数值计算方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学出版社

作者:黄明游

出品人:

页数:244

译者:

出版时间:2013-1

价格:22.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787030157638

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 数值计算
• 数值分析
• 科学计算
• 算法
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《数值计算方法》内容概述 本书聚焦于现代科学计算与工程应用中至关重要的核心领域——数值计算方法。全书系统性地介绍了处理连续数学问题离散化求解的理论基础、关键算法及其在实际问题中的应用。我们致力于为读者构建一个扎实且实用的数值分析知识体系，使其能够理解、选择并高效实施适用于特定计算挑战的数值技术。 第一部分：基础理论与误差分析 数值计算的基石在于对计算过程中的不确定性进行精确量化与控制。本部分首先确立了数值计算的数学框架，详细探讨了误差的来源、类型及其传播规律。 1. 数值计算的基础：实数系统与误差分析 本章深入剖析了计算机浮点数的表示体系（IEEE 754标准），解释了舍入误差的产生机制。重点讨论了截断误差、不稳定性与病态问题。通过大量的实例，阐明了误差的累积效应，并介绍了提高计算稳定性的基本策略，如选择合适的算法结构和优化运算顺序。 2. 函数的插值与逼近 本章关注如何用易于处理的函数（如多项式或样条函数）来近似复杂的函数或离散数据点。 多项式插值： 详细介绍了拉格朗日插值法、牛顿插值法，并对它们的收敛性、局部性和全局性误差进行了严格分析。重点探讨了等距节点上的龙勃（Runge）现象及其对高次插值鲁棒性的挑战。 插值余项分析： 深入理解插值误差的边界和特性。 分段插值与样条函数： 引入分段低次多项式插值，特别是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation），阐述其在保证一阶和二阶导数连续性方面的优势，这是工程和平滑处理中的标准工具。 最小二乘逼近： 介绍了函数逼近的优化思想，特别是针对大量数据点的线性及非线性最小二乘法，用于数据拟合和回归分析。 第二部分：数值积分与微分方程的求解 本部分转向对微积分运算的离散化处理，这是工程模拟和物理建模的基础。 3. 数值积分（Quadrature） 本章旨在用有限次的函数求值来近似定积分。 牛顿-柯特斯公式： 详细推导和分析了复合梯形法则、复合辛普森法则，并探究了它们基于误差项的收敛速度。 高斯求积法（Gaussian Quadrature）： 介绍了正交多项式在构造最优积分点和权重上的作用，展示了高斯点如何以更少的函数评估次数达到更高的精度，是精确数值积分的理论巅峰。 复化与自适应方法： 讨论了如何通过分段或基于误差估计动态调整步长的自适应积分策略。 4. 常微分方程的数值解法（ODEs） 这是描述动态系统的核心工具。本章侧重于一阶初值问题的离散化求解。 单步法： 详述了欧拉法（前向、后向）的稳定性和精度限制。重点是龙格-库塔（Runge-Kutta, RK）方法族，特别是经典的四阶RK法，分析其收敛阶和局部截断误差。 多步法： 介绍了阿当斯-福斯福斯（Adams-Bashforth/Moulton）方法，以及它们在提高计算效率方面的优势，同时也讨论了它们的启动问题和稳定性边界。 