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出版者:哈尔滨工业大学出版社

作者:董增福

出品人:

页数:293

译者:

出版时间:2005-4

价格:33.00元

装帧:

isbn号码:9787560319377

丛书系列:

图书标签:

• 矩阵分析教程
• 数学
• 一大堆理论，非常生硬
• 矩阵分析
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深入浅出：线性代数几何应用与理论精讲 本书亮点： 理论深度与直观几何的完美融合： 不仅仅停留在代数运算的表面，更深入探讨了向量空间、线性变换在几何空间中的直观意义，帮助读者构建清晰的几何图像。 丰富且贴合实际的案例分析： 涵盖了从经典物理学（如刚体运动、场论基础）到现代工程学（如信号处理、控制系统）中的关键应用实例，使抽象概念立即具象化。 强调矩阵分解的实际效能： 详尽阐述了奇异值分解（SVD）、特征值分解（Eigendecomposition）的计算原理、数值稳定性以及它们在数据降维、图像压缩和推荐系统中的核心作用。 严谨的证明与灵活的讲解相结合： 兼顾了数学专业学生的严谨性要求和工程应用者的理解需求，证明过程详尽清晰，而讲解则侧重于“为什么”和“如何用”。 --- 内容导览与结构设计 《深入浅出：线性代数几何应用与理论精讲》 旨在为读者，无论是高等数学、物理、计算机科学，还是工程技术领域的学习者和从业者，提供一套既扎实又富有洞察力的线性代数知识体系。本书的结构设计遵循“基础奠定—核心概念深化—高级分解与应用”的逻辑主线，确保读者能够稳步提升对线性代数这一数学基石的掌握程度。 第一部分：基础的重建与几何直觉的培养 (第1章至第3章) 第1章：向量空间与线性组合的几何意义 本章从基础概念入手，但着重于将抽象的向量空间转化为可感知的几何实体。我们不仅定义了向量、线性组合、线性相关性，更重要的是，通过二维和三维空间（$mathbb{R}^2$ 和 $mathbb{R}^3$）作为切入点，阐释了这些概念在空间中的张成（Span）与线性表示。本章探讨了基（Basis）的概念，并引入了坐标系变换的几何视角，强调基的选择如何影响向量表示的简洁性。 第2章：线性映射：几何变换的代数语言 线性映射是理解矩阵本质的关键。本章深入剖析了线性变换的性质，如保持加法和标量乘法。矩阵被直接视为描述线性变换的工具。我们将着重分析几种核心的几何变换：旋转、反射、投影和剪切，并展示如何通过构造矩阵来精确实现这些变换。核（Kernel，或零空间）和像（Image，或值域）的概念将在几何上被解释为变换后空间中的“消失维度”和“可达空间”。 第3章：矩阵运算的几何内涵 本章将矩阵的代数运算——加法、乘法、转置——与几何变换的复合、叠加等操作联系起来。矩阵乘法不再仅仅是行与列的点积，而是变换的串联。我们详细讨论了矩阵的秩（Rank）与线性方程组解的存在性和唯一性之间的深刻联系，并首次引入了线性方程组的几何解释：求解线性系统即是寻找由列向量张成的空间中，某个特定向量的组合表示。 