本质。他们发现了数与形之间的和谐关系，最著名的莫过于毕达哥拉斯定理（勾股定理），这个关于直角三角形三边关系的惊人发现，不仅是数学史上的里程碑，更深深影响了后世的哲学和音乐理论。 然而，真正将古希腊几何推向巅峰的是欧几里得。他的巨著《几何原本》被誉为人类历史上最伟大的科学著作之一，它不仅仅是一部几何学教材，更是一套完整的公理化体系的典范。欧几里得从一组不证自明的公理和公设出发，通过严谨的逻辑推理，构建起了一个庞大而完整的几何知识体系，涵盖了平面几何、立体几何以及比例理论。他首次清晰地定义了点、线、面等基本概念，并提出了五条公设，其中第五公设（平行公设）的独特性和争议性，更是为后世非欧几里得几何的诞生埋下了伏笔。《几何原本》以其逻辑的完美和思想的深刻，影响了西方数学乃至科学思维长达两千多年。 阿基米德，这位伟大的科学家和工程师，在几何学领域也做出了杰出贡献。他不仅精通平面图形和立体图形的面积与体积计算（如圆的面积、球的体积、圆柱的体积），还深入研究了抛物线、螺旋线等曲线的性质。他对圆周率的精确估算，以及利用“穷竭法”求解曲线下面积的思路，预示了微积分的思想。他的浮力定律、杠杆原理等物理学的伟大发现，也都离不开几何学基础的支撑。 第三章：传承与发展——中世纪与文艺复兴时期的几何探索 在古希腊文明的光辉逐渐黯淡之后，几何学的火种在中世纪的阿拉伯世界得到了精心的保存和发展。阿拉伯数学家们翻译、整理了大量古希腊的数学著作，并在此基础上进行了创新。例如，花拉子密在他的著作中引入了代数，将几何问题转化为代数方程来解决，为后来的解析几何奠定了基础。 文艺复兴时期，随着欧洲学术的复兴，几何学也迎来了新的生机。人们对古典知识的重新发现，以及对自然界现象的好奇心，激发了对几何学更深入的研究。艺术领域，如透视法的应用，也需要扎实的几何学知识来支撑。 第四章：维度与抽象——近代几何的革命 十七世纪，笛卡尔和费马的出现，彻底改变了人们对几何的认识。他们共同创立了解析几何，将抽象的代数语言引入几何学，用坐标系来描述点、线、面，从而实现了代数与几何的完美融合。这使得复杂几何问题的解决变得更加系统化和普遍化，也为研究更高维度的空间打开了大门。 十九世纪，数学家们对欧几里得第五公设的思考达到高潮，最终催生了非欧几里得几何的诞生。罗巴切夫斯基、波尔约和黎曼等人，分别在不同程度上否定了平行公设，构建出了与欧几里得几何截然不同的几何体系。这些非欧几何的出现，不仅拓宽了数学家的视野，更对爱因斯坦的相对论等物理学理论产生了深远影响。 同时，高斯等人在微分几何领域取得了重大突破。他引入了曲率的概念，深刻地揭示了曲面在局部和整体上的几何性质。他的研究为理解三维世界的复杂形态提供了强大的数学工具。 第五章：拓扑学的崛起——空间的连接与变形 进入十九世纪末和二十世纪，拓扑学作为一门新的数学分支应运而生。欧拉在解决“柯尼斯堡七桥问题”时，就已经展现出对图形“连接性”的关注，而非其精确的长度和角度。拓扑学研究的是在连续变形（如拉伸、弯曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的几何性质。例如，一个圆环和一个杯子在拓扑学上是等价的，因为它们都只有一个“洞”。 拓扑学以其高度抽象的视角，揭示了空间深层的结构和本质。它在数学的许多分支，如代数拓扑、微分拓扑等领域，都发挥着至关重要的作用，并深刻影响着物理学、计算机科学、生物学等众多学科。 结语 从史前先民对自然的朴素观察，到古希腊人的逻辑构建，再到近代数学家对高维空间和抽象结构的探索，几何思想的演变史，是一部人类智慧不断追求深刻理解的壮丽篇章。《数学的优雅：从古至今的几何思想演变》所描绘的，并非一套冰冷的公式和定理，而是一系列思想的火花，是人类在认识世界过程中不断突破认知边界的努力。几何学以其独特的魅力，激励着我们去发现、去创造，去感受隐藏在宇宙形态万物背后的优雅秩序。它将继续作为人类理解世界，探索未知的重要工具，指引我们走向更广阔的数学和科学的未来。

