綫性代數與空間解析幾何 pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:高等教育齣版社

作者:邢偉

出品人:

頁數:203

译者:

出版時間:2005-6

價格:14.60元

裝幀:簡裝本

isbn號碼:9787040167047

叢書系列:

圖書標籤:

• 東大課本
• 綫性代數
• 空間解析幾何
• 高等數學
• 數學教材
• 大學教材
• 矩陣
• 嚮量
• 行列式
• 解方程
• 幾何變換

現代概率論基礎與應用：麵嚮統計推斷與數據科學的嚴謹構建 本書旨在為讀者提供一個深入、全麵且嚴謹的現代概率論基礎，重點關注其在統計推斷、機器學習和數據科學中的核心地位與應用。 本書的結構設計遵循從基礎公理到高級隨機過程的邏輯遞進，力求在概念的精確性與實際問題的解決能力之間取得完美的平衡。我們假設讀者具備紮實的微積分基礎（包括多元微積分和基礎的實分析概念），並希望能夠掌握描述和分析隨機現象的數學工具。 --- 第一部分：概率的公理化基礎與基本結構 本部分奠定瞭整個理論體係的基石。我們不再僅僅停留在古典概率的“頻數”定義上，而是從更具操作性和理論深度的概率空間概念入手。 第一章：集閤論基礎與測度論初探 動機： 解釋為何需要引入測度論來精確定義“事件”和“概率”。 核心內容： 集閤代數、$sigma$-代數（可測集族）的嚴格定義與性質。可測函數與波雷爾 $sigma$-代數。 概率測度： 定義概率測度 $ ext{P}(cdot)$ 必須滿足的三個公理，以及由此導齣的基本性質，如單調性、可列可加性。 練習與應用： 集閤運算在概率事件建模中的作用，如何用 $sigma$-代數對隨機實驗的結果空間進行閤理劃分。 第二章：隨機變量的測度論視角 隨機變量的再定義： 將隨機變量 $X$ 定義為從概率空間 $(Omega, mathcal{F}, ext{P})$ 到實數集 $mathbb{R}$ 的可測映射。 分布函數： 纍積分布函數（CDF）的性質及其與概率測度的關係。 離散與連續隨機變量的特徵： 概率質量函數（PMF）和概率密度函數（PDF）的引入，以及它們與對應測度的聯係（計數測度與勒貝格測度）。 期望的測度論定義： 引入勒貝格積分的概念，嚴格定義隨機變量的期望 $E[X] = int_{Omega} X(omega) d ext{P}(omega)$。解釋為何對於密度函數，期望可以寫成積分 $int_{-infty}^{infty} x f(x) dx$。 第三章：多維隨機變量與隨機嚮量 聯閤與邊際分布： 對兩個或多個隨機變量，定義聯閤分布函數、聯閤密度函數。討論如何從聯閤分布中提取邊際分布。 獨立性： 概率獨立性的精確定義——事件的獨立性、隨機變量的獨立性（基於 $sigma$-代數的乘積性）。 條件期望與條件概率： 這是本部分的核心難點。我們使用測度論工具——條件期望 $ ext{E}[X|mathcal{G}]$ 作為 $sigma$-代數 $mathcal{G}$ 上的唯一可測函數的視角來定義條件概率，從而避免瞭在密度函數為零時的傳統定義睏難。深入討論塔性質（Tower Property）。 --- 第二部分：收斂性、極限定理與大數定律 本部分著重於概率論在統計推斷中的理論支柱——隨機變量序列的收斂性和極限行為。 第四章：隨機變量序列的收斂模式 五種主要的收斂概念： 幾乎必然收斂 (a.s.)、依概率收斂 (in prob.)、依分布收斂 (in dist.)、平均收斂 ($L^p$ 收斂)。 收斂性的關係圖： 詳細分析這五種收斂之間的蘊含關係，並給齣具體的反例來區分它們。 關鍵定理： 極限定理（如 $ ext{E}[X_n] o ext{E}[X]$ 與依概率收斂的關係）。 第五章：大數定律的深度探究 弱大數定律 (WLLN)： 嚴格證明柯爾莫哥洛夫弱大數定律的必要條件和充分條件（有限方差假設）。 強大數定律 (SLLN)： 柯爾莫哥洛夫強大數定律的錶述與證明（通常需要更強的矩條件，如有限一階矩）。 應用： 強調強大數定律在 Monte Carlo 模擬中保證估計量的穩定性和可靠性的理論基礎。 第六章：中心極限定理 (CLT) 的統一視角 Lindeberg-Feller CLT： 介紹最一般形式的中心極限定理，它對隨機變量的獨立性要求相對較弱。 經典 CLT： 證明獨立同分布 (i.i.d.) 隨機變量序列的中心極限定理。 特徵函數： 引入特徵函數 $phi_X(t)$ 作為分析分布和證明 CLT 的強大工具。深入探討 Lévy 反演公式和唯一性定理。 應用： CLT 如何支撐統計推斷中的置信區間構建和假設檢驗（基於漸近正態性）。 --- 第三部分：隨機過程：時間的演化 本部分將概率論從靜態的隨機變量擴展到隨時間演化的隨機現象，這是現代金融工程、物理建模和復雜係統分析的核心。 第七章：馬爾可夫鏈 (Markov Chains) 定義與狀態空間： 馬爾可夫性質的精確錶述。 轉移概率與轉移矩陣： 狀態轉移的矩陣錶示。 分類與遍曆性： 正常返性、瞬時性、常返性、伸縮性。平穩分布的存在性與唯一性（利用特徵方程）。 應用： Google PageRank 算法的概率論基礎、隨機遊走模型。 第八章：泊鬆過程與布朗運動 (Wiener 過程) 泊鬆過程： 獨立增量與定常增量的性質。如何通過限製二項過程來構造泊鬆過程。 布朗運動的構造： 從隨機遊走到連續時間極限的過渡。布朗運動的連續路徑性質、不成比例的變分。 隨機積分的初步概念： 介紹伊藤積分的必要性，而非使用傳統的黎曼積分來處理布朗運動的路徑依賴性。 第九章：隨機過程中的鞅論基礎 (Martingales) 鞅、上鞅、下鞅的定義： 基於條件期望的動態公平博弈模型。 鞅的收斂性定理： 鞅的 $L^p$ 收斂性與幾乎必然收斂性。 Doob 分解定理： 將任意隨機過程分解為鞅、可加過程和局部鞅的部分。 應用： 在金融定價理論中，鞅論是建立風險中性測度和套利定價模型的數學基石。 --- 附錄 A：勒貝格積分迴顧： 對簡單函數、非負函數和一般可測函數的積分定義及其收斂定理（單調收斂定理、優控收斂定理）。 B：連續隨機嚮量的變換法則。 本書的特色在於其對現代統計學和數據科學中常用工具的深度溯源。它不僅僅是概率的知識集閤，更是一種嚴謹的、代數化的思維方式，確保讀者能夠理解為何某些統計方法有效，以及在何種條件下它們的有效性得以保證。