第二部分：核心结构：特征分析与正交性 (第4章至第6章) 第4章：内积空间与正交性 本章将话题从基础的欧几里得空间扩展到更一般的内积空间，引入了点积（内积）的概念。正交性（Orthogonality）是理解许多优化问题和数据分解的关键。我们将详细介绍施密特正交化过程，用于构造任意向量空间的一组正交基。正交投影的概念将被引入，作为在特定子空间中寻找“最佳近似解”的几何基础。 第5章：特征值与特征向量：系统的内在属性 特征值和特征向量是矩阵理论的精髓之一，它们揭示了线性变换作用下“方向不变”的特殊向量。本章将严谨推导特征方程的求解过程，并探讨特征值和特征向量的代数性质。更重要的是，我们将聚焦于这些概念在动态系统中的物理意义，例如描述振动模式或系统稳定性。 第6章：对角化与相似变换 本章的核心在于利用特征值和特征向量简化矩阵的计算。对角化（Diagonalization）将被解释为找到一组最优良的“特征基”，使得在该基下，复杂的线性变换仅表现为简单的尺度拉伸。我们将讨论可对角化矩阵的条件，并深入分析非对称矩阵的相似变换，为后续的更一般的分解做铺垫。 第三部分：高级分解、数值稳定与实际应用 (第7章至第9章) 第7章：对称矩阵与正交对角化 对于对称矩阵（在物理和几何中极为常见），本章展示了其特殊的优越性：它们总是可以被正交矩阵对角化。我们将详细介绍瑞利商（Rayleigh Quotient）与特征值的关系，并阐释正交对角化在主成分分析（PCA）理论基础构建中的不可替代性。 第8章：奇异值分解（SVD）：最强大的分解工具 本章是本书应用导向的重中之重。奇异值分解（SVD）被介绍为适用于任意矩阵的分解方法，克服了特征值分解仅适用于方阵的局限。我们将从几何上解释SVD如何将任意线性映射分解为三个基本操作：旋转、缩放（奇异值是缩放因子）和另一个旋转。SVD在低秩近似、数据压缩、最小二乘解的精确计算等方面的重要性将被详尽阐述，并通过具体案例（如图像去噪）进行演示。 第9章：最小二乘法与矩阵的伪逆 当线性系统无解时，我们转而寻求“最佳近似解”。本章将最小二乘问题置于几何框架下，阐释其解即为残差向量与列空间正交的条件。我们将推导正规方程组，并详细介绍摩尔-彭若斯伪逆（Pseudoinverse）的计算及其作为经典最小二乘解的推广形式，这是数据拟合和回归分析的数学核心。 --- 本书的独特价值 本书的叙事方式旨在弥合理论数学与工程实践之间的鸿沟。我们避免了纯粹的公式堆砌，而是将每一个概念都锚定在一个清晰的几何背景之上。例如，当介绍矩阵的四个基本子空间（列空间、零空间、行空间、左零空间）时，我们会用直观的图示清晰地描绘它们之间的正交关系，以及它们如何共同构成对偶性原理的体现。 此外，本书在讨论数值稳定性时，并未止步于理论描述，而是会简要提及条件数（Condition Number）的概念，提醒读者在实际计算中，对输入微小扰动的敏感性是线性代数在工程应用中必须正视的挑战。通过这种方式，《深入浅出：线性代数几何应用与理论精讲》将不仅仅是一本教材，更是一本帮助读者掌握利用矩阵思维解决复杂问题的实用手册。

