高等数学(下册) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:高等教育出版社

作者:盛祥耀

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1900-01-01

价格:5.0

装帧:

isbn号码:9787040000320

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• 高等数学
• 数学
• 微积分
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• 导数

好的，这是一本名为《微积分进阶与应用》的图书简介。 --- 微积分进阶与应用 内容概述 本书旨在为具备扎实微积分基础（包括单变量微积分的核心概念与运算能力）的学生、工程师和研究人员提供一个深入、全面的进阶学习平台。我们聚焦于多变量微积分的理论框架、向量分析的强大工具，以及其在物理学、工程学和几何学中的实际应用。本书结构严谨，逻辑清晰，内容覆盖了从基础概念的重申到前沿应用的拓展，力求使读者不仅掌握计算技巧，更能深刻理解背后的数学原理。 第一部分：多变量函数的微积分基础 本部分将读者从二维平面引入到更高维度的空间，系统性地构建多变量函数分析的基石。 第一章：空间几何与向量基础回顾与深化 本章首先对三维欧几里得空间 $(mathbb{R}^3)$ 的坐标系、距离、球面等基本概念进行精确定义。随后，深入探讨向量代数，包括向量的线性组合、点积（内积）和叉积（外积）的几何意义与计算方法。重点阐述点积在投影和功的计算中的作用，以及叉积在确定平面法向量和角动量分析中的关键地位。本章通过大量的几何实例，巩固读者对空间形态的直观理解。 第二章：偏导数与梯度场 本章的核心是推广单变量函数的导数概念至多变量环境。我们详细阐述偏导数的定义，并探讨二阶偏导数，引入混合偏导数的性质（如克莱罗定理的条件与应用）。随后，引入梯度这一核心向量场。梯度被定义为增长率最快的方向，通过梯度场，读者可以直观理解函数在空间中的变化趋势。我们详尽分析了梯度在等高线（或等值面）上的垂直性质，并引入了方向导数，使其成为连接梯度与特定方向变化率的桥梁。 第三章：链式法则在高维空间的应用 链式法则是微积分中至关重要的工具，本章着重探讨其在复杂函数组合中的应用。我们系统推导了多重复合函数的链式法则，包括隐函数求导的应用场景。此外，还专门讨论了对参数化曲线或曲面上的函数求导的方法，为后续的线积分和曲面积分打下计算基础。 第四章：多元函数的极值问题与泰勒公式 本章处理函数最大值和最小值的寻找。我们首先利用一阶偏导数寻找临界点，随后引入海森矩阵（Hessian Matrix）进行二阶偏导数检验，以区分局部极大值、极小值和鞍点。对于无约束优化问题，我们引入拉格朗日乘数法，系统性地解决等式约束下的极值问题，这在经济学和工程优化中具有极高的实用价值。最后，我们将单变量泰勒展开式推广至多变量形式，提供局部函数的近似表达。 第二部分：积分的扩展——线、面与体积分 本部分将积分的范围从区间推广到曲线、曲面乃至整个三维区域，引入向量微积分的核心运算工具。 第五章：二重积分与三重积分 本章首先从黎曼和的角度严格定义二重积分。重点在于积分区域的描述和坐标系的变换。我们详细讲解了笛卡尔坐标系下如何设置积分限，随后深入讨论极坐标变换在处理圆形或扇形区域时的巨大优势。接着，我们将积分推广至三维空间，介绍三重积分，并系统性地展示柱坐标系和球坐标系在简化复杂几何体积分中的应用，这些坐标变换是解决势能、质量和质心等物理量计算的关键。 第六章：曲线积分（线积分） 本章引入了一维积分在空间中的推广——曲线积分。我们区分了对弧长（标量场）的积分和对向量场（如力场）的积分。在线积分中，我们详细讨论了保守场的概念，即判别一个向量场是否为保守场（通过旋度或路径无关性），以及保守场中线积分的特点，这与势能的概念紧密相连。 第七章：曲面积分（面积分） 本章是向量微积分中难度和抽象性较高的部分之一。我们首先定义参数化曲面的概念，并推导出曲面的面积元 $dS$。随后，我们区分了第一类曲面积分（对标量场）和第二类曲面积分（对向量场，常用于计算穿过曲面的流量）。流量计算是理解电磁学中高斯定律等物理定律的先决条件。 第三部分：向量微积分的核心定理 本部分是全书的理论高潮，集中介绍将线积分、面积分与多重积分联系起来的三个基本定理。 第八章：格林公式、斯托克斯公式与散度定理 格林公式：作为平面上线积分与二重积分的联系，格林公式是三维定理在平面上的特例，它为理解旋度和通量的概念奠定了基础。 斯托克斯公式（旋度定理）：该公式建立了向量场沿闭合曲线的线积分（环流量）与其在曲面上的旋度积分之间的关系。它深刻揭示了旋度作为“旋转倾向”的积分形式。 高斯散度定理（散度定理）：此定理连接了向量场穿过一个封闭曲面的总流量（散度在曲面上的积分）与该向量场在该曲面所围空间区域内部的发散程度（散度在体积上的积分）。这是理解流体流动、电场高斯定律的理论核心。 第四部分：应用与拓展 第九章：应用实例与数值方法简介 本章将理论应用于实际问题，包括： 1. 物理应用：计算质量、质心、转动惯量、静电势能和磁通量等。 2. 流体力学：利用散度定理分析不可压缩流体的守恒性。 3. 拉普拉斯方程：介绍调和函数和拉普拉斯算子 ($ abla^2$) 在稳态问题（如热传导、静电平衡）中的作用。 4. 数值近似：简要介绍多重积分的数值计算方法，如蒙特卡洛积分法。 本书特点 深度与广度兼顾：理论推导严谨，公式的背景和适用条件清晰阐述。 几何可视化：大量配图和几何解释，帮助读者在三维空间中建立直观图像。 应用驱动：每一个核心概念的引入都紧密联系其在物理和工程中的具体功能。 习题精选：每章末包含难度递进的练习题，包含计算型、证明型和应用型题目。 本书适合作为大学理工科专业（如物理学、应用数学、航空航天、电子工程）高年级本科生或研究生阶段的教材或参考书。它将带领读者真正掌握从 $mathbb{R}^n$ 到向量场微积分的跨越，为后续学习微分几何、偏微分方程打下坚实基础。

