拟线性椭圆型方程的变分方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:华南理工大学出版社

作者:沈尧天

出品人:

页数:357

译者:

出版时间:1995-08-01

价格:12.0

装帧:

isbn号码:9787562306955

丛书系列:

图书标签:

• 偏微分方程
• 椭圆型方程
• 变分法
• 数值分析
• 有限元方法
• 泛函分析
• 数学物理方程
• 非线性分析
• 数值解
• 应用数学

《数学物理方程中的迭代方法与数值计算》 引言 现代科学与工程领域对数学模型的求解能力提出了日益严苛的要求，尤其是在处理复杂的偏微分方程（PDEs）时。传统的解析方法往往在边界条件复杂、几何结构不规则或非线性效应显著时失效。因此，发展高效、可靠的数值方法成为数学物理研究的核心课题。本书聚焦于一类在物理现象描述中占据核心地位的方程——椭圆型偏微分方程（PDEs），但其核心内容将围绕求解这类方程的迭代数值方法及相关的计算技术展开，而非直接探讨变分原理本身。 本书旨在为研究生和高年级本科生提供一个系统性的框架，理解如何将抽象的数学模型转化为可计算的数值方案，并掌握先进的迭代求解技术。我们将深入剖析有限差分法（FDM）、有限元法（FEM）以及有限体积法（FVM）在离散化椭圆型问题时的核心思想、误差分析和实现细节，并着重强调在大规模问题求解中不可或缺的迭代求解器。 第一部分：椭圆型方程的数值基础与离散化技术 本部分首先回顾椭圆型方程在物理中的典型应用，如稳态热传导、静电势分布等，并明确其在数学上的强弱解概念。随后，我们将重点介绍三种主要的离散化方法： 1. 有限差分方法（FDM）的深入探究： 我们将详细阐述如何利用泰勒展开构建高阶精度差分近似，尤其关注边界点的处理技巧。对于二维和三维拉普拉斯方程和泊松方程，我们将构建网格，推导离散线性系统 $AU = F$ 的具体矩阵结构。误差分析将侧重于局部截断误差（LTE）和全局收敛阶的确定。我们还会探讨不等距网格下的差分格式构造。 2. 有限元方法（FEM）的理论与实践： 尽管本书不侧重变分理论的推导，但理解FEM的离散化过程是必需的。我们将从能量泛函的最小化（仅作为引入，不深入变分推导）过渡到伽辽金方法。重点在于基函数的选择（如线性、二次多项式）、形函数（Shape Functions）的构造及其在局部区域上的性质。我们将详细解析单元刚度矩阵和载荷向量的组装过程，这是任何FEM软件实现的基础。 3. 有限体积方法（FVM）： 特别适用于流体力学和守恒律问题，FVM在处理非均匀网格和复杂几何边界时的鲁棒性值得深入研究。本章将阐述通量守恒的思想，以及如何基于积分形式（而非微分形式）推导离散方程，特别关注界面通量的精确计算。 第二部分：离散线性系统的求解——迭代方法的统治地位 对于由上述方法产生的庞大、稀疏且通常是正定的线性系统 $AU = F$，直接求解方法（如LU分解）因计算成本和存储需求巨大而鲜有竞争力。