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这本《矩阵分析教程》的封面设计挺有意思的，黑白分明，线条感很强，让人一眼就能感受到数学的严谨和力量感。我一开始被吸引，是想找一本能够系统梳理矩阵理论基础的教材，毕竟现在很多工程和数据科学领域都离不开矩阵运算。刚翻开目录，感觉内容划分得比较清晰，从基础的线性代数概念，到特征值、奇异值分解，再到更深入的矩阵范数和逼近理论，脉络是完整的。不过，阅读体验上我希望能有更多生动的例子来串联起这些抽象的定义和定理。比如，在讲到正交分解时，如果能结合一些实际的几何变换或者信号处理的例子，可能理解起来会更直观一些。目前看来，本书的侧重点似乎更偏向于理论推导的严密性，对于初学者来说，可能需要投入更多精力去消化那些密集的公式和证明过程。总体而言，作为一本工具书，它的内容广度和深度是值得肯定的，但如果能增加一些面向应用场景的案例分析，相信会更加吸引人。

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这本书的语言风格非常学术化，句子结构严谨，用词精准，这对于习惯了标准数学表达的读者来说是友好且高效的。它成功地构建了一个严密的逻辑框架，使得从一个公理到另一个定理的每一步都可被验证。但坦白讲，对于我这种需要通过类比和直观理解来巩固知识的人来说，这种过于“干燥”的叙述方式，有时会让人感到枯燥和距离感。例如，当讲解矩阵的各种范数时，如果能穿插一些关于“范数衡量了什么”——比如是衡量向量的长度，还是衡量线性变换对向量拉伸程度的“最大因子”——的直观解释，而不是仅仅给出定义和性质的列表，阅读体验会顺畅很多。总的来说，这是一本需要投入大量精力和专注度才能完全吸收的著作，它更像是一本需要反复研读的工具书，而不是一本可以轻松翻阅的入门读物。

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作为一名自学者，我花了很多时间在琢磨如何将抽象的线性空间概念与具体的向量操作联系起来。《矩阵分析教程》在这方面的引入是合格的，它从向量空间的基本定义出发，稳步推进到线性变换和矩阵表示。不过，我发现书中的习题部分相对比较“保守”，大多是验证性质的计算题或者直接套用公式的推导，缺乏那种需要你“创造性”地运用知识去解决新问题的挑战题。比如，我想尝试自己推导一个基于矩阵分解的最小二乘解的稳定性分析，但书中并没有提供足够的引导或类似的例题作为参考。这种习题设置的保守性，使得学习过程中的主动探索欲望被稍微削弱了。我更喜欢那种能激发我去思考“如果条件变了，这个结论还成立吗？”的题目。希望未来的版本能增加一些更具启发性的、需要综合运用多个章节知识的综合题型。

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我是在准备一个关于高维数据降维的研讨会时，朋友推荐我看看这本《矩阵分析教程》。我主要关注的是矩阵分解在优化算法中的应用。这本书的优势在于其对各种分解形式——比如QR分解、LU分解——的数学原理讲解得相当透彻，公式的推导步骤非常详尽，对于想深入理解算法底层逻辑的人来说，这绝对是一份宝贵的资源。然而，当我试图将书中的理论直接映射到我手头的实际优化问题时，发现理论和实践之间似乎存在一个“鸿沟”。书中的例子大多是教科书式的、设定好的理想情况，缺乏一些关于数值稳定性和计算复杂度的讨论。例如，在处理大规模稀疏矩阵时，直接套用书中的稠密矩阵算法显然是不够高效的。我期待能看到更多关于数值计算库（如LAPACK或BLAS）背后的矩阵算法是如何优化的章节，这样能让理论更具操作性。这可能更像是一本“理论基石”的书，而不是一本“工程实践”手册。

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这本书的排版和印刷质量是没得挑剔的，纸张的触感很好，公式的符号清晰锐利，长时间阅读下来眼睛也不会感到特别疲劳。我个人对线性代数中的不等式理论比较感兴趣，尤其是关于矩阵的迹和行列式的关系，这本书在这方面的内容确实比较扎实，引用了一些相对较新的研究成果，拓宽了我的视野。然而，我发现书中对“矩阵函数”的讨论相对简略，这一点略感遗憾。在现代控制理论和概率论中，矩阵指数和矩阵对数的使用非常频繁，但本书似乎只是蜻蜓点水般带过，没有深入探讨它们的性质和计算方法。如果能用更多的篇幅来讲解如何数值计算这些函数，或者讨论它们在特定领域（比如随机过程）中的具体应用，这本书的价值会大大提升。现在看来，它更适合作为一本偏向纯数学分析的教材，而不是一本面向跨学科研究者的参考书。

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我在想这个人是不是吃多了，还是觉得学生应该受到这种制裁

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我读的是本书第三版(最新)。数学符号的证明语言很严谨，吊打学校自己编的教材。范数那章的证明尤其精彩。罕有的有详细答案的矩阵教材。

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我读的是本书第三版(最新)。数学符号的证明语言很严谨，吊打学校自己编的教材。范数那章的证明尤其精彩。罕有的有详细答案的矩阵教材。

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我读的是本书第三版(最新)。数学符号的证明语言很严谨，吊打学校自己编的教材。范数那章的证明尤其精彩。罕有的有详细答案的矩阵教材。

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我在想这个人是不是吃多了，还是觉得学生应该受到这种制裁