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我花了整整一个周末来啃这本书中的“度量与测度”章节，感受颇深。坦白讲，最初我对这部分内容抱有极大的敬畏，毕竟涉及积分几何和测度论的交汇点，很容易变得晦涩难懂。然而，作者的处理方式极为高明，他并没有一开始就抛出复杂的勒贝格积分定义，而是选择了一条更具几何直觉的路径——从古希腊对面积和体积的直观理解，逐步过渡到阿基米德的“穷竭法”思想，然后巧妙地引入极限的概念。这种由浅入深的铺垫，极大地降低了理解门槛。尤其值得称赞的是，每当引入一个关键性的定义时，作者总会搭配一到两个来自不同几何分支的例子进行印证，比如用曲面上的测地线长度来解释测地曲率，这使得抽象的概念立刻变得具象化了。读到此处，我深切体会到，数学的美感不仅在于其抽象的逻辑，更在于它能精确地描述我们感官所能接触到的一切，这本书无疑是将两者完美结合的典范。

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这本书的排版和图示质量，是它区别于市面上绝大多数同类书籍的关键所在。举个例子，在讲解三维空间中的二次曲面时，很多书只能提供一些僵硬的二维投影图，让人难以想象其真实形态。而这本书，竟然采用了高精度的三维线框图，并且对关键的截面曲线进行了着重标注，使得抛物面、椭球面和双曲面的形态差异一目了然。这种对视觉辅助工具的极致追求，体现了出版方和作者对“几何”二字理解的深刻性——几何是关于形象和空间的学问，没有好的图示，一切理论都将沦为空洞的符号堆砌。而且，书末附带的“推荐阅读”和“历史溯源”部分做得极其详尽，它提供了一个完整的学术脉络图，指引读者如何在掌握了这些基础之后，进一步深入到微分几何乃至代数几何的前沿领域。这使得这本书不仅仅是一个终点，更像是一个强大而清晰的起点。

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这本书的装帧设计实在令人眼前一亮，那种带着微微磨砂质感的封面，配合着内页纸张的细腻触感，简直是为深度阅读量身定做的。初翻开时，我立刻被那工整排版的图表和清晰的逻辑链条所吸引。作者似乎非常注重阅读体验，每一个公式的推导都配有详尽的注释，即便是像我这样多年未接触纯粹数学的人，也能从中感受到一种严谨而又温和的引导力。阅读过程中，我常常停下来，不是因为内容太难，而是因为作者在处理一些经典定理时，引入了一些非常新颖的视角，比如他对欧几里得公理系统如何在现代拓扑学框架下被重新审视的探讨，这一点着实让我大开眼界。它不是一本冷冰冰的教科书，更像是一位耐心深厚的导师，在一步步引你进入几何世界的殿堂，让你体会到纯粹数学之美。特别是关于非欧几何部分的处理，作者没有止步于罗巴切夫斯基和黎曼的表面描述，而是深入挖掘了这些非传统空间的内在一致性及其对物理学思考的潜在影响，这部分的论述，那种层层递进的张力，让人读完后，对我们所处的空间认知都产生了一丝微妙的动摇。

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这本书的行文风格，怎么说呢，带着一种近乎诗意的严谨。它不像某些学术著作那样板着脸孔，而是时常在关键转折处加入一些历史性的插曲，让人感觉自己正在跟随一位博学的历史学家而非仅仅是数学家进行探索。例如，在讨论射影几何时，作者没有直接跳到对偶原理，而是花了相当大的篇幅去介绍文艺复兴时期艺术家们是如何在实践中不自觉地运用了射影变换的原理来构建透视画法的。这种跨学科的视角，极大地丰富了内容的内涵，让原本可能枯燥的公理系统讨论变得鲜活起来。我特别喜欢书中对“不变性”这一概念的哲学探讨，作者提出了一个观点：几何学的本质，或许就是探寻在不同变换群下保持稳定的那些结构。这种深层次的提问，促使我不再仅仅关注计算结果，而是开始思考“为什么”是这样，这对于提升一个人的数学思维层次，是至关重要的。

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说实话，我最初拿到这本书时，是抱着“查漏补缺”的心态。我的背景偏向应用数学，对于基础理论的构建总感觉有些薄弱。读完关于“连续性与完备性”那几章后，我发现自己低估了这本书的深度。作者对实数完备性的构造，采用了非常现代且简洁的戴德金分割（Dedekind Cut）方法，而非传统的柯西序列逼近法。这种选择，虽然在初次接触时略显挑战，但一旦理解，其逻辑上的纯净感是无与伦比的。它清晰地揭示了实数系统之所以能够支撑微积分的根本原因。更让我惊喜的是，书中对拓扑学基本概念的引入，没有采用过于繁复的开集、闭集定义，而是从点集拓扑的“邻域”概念出发，步步为营，最终水到渠成地导出了紧致性和连通性的重要性。这种构建体系的方式，远比我过去学习时那种定义先行、例子滞后的方式要有效得多。

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