因此，本书的核心将转向迭代求解器。 1. 经典迭代法： 我们将系统地分析雅可比（Jacobi）、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel, GS）以及超松弛（Successive Over-Relaxation, SOR）方法。分析的重点在于它们的收敛条件、收敛速度（谱半径）以及如何通过参数选择（如 $omega$ 在SOR中）来优化性能。我们将展示这些方法在线性系统矩阵结构特性下的收敛性保证。 2. Krylov 子空间方法的基础： 本部分将引入现代迭代求解器的基石——Krylov 子空间方法。重点讲解如何通过正交化过程生成 Krylov 子空间。 共轭梯度法 (CG)： 专门针对对称正定系统，我们将详细推导其算法，并从能量最小化的角度理解其收敛性。 双共轭梯度法 (BiCG) 及其变体： 适用于非对称系统。我们将讨论其固有的双线性递推关系，以及由此带来的算法不稳定性问题。 广义最小残差法 (GMRES)： 作为一个强大的非对称求解器，我们将展示如何利用 Arnoldi 迭代来构造最优解近似，并讨论其内存消耗问题及其变体（如 Restarted GMRES）。 3. 预处理技术（Preconditioning）： 迭代法的收敛速度严重依赖于系统矩阵的条件数。预处理是加速收敛的决定性技术。我们将深入探讨几种主流的预处理技术： 代数预处理： 不完全LU分解（ILU）、不完全Cholesky分解（IC）。我们将探讨 ILU 分解中“不完全”的含义以及不同填充水平（Level of Fill）的选择对性能和内存的影响。 基于算子的预处理： 区域分解法（如 Additive Schwarz Method, ASM）和多重网格法（Multigrid, MG）的初步介绍，强调它们如何通过粗化-加密策略来解决高频和低频误差分量。 第三部分：高级计算技术与大规模问题处理 最后一部分将内容扩展到实际工程应用中的挑战，主要关注如何高效地管理和处理大规模稀疏矩阵。 1. 稀疏矩阵存储与代数运算： 探讨坐标点格式（COO）、压缩行存储格式（CSR）和压缩列存储格式（CSC）等高效存储方案。重点分析这些存储格式下矩阵向量乘法（SpMV）的计算效率。 2. 并行计算策略： 对于超大规模问题，迭代求解必须在并行架构上执行。我们将讨论数据并行和模型并行的基本概念，以及如何在 FDM/FEM 网格划分的基础上设计有效的并行化策略，例如域分解（Domain Decomposition）方法中的子域求解器与全局通信的协调。 总结 本书旨在提供一个坚实的数值计算基础，使用户能够从离散化的第一步开始，系统地构建并优化求解椭圆型方程的迭代算法。它侧重于算法的推导、收敛性的理论分析以及在实际应用中选择和实施高效求解器的工程判断力。读者在完成本书学习后，将具备分析和解决复杂偏微分方程数值难题的能力。