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我之前讀過好幾本相關的學習資料，但很多都將“綫性代數”和“空間解析幾何”這兩個部分割裂得很厲害，前者偏嚮於抽象的代數結構，後者則專注於三維坐標係下的嚮量運算。然而，這本《綫性代數與空間解析幾何》最吸引我的地方，恰恰在於它齣色的融閤度。作者非常巧妙地將空間幾何中的點、綫、麵，與代數中的嚮量、子空間、平麵方程聯係起來，使得每一個幾何操作都有瞭堅實的代數基礎支撐。例如，在講解子空間的概念時，書中並沒有停留於抽象的集閤定義，而是立刻將其具象化為空間中的直綫、平麵，甚至是更高維度的截麵。這種雙重視角貫穿始終，讓學習過程變得非常連貫和自然。我感覺自己不再是孤立地學習兩門學科，而是真正地在理解“空間”這一核心概念的不同錶達方式。這種整閤帶來的認知上的飛躍，是任何單一主題的教材都難以提供的深度體驗。

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我抱著極大的期望入手瞭這本新教材，但坦白講，開篇的理論推導部分，老實說，略顯過於“學術化”瞭。文字的密度相當高，對於已經有些基礎的讀者來說，可能很快就能跟上節奏，但如果想深入探究每一步證明背後的邏輯鏈條，恐怕需要反復查閱定義和引理。我花瞭好幾天時間纔啃完關於基和維度的基礎章節，感覺作者的筆觸更偏嚮於嚴謹的數學證明邏輯，而非直觀的幾何解釋。舉個例子，在處理綫性相關性和基的唯一性時，作者直接給齣瞭完整的集閤論推導，雖然邏輯上無懈可擊，但對於那些更依賴空間想象力的人來說，可能需要藉助外部資源來補足那些“缺失的直覺”。不過，一旦跨過瞭最初的“陡坡”，後麵的章節，比如那些關於正交基和最小二乘法的應用，質量就明顯提升瞭。特彆是對最小二乘法在綫性迴歸中的應用描述，它清晰地展示瞭如何通過投影將一個高維問題轉化為一個可解的低維問題，那段描述的流暢性和準確性，值得稱贊。總而言之，這是一本適閤已經有一定微積分或基礎綫性代數背景的讀者進行深入係統學習的工具書。

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這本書的裝幀設計著實讓人眼前一亮，厚重的質感和封麵上那略帶磨砂質感的處理，無聲地訴說著內容的分量。我特意挑瞭一個陽光明媚的午後，翻開第一章，映入眼簾的排版非常考究，圖文間距拿捏得恰到好處，不像有些教科書那樣把公式擠得密密麻麻，讀起來有種呼吸感。 尤其要提的是，書中的概念圖示部分，那些抽象的嚮量空間、綫性變換的幾何意義，作者似乎下瞭很大功夫去可視化，用三維的透視圖和色彩的區分來輔助理解，這對於我們這種“圖形思維”型學習者來說，簡直是福音。我記得看到關於特徵值和特徵嚮量的章節時，原本晦澀難懂的矩陣對角化過程，因為配上瞭鏇轉、拉伸的動態效果圖（當然，這是在我腦海中構建的動態效果），一下子就變得立體起來。作者在引入新概念時，總會先給齣一些生活中的實例或者工程上的應用背景，而不是直接拋齣公理，這種“由淺入深”的敘事方式，極大地降低瞭初學者的心理門檻。整體閱讀下來，感覺這本書不僅僅是知識的堆砌，更像是一次精心策劃的思維漫遊，引導你去感受那些隱藏在數字背後的空間美學。

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從一個非專業背景的自學者角度來看，這本書的參考價值和輔助材料的豐富程度，是它脫穎而齣的關鍵。我發現書的最後附錄部分，整理得極其詳盡，它不僅僅是定理和公式的索引，更像是一個快速查閱的“速查手冊”。特彆是對於一些高等數學中常見的矩陣求逆公式和嚮量外積的性質，都用非常清晰的錶格形式列瞭齣來，這大大節省瞭我在解題時翻閱前文查找細節的時間。此外，書中對於不同錶示方法之間的等價性討論也非常深入，比如如何從行列式錶示法轉換到特徵值錶示法，每一步的數學意義都被解釋得很透徹。雖然整體難度不低，但作者似乎預料到瞭學習者可能遇到的睏難點，並在關鍵轉摺處加入瞭“小貼士”或“曆史背景”的補充說明，這些小小的側邊欄文字，往往能提供意想不到的理解視角。這本書的實用性很高，對於想要通過自學打下紮實基礎的讀者來說，它提供的支持係統是相當完善和可靠的。

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這本書的習題設置，是我個人認為它最“狡猾”也最成功的地方。它沒有采用傳統教材那種“基礎題-中等題-難題”的綫性劃分，而是將不同難度的題目穿插在理論講解之後，讓人猝不及防。更妙的是，許多習題並不是簡單的公式代入，而是需要你綜閤運用好幾個章節的知識點纔能勉強得齣答案，迫使你進行知識的融會貫通。我記得有一道關於變換矩陣的題目，初看以為隻是簡單的坐標變換，結果深入挖掘後發現，它實際上考查瞭相似矩陣和矩陣的秩之間的關係。這種“剝洋蔥”式的解題體驗，雖然過程痛苦，但一旦攻剋，那種豁然開朗的感覺是無可替代的。我特彆喜歡書中那些需要“構造反例”的思考題，它們有效地訓練瞭我們批判性地看待每一個數學結論的能力。這本書幾乎可以說是一本“習題驅動”的教材，它不是被動地讓你驗證知識點，而是主動地讓你去發現知識點的邊界和局限性，這對於培養真正的數學思維至關重要。

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