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这本书的装帧和排版，坦白讲，透露着一种浓厚的年代感和学术气息。纸张的质地中规中矩，但印刷的清晰度是无可挑剔的，尤其是那些复杂的数学符号，即便是涉及上下标、希腊字母以及各种花体函数符号，都印制得非常干净利落，这一点对于长时间阅读是很有帮助的，至少不用为了辨认一个“$partial$”还是“$delta$”而伤神。然而，内容上，我特别想提一下关于微分几何初步那一部分的叙述方式。我希望能够多一些配图，哪怕是示意图也好，来帮助我们理解空间中的切平面、法向量这些三维概念是如何在抽象的代数框架下被定义的。书中的文字描述非常到位，但纯粹的文字描述在面对空间想象时，效率总是低一些。我记得关于曲率的计算部分，公式直接从一系列坐标变换中推导出来，中间跳跃的步骤让我不得不停下来，在草稿纸上尝试各种不同的坐标系来验证其普遍性。这本书似乎默认你对空间几何有很强的敏感度，能在大脑中实时构建和旋转那些复杂的几何结构。总体而言，这是一本非常扎实的教科书，但如果能在视觉辅助上再多下点功夫，对于提升自学者的学习效率，将会是巨大的助力。

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拿到这本《高等数学(下册)》之后，我最直观的感受是，它的逻辑链条设计得极其严密，几乎不给人留任何喘息的机会。作者似乎非常推崇“形式美学”，书中对每一个定理的阐述都力求做到滴水不漏，每一个证明步骤都像是精确计算过的机械装置，环环相扣，逻辑性强到令人发指。比如，在讲解矢量场和线积分的应用时，书中的论述方式非常古典和严谨，它要求你必须先完全掌握格林公式、斯托克斯公式这些核心工具，才能顺利地进入到下一阶段的物理应用分析中去。我发现，如果我在某个微积分定理的证明上理解稍有偏差，后续关于曲面积分和散度、旋度的理解就会出现明显的断裂。这本书的特点在于，它不是那种“启发式”的教材，它不会用太多贴近生活的例子来软化抽象概念，而是直接把概念的骨架架设给你，要求你必须用数学的语言去欣赏它的结构。我个人认为，对于那些已经具备一定数学基础，追求理论深度和严谨性的读者来说，这本书无疑是一份珍宝。但对于我这种需要大量“拐杖”辅助理解的人来说，阅读过程常常伴随着一种敬畏和挫败感交织的情绪，总感觉自己像个旁观者，看着一群数学家在舞台上用他们流畅的“数学语”进行着精彩的对话，而我只能努力辨认其中的几个名词。