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**评价一** 刚翻开这本《拟线性椭圆型方程的变分方法》，就被它严谨的数学语言和清晰的结构吸引住了。虽然我目前还在学习的初级阶段，但这本书为我勾勒出了一个宏伟的研究蓝图。它并非简单地罗列公式和定理，而是巧妙地将抽象的数学概念与具体的物理背景相结合，让我能更直观地理解那些看似高深莫测的方程是如何在现实世界中发挥作用的。例如，作者在介绍拟线性椭圆型方程时，并非直接给出定义，而是从诸如弹性力学、流体力学等经典问题出发，引导读者逐步认识到这类方程的重要性及其研究的必要性。我特别欣赏书中对变分法这一强大工具的深入剖析，它如同一把钥匙，为解决许多看似棘手的边值问题打开了新的大门。书中对数学归纳法、不动点定理等核心概念的讲解也十分到位，逻辑清晰，循序渐进，即使是我这样的初学者也能在其中找到学习的乐趣和方向。更重要的是，它提供了一种解决问题的思维模式，让我意识到，很多数学难题并非无解，而是需要我们找到正确的“视角”和“方法”。这本书的出现，无疑为我未来的学术探索指明了一条光明的道路，也让我对数学的魅力有了更深刻的认识。

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**评价二** 读完《拟线性椭圆型方程的变分方法》，我深感震撼。作为一名在该领域摸爬滚打多年的研究者，我曾接触过不少相关书籍，但这本书无疑是最具启发性的。它不仅系统地梳理了拟线性椭圆型方程的研究现状，更重要的是，它以一种全新的视角，将变分法在解决这类方程中的应用推向了一个新的高度。书中对能量泛函的构造、极小化原理的运用，以及由此引出的各种重要定理，都展现了作者深厚的学术功底和独到的见解。我尤其欣赏书中对一些经典问题的变分法处理，比如非线性泊松方程、带有时变项的方程等，作者通过精妙的数学技巧，将复杂的问题化繁为简，令人拍案叫绝。这本书不仅为我提供了丰富的研究素材和解决问题的思路，更重要的是，它激发了我对该领域更深层次的思考。它让我意识到，变分法并非仅仅是一种计算工具，而是一种深刻的数学思想，一种洞察事物本质的哲学。这本书的价值，在于它不仅仅是一本教科书，更是一本思想的启迪者，一本引领我们探索未知数学世界的向导。

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**评价四** 对于《拟线性椭圆型方程的变分方法》这本书，我只能说，它是一本“宝藏”。我之前对这一领域的了解仅限于皮毛，是这本书让我系统地、深入地认识了拟线性椭圆型方程以及与之紧密相连的变分方法。作者的叙述风格十分独特，他似乎有一种化繁为简的魔力，将那些令人望而生畏的数学定理和证明，变得清晰易懂。书中关于“空间”和“泛函”的讲解，虽然概念抽象，但作者总是能用非常直观的方式将其可视化，让我仿佛能“看到”数学的结构。我对书中变分法在求解非线性方程时的应用分析尤为着迷，作者通过一系列精心设计的例子，展示了如何运用变分原理来证明解的存在性、唯一性，以及解的性质。每一次读到精彩的证明，我都会感到一种由衷的惊叹。这本书的价值，不仅仅在于它提供了丰富的知识，更在于它培养了我一种严谨的数学思维，让我学会如何去分析问题、构建模型，以及如何运用数学工具去解决问题。它是我学术道路上不可多得的良师益友。

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**评价三** 《拟线性椭圆型方程的变分方法》这本书，其深度和广度都令人印象深刻。它不仅仅是关于方程，更是关于如何思考数学问题。书中对于拟线性椭圆型方程的定义和性质的阐述，虽然严谨，却又不失生动。作者似乎非常擅长将抽象的数学概念通过形象的比喻和实际的例子来阐述，让原本枯燥的理论变得鲜活起来。我对书中关于“弱解”的引入和解释特别有体会，它打破了我之前对解的传统认知，让我看到了数学的另一种可能性。变分法这部分的内容，简直是这本书的灵魂。作者对能量泛函的构建、对解的存在性和唯一性的证明，都做得非常细致，每一步都充满了数学的逻辑美。我特别喜欢书中关于“极小化”这个概念的讲解，它不仅仅是一个数学操作，更是一种寻找最优解的哲学。这本书让我明白，很多时候，数学问题的解决，并不在于 brute force 的计算，而在于找到那个最优雅、最自然的“弯路”。它为我打开了一个全新的研究视角，也让我对今后的学习充满了期待。

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**评价五** 《拟线性椭圆型方程的变分方法》这本书，简直是一次数学的“朝圣”。作为一名对数学理论有着狂热追求的学习者，我一直渴望能够深入理解那些驱动现代科学发展的核心数学工具。而这本书，无疑为我提供了这样一次绝佳的机会。作者对拟线性椭圆型方程的介绍，并非停留在表面，而是深入到其背后深刻的数学结构。变分法的引入，更是将整个研究提升到了一个全新的维度。我特别欣赏书中对“能量最小化”这一核心思想的反复强调和深入挖掘，它让原本抽象的数学概念充满了物理直觉，也让我对数学的内在逻辑有了更深刻的体悟。书中对一些复杂方程的求解过程，虽然充满挑战，但作者的讲解却清晰流畅，逻辑严谨，让我仿佛置身于一场精彩的数学推理之中。这本书不仅仅是知识的传递，更是一种思想的启迪。它让我看到了数学的无限可能，也激发了我对更深层次数学问题的探索欲望。它是一本值得反复研读，并从中汲取智慧的经典之作。

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