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出版者:南京大学出版社

作者:乐茂华编

出品人:

页数:272 页

译者:

出版时间:2002-9

价格:13.5

装帧:平装

isbn号码:9787305039492

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• 高等代数
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《数学的优雅与智慧：解析代数的深邃世界》 本书旨在带领读者深入探索数学领域中一个极具魅力与深度的分支——代数。我们并非仅仅满足于表面化的公式与计算，而是致力于揭示代数思维的本质，领略其严谨的逻辑之美，以及其在解决复杂问题时所展现出的非凡力量。这本书将是一次思维的旅程，一次对抽象概念的追寻，一次对数学结构内在联系的深刻理解。 第一部分：抽象化的力量——从具体到普遍 代数最核心的魅力之一在于其强大的抽象能力。本书将从最基础的概念出发，循序渐进地引导读者理解“抽象”这一数学工具的强大之处。我们将探讨： 变量与符号的语言： 为什么数学家们发明了变量和符号？它们如何帮助我们表达和操纵数量关系？我们将通过具体的例子，例如描述运动规律、经济模型，来展示符号化如何将复杂情境简化，使其易于分析和理解。我们将深入理解代数表达式的构成，以及如何通过代数运算来简化和变形这些表达式，从而揭示潜在的规律。 方程的奥秘： 方程是代数的核心工具之一。我们将不仅学习如何解方程，更重要的是理解方程背后的意义。为什么方程能够描述未知量之间的关系？不同类型的方程（线性方程、二次方程、高次方程）反映了怎样的数学结构？我们将探讨方程组的解法，以及其在现实世界中的应用，例如优化问题、网络分析等。 函数：关系的动态展现： 函数是描述变量之间相互依赖关系的重要概念。本书将深入解析函数的定义、性质与图像。我们将学习如何通过函数模型来描述物理现象、经济增长、生物演化等动态过程。通过对常见函数类型（线性函数、二次函数、指数函数、对数函数）的深入分析，读者将能够更深刻地理解它们各自的特点和应用场景。 多项式的世界： 多项式是代数中最基本的构建块之一。我们将学习多项式的加减乘除，以及因式分解的核心思想。因式分解不仅仅是为了简化表达式，更是为了揭示多项式的根，理解其行为模式。我们将探讨多项式方程的求解方法，以及一些特殊的代数恒等式，它们是数学家们智慧的结晶。 第二部分：结构的深度——群、环与域的优雅 当我们将代数的视野从单个方程和函数扩展到更广泛的数学对象时，代数结构的概念便应运而生。本书将以清晰的逻辑和丰富的实例，介绍代数中最基本也最重要的几种结构： 群论的起点：对称与变换： 群论是研究“对称”的数学语言。我们将从对称性这一直观概念出发，引入群的定义：一个集合配上一个二元运算，满足特定的性质。我们将探讨各种各样的群，例如整数加法群、置换群、矩阵群等。通过对群的研究，我们将理解数学对象中的内在对称性，以及这种对称性如何影响对象的性质。我们将探讨子群、陪集、同态等概念，它们是理解群结构的关键。 环的扩展：运算的丰富性： 环是在群的基础上引入了另一种二元运算（通常是“乘法”），并要求运算之间满足一定的分配律。