刚性方程组（Stiffness）： 引入了刚性问题的概念，解释了为什么显式方法在刚性问题上需要极小的步长，并介绍了隐式方法（如后向欧拉法、隐式中点法）在处理此类问题中的不可或缺性，以及它们所需的代数求解步骤。 稳定性分析： 讨论了单步法和多步法的绝对稳定域概念，这是选择正确方法的关键。 第三部分：线性代数方程组的数值求解 线性系统是几乎所有工程和科学计算的底层结构。本部分系统地介绍了求解 $mathbf{Ax}=mathbf{b}$ 的矩阵方法。 5. 直接法 直接法旨在通过有限步运算精确求解线性系统（忽略浮点误差）。 高斯消元法： 详细分解了其核心思想，包括主元选择（部分选主元、完全选主元）在防止数值发散中的关键作用。 矩阵分解： 重点讨论了 $LU$ 分解、Cholesky 分解（针对对称正定矩阵）及其在求解多个右端向量问题时的效率优势。 矩阵的范数与条件数： 深入分析了矩阵条件数 $kappa(A)$ 对解的敏感性，明确了病态系统对直接求解精度的影响。 6. 迭代法 当矩阵 $A$ 规模巨大或稀疏时，迭代法成为首选。 基本迭代法： 介绍了雅可比（Jacobi）法和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）法，并分析了它们的收敛性条件（基于矩阵的对角占优性）。 迭代法的加速： 引入了迭代法的加速技术，如残差计算、超松弛迭代（SOR）。 Krylov 子空间方法： 这是求解大型稀疏系统的现代标准。详细介绍了共轭梯度法（CG） 在对称正定系统中的应用，以及广义最小残量法（GMRES） 和双共轭梯度法（BiCGSTAB） 在一般非对称系统中的应用。重点阐述了预处理技术（Preconditioning）在显著加速这些迭代方法收敛速度中的核心作用。 第四部分：特征值问题的数值解法 特征值问题 $mathbf{Ax}=lambdamathbf{x}$ 在振动分析、稳定性判断和主成分分析中具有基础地位。 7. 特征值的计算 本章侧重于计算矩阵的所有或部分特征值和特征向量。 幂法（Power Iteration）： 用于寻找最大特征值及其对应向量。 反幂法（Inverse Iteration）： 利用求逆或求解线性系统来逼近特定特征值。 QR 算法： 作为计算所有特征值的标准直接迭代法，本章将详细阐述 QR 迭代的原理，包括如何通过 Hessenberg 约化和 Shift 技术来提高效率和鲁棒性。 第五部分：偏微分方程的数值方法导论 本部分对数值计算的应用前沿进行介绍，侧重于描述物理场问题的离散化技术。 8. 偏微分方程（PDEs）的离散化基础 有限差分法（FDM）： 针对椭圆型、抛物线型和双曲型 PDE，介绍如何用中心差分、前向差分等构造离散格式。重点分析了扩散方程（抛物型）和泊松方程（椭圆型）的显式和隐式时间推进方案，特别是Crank-Nicolson格式的稳定性和精度。 有限元法（FEM）基础思想： 简要介绍变分原理和形函数（Shape Functions）的概念，解释其在处理复杂几何边界方面的优势，为后续深入学习提供初步认识。 全书结构严谨，理论推导详实，同时紧密结合实际应用。每章后均附有精心设计的习题，旨在帮助读者巩固理论，并能将其转化为实际的编程实现能力。本书面向数学、物理、工程力学、电子信息、计算金融等领域的本科高年级学生、研究生以及需要进行科学计算的专业技术人员。