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这本《高等数学(下册)》的书，说实话，刚拿到手的时候，我的心情是相当复杂的。我一直觉得数学这玩意儿，得靠悟性，而我自认为那点悟性早就用在高中解二次函数上了。拿到这本书，厚度就给我带来了不小的压迫感，感觉像是在攀登一座用微积分和线性代数砌成的冰山。我记得翻开第一章，关于多元函数的偏导数，那些密密麻麻的公式和符号，简直像是一串串我完全不认识的象形文字。我硬着头皮跟着目录走，试图理解那些所谓的“梯度”和“方向导数”到底是个什么东西。一开始，我试图用我有限的几何直觉去对应那些抽象的表达，结果就是越想越晕。比如，当讲到拉格朗日乘数法求解约束优化问题时，我感觉作者似乎默认读者已经对这种“构造拉格朗日函数”的操作了如指掌，而对于我这种初学者来说，每一步推导都像是在走迷宫，找不到起点和终点。我不得不频繁地查阅网络上的教学视频和辅助解析，试图将书本上的理论与实际的图形变化联系起来。这本书的习题设计得也很有挑战性，有些题目光是看懂题意就需要花费大量时间，更别提那些需要多重积分或者曲面积分才能解决的实际问题了。老实说，我目前还在为理解级数收敛的判别标准而苦恼，感觉数学的世界比我想象的要宏大和深邃得多，这本书就像一把钥匙，但我还在摸索怎么把它插进那把复杂的锁里。

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我花了相当长的时间来啃《高等数学(下册)》的这部分内容，特别是关于常微分方程的章节，感觉收获和煎熬是并存的。这本书对于各种解法——无论是积分因子法、变量代换法还是级数解法——都进行了详尽的介绍和推导。它不像市面上某些为了追求趣味性而削弱深度的教材，它对每一种方法的适用条件、局限性以及背后的数学原理都交代得非常清楚。比如，在处理高阶线性非齐次方程时，参数常数法（拉格朗日法）的推导过程，书里给出的逻辑非常严谨，每一步都是基于前一个定理的结论。但是，这种极致的严谨性也带来了阅读上的挑战。我发现自己无法像读小说一样快速地浏览，而是需要像拆解钟表零件一样，仔细检查每一个逻辑连接点是否牢固。当我成功解出一个复杂的、涉及到三角函数和指数函数乘积的微分方程后，那种成就感是无与伦比的，但这种成就感通常需要付出数个小时与书本“搏斗”的代价。这本书培养了一种强大的“数学耐力”，它教会你，很多复杂的问题，没有捷径，只有一步一个脚印地去推导、去验证。

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对于这本《高等数学(下册)》，我个人的使用习惯是把它当作一本“参考词典”和“深度学习工具”来使用的。我发现，在学完其他入门级别的微积分教材后，这本书是用来查漏补缺、巩固理论深度最好的选择。比如说，当我对“无穷小”和“无穷大”的比较原则产生模糊认识时，翻到这本书中关于极限的严格定义部分，它会立刻用$epsilon-delta$语言将所有模糊之处彻底澄清。它的深度在于，它不会满足于告诉你“怎么做”，而是会不断追问“为什么能这么做”。这种追问的精神贯穿始终。对于我来说，最难啃的部分在于傅里叶级数和积分变换的引入，这部分内容似乎是为后续的工程数学或物理应用打基础，内容跳跃性较大，从周期函数到非周期函数的推广，再到复数形式的表达，每一步都要求读者具备极高的抽象思维能力。我不得不承认，这本书的难度定位是面向数学或相关理工科专业学生的，对于仅仅需要应用微积分知识的读者而言，可能显得过于“硬核”了。但对于希望真正理解微积分这门学科的内在美感和力量的读者，它绝对是一份不可多得的宝藏。

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