我们将认识到，许多熟悉的数学对象，例如整数、多项式、矩阵，都可以看作是环。我们将探讨整环、域等特殊的环结构，理解它们在代数运算中的独特性质。我们将学习环同态，以及理想的概念，它们是理解环结构的重要工具。 域的纯粹：除法的王国： 域是环中最“良好”的结构之一，它要求除法运算（除了除以零）总是存在的。有理数域、实数域、复数域是我们最熟悉的例子。本书将深入探讨域的性质，例如域的扩张、伽罗瓦理论的引言等，这些是理解多项式方程根的存在性和可解性的关键。我们将看到，域的概念是构建更高级代数理论的基石。 第三部分：矩阵与线性空间——多维世界的坐标 线性代数是代数的一个重要分支，它研究线性方程组、向量空间、矩阵等概念。本书将深入探讨这个多维世界的语言： 矩阵：数字的秩序与力量： 矩阵是描述线性变换和系统方程的强大工具。我们将学习矩阵的加减乘除、转置、逆矩阵以及行列式。我们将理解矩阵的行阶梯形和约简行阶梯形，它们是解决线性方程组的核心。我们将探讨矩阵的秩，它揭示了矩阵所代表的线性变换的“维度”。 向量空间：抽象化的几何： 向量空间是线性代数的核心概念，它为我们提供了一个抽象的框架来研究线性组合、线性无关、基底和维数。我们将从欧几里得向量空间出发，逐渐过渡到更抽象的函数空间、多项式空间等。我们将理解向量空间的子空间，以及线性变换在向量空间中的作用。 特征值与特征向量：洞察变换的本质： 特征值与特征向量是理解线性变换行为的关键。它们揭示了在线性变换作用下，哪些向量的方向保持不变，仅仅被拉伸或压缩。我们将学习如何计算特征值和特征向量，并理解它们在动力系统、稳定性分析、主成分分析等领域的广泛应用。 第四部分：方程的根与证明的艺术——抽象代数的逻辑之美 本书的最后部分将带领读者进入更抽象的代数领域，领略其严谨的逻辑和深刻的洞察力： 多项式方程的可解性： 为什么有些高次方程可以精确求解，而有些则不能？我们将触及关于多项式方程根的存在性与可解性的深刻问题，并初步了解伽罗瓦理论的核心思想，它揭示了代数方程可解性与特定群结构的深刻联系。 证明的构建：从公理到定理： 代数不仅仅是计算，更是严谨的证明。本书将注重引导读者理解数学证明的逻辑结构，如何从基本公理出发，通过一系列的推理和演绎，最终构建出精妙的数学定理。我们将学习常见的证明技巧，例如反证法、数学归纳法等。 代数在科学与技术中的应用： 代数作为数学的基础语言，其应用无处不在。本书将在各个部分穿插介绍代数在物理学（如量子力学、相对论）、计算机科学（如密码学、算法设计）、经济学（如博弈论、最优化）、工程学（如信号处理、控制理论）等领域的实际应用，让读者深刻体会到代数的力量和价值。 学习本书，您将收获： 严谨的逻辑思维能力： 掌握代数的语言和工具，能够清晰地表达和分析问题。 深刻的抽象思维能力： 能够从具体问题中提炼出普遍规律，并将其应用于解决新问题。 洞察数学结构的能力： 能够理解不同数学对象之间的内在联系和共性。 解决复杂问题的能力： 能够运用代数方法分析和解决现实世界中的各种挑战。 对数学美的欣赏： 感受数学符号、公式和定理背后所蕴含的优雅与智慧。 本书将不仅仅是一本教材，更是一扇通往数学世界深邃之处的窗口。我们相信，通过对这些代数概念的深入理解，读者将能够更好地欣赏数学的魅力，并将其作为强大的工具，去探索更广阔的知识领域。

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从教学辅助资源的角度来看，这本书的配套支持体系做得相当到位，虽然我主要还是依赖书本本身，但偶尔翻阅附带的勘误表和在线资源时，能感受到作者和出版方的用心。尤其是对于那些需要教师引导才能完全理解的复杂证明，书中给出了非常详尽的注解，甚至会用括号标注出一些“跳步”背后的隐含假设。对于自学者而言，这一点至关重要，因为它极大地弥补了没有导师即时答疑的缺陷。另外，排版上的细节处理也值得称赞，例如参考文献的引用规范和索引的详尽程度，都展现了专业出版社的严谨态度。总而言之，这是一本经得起反复推敲、值得反复研读的经典之作，它为高等代数的学习奠定了一个极其坚实、无可挑剔的基础。任何人想要在这个领域走得更远，这本书都是绕不过去的一道坚实门槛，但幸运的是，它为你准备了最可靠的攀登工具。

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这本书的语言风格非常严谨，简直就是一本数学思维的教科书。作者在阐述定理和证明时，逻辑链条是那种密不透风的扎实感，每一步推理都像是经过了最严格的检验。我特别喜欢它对“为什么”的解释，很多教材只是告诉你“怎么做”，但这本书会深入挖掘“为什么必须这样定义”或者“为什么这个结构具有这种性质”。比如在讨论向量空间时，它不仅仅停留在线性组合的层面，而是着重强调了其背后的几何直观和抽象意义的统一性。这种深度挖掘使得学习不再是机械的记忆，而是一种深层次的理解和构建。当然，这种严谨性也意味着阅读速度不能太快，需要我们沉下心来，反复咀嚼每一个词语和符号的精确含义。对于想要真正掌握抽象代数精髓的人来说，这种不妥协的学术态度是极其宝贵的财富，它锻炼的是我们逻辑推理的韧性和精确度，是未来任何高阶数学研究的基石。

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作为一名非数学专业的理工科学生，我坦白地承认，一开始对这本“高等代数”是心存畏惧的。然而，这本书真正让我感到惊喜的是它在“应用导向”和“基础理论”之间找到的绝妙平衡点。它没有为了追求纯粹的抽象美而脱离实际，反而在每一个重要结构介绍完毕后，都会适当地给出一些在编码理论、密码学或者现代物理中的潜在联系的提示，虽然不深入，但足够激发我们去探索这些交叉领域的兴趣。更重要的是，书中所配的习题设置简直是神来之笔。习题的难度分布梯度非常科学合理，从基础巩固型的计算题，到需要巧妙构造的证明题，再到一些启发性的探索性问题，层次分明。我发现，很多时候，正是那些看似简单的课后练习，才是真正打通知识壁垒的关键所在，迫使我们将学到的概念灵活地组合运用起来，而不是死记硬背。这种实践与理论的闭环设计，极大地提高了学习效率。

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这本书的阅读体验，用“酣畅淋漓”来形容可能有些夸张，但确实是那种每攻克一章都有巨大成就感的体验。与其他一些老旧的教材相比，它的内容更新跟上了当代数学的步伐，对于一些现代代数中新兴的研究方向和术语的处理也显得非常前沿和贴切。我尤其欣赏其中对“同构”这一核心概念的反复强调和多角度剖析。作者似乎用了好几章的篇幅来确保读者对“结构保持”这一概念的理解，并通过一系列精心挑选的例子（从群到环，再到域的扩张），不断巩固这种理解。这使得我对代数结构之间的关系有了一种全新的认识——原来很多看似不同的数学对象，本质上遵循着相同的内在规律。这种对“统一性”的深刻揭示，远超出了我最初对一本高等代数教材的期望，它不仅仅是教我代数知识，更是在教我一种看待数学世界的全新哲学视角。

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这本书的封面设计相当大气，采用了经典的深蓝色调，搭配烫金的字体，透着一股沉稳的学术气息。拿到手里就能感觉到分量，纸张的质感也很不错，那种微微粗糙但坚韧的感觉，让人觉得这是一本可以伴随多年学习的良师益友。内页的排版清晰明了，公式的印刷非常清晰，即使用眼长时间阅读也不会觉得吃力。从目录上看，内容的覆盖面极广，从基础的群、环、域到更深入的伽罗瓦理论，结构层次感分明，这对于我们这种初次接触抽象代数的学生来说，无疑是一个巨大的福音。我尤其欣赏它对概念引入的细腻处理，作者似乎非常理解初学者的困惑点，总能在关键处给出非常直观的类比或历史背景的铺垫，而不是上来就抛出一堆冰冷的定义。这种由浅入深的叙述方式，极大地降低了学习曲线的陡峭程度，让我对这个曾经望而生畏的领域燃起了浓厚的兴趣。整体来看，这本书的外观和装帧都体现了出版社对高等教材应有品质的坚持。

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