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如果要用一个词来形容阅读这本书的体验，那一定是“厚重”。它不是那种能让你在通勤路上轻松翻阅的读物，它需要你全身心的投入，最好是配上一杯浓咖啡和一个绝对安静的环境。这本书的强大之处在于它的体系构建能力，它不仅仅是罗列了各种算法，而是将它们置于一个统一的误差分析框架之下进行比较和评价。例如，在讨论非线性方程求根时，作者巧妙地将牛顿法、割线法和不动点迭代法放在同一个收敛速度的比较平台上，通过图示和严谨的数学证明，清晰地标示出每种方法的“适用边界”。这对我理解算法的“适用性”非常有帮助。这本书最大的特点是它的“求真”精神，它从不回避计算过程中的固有缺陷和不完美性，而是直面这些问题，并提供可行的工程化对策。对我而言，它更像是一部工具书的“哲学篇”，让你明白“数值计算”这门学科的核心思想，而非仅仅是公式的搬运工。

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这本书的价值，恐怕要等到你试图将书本知识转化为实际代码时才能完全体会到。我用它来辅助我完成一个关于快速傅里叶变换（FFT）的优化项目。市面上的很多计算书提到FFT，往往只是展示其 $O(N log N)$ 的复杂度优势，然后就过去了。但这本书里，对蝶形运算的分解过程，以及如何通过“原地”计算来最大限度地减少内存拷贝，描述得极为精细。我特别喜欢它对复数运算精度保持的讨论，作者花了整整两页纸的篇幅，通过一个极端的病态例子，展示了舍入误差如何在连续的复数乘法中累积，并建议了使用特定算法来减轻这种累积效应。这种对细节的偏执，使得这本书的理论深度远远超出了入门教材的范畴，更像是一本面向研究生的进阶手册。当然，对于初次接触这块内容的读者，可能需要配合一些外部资源来理解复分析的基础，否则部分推导会显得有些“黑箱化”。

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我是在一个深夜，被一个困扰了我好几个星期的编程Bug逼疯后，抱着“死马当活马医”的心态打开这本书的。那个Bug涉及到有限元方法的网格划分后处理，理论和实际操作之间总有一道看不见的鸿沟。这本书关于“区域离散化与插值函数选择”那一章，简直像是一束强光照亮了我的困境。作者并没有直接给出标准有限元法的万能公式，而是通过对比拉格朗日插值和样条插值的优劣，非常清晰地阐述了为什么在特定边界条件下，选择特定基函数的重要性。我发现，我之前的问题根源在于对边界条件的离散化处理过于草率。这本书的叙事方式很独特，它不咄咄逼人地推着你走，而是像一位耐心的导师，在你陷入困惑时，循循善诱地为你揭示背后的数学逻辑链条。它让我重新审视了“精确解”和“近似解”之间的关系，明白了在计算科学中，没有绝对的完美，只有在特定约束下的最优选择。

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这本书的排版布局，简直就是一场对阅读耐心的严峻考验。字体大小和行间距的设置，似乎更偏向于信息密度最大化，而不是舒适性。我得承认，第一次通读时，我频繁地需要用到纸质书签，因为一旦走神，再想找回刚才看到的位置简直是场灾难。不过，一旦你适应了这种高密度信息流的阅读节奏，你会发现它惊人之处在于例题的选取和详尽程度。随便翻开一章，比如关于常微分方程初值问题的解法，它不仅详细介绍了龙格-库塔法（RK4）的每一步递推公式，还特别用一个小小的脚注解释了为什么选择特定的步长控制策略，这可不是一般教材会深入的细节。更让我印象深刻的是，书后附带的那些上机实践建议，它们不是那种简单的“用C++实现一下”的口号式要求，而是直接给出了如何处理大规模矩阵运算时内存分配的考量，这对于我们搞工程计算的人来说，简直是雪中送炭。如果说有什么不足，可能就是图表的质量，有些涉及到三维曲面的可视化图样，打印出来的效果有点模糊，着实影响了对某些几何意义的直观理解。

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这本书的封面设计得相当朴实，那种略带磨砂质感的纸张，拿到手里有一种沉甸甸的实在感，不像现在很多轻薄的教材，让人感觉内容也飘忽不定。我之所以会买它，完全是因为我专业课里有一门基础课需要用到大量的数值分析知识，老师推荐的几本参考书里，这本的介绍看起来最“硬核”。翻开目录，嚯，章节标题就透着一股严谨劲儿，什么“误差的来源与分析”、“线性方程组的直接解法与迭代法”、“插值与逼近”等等，每一个词都像是用尺子量过的。我尤其对它对迭代法收敛性的讨论很感兴趣，作者似乎没有停留在仅仅给出公式的层面，而是深入挖掘了背后的数学原理，比如收敛半径和误差的阶数分析，读起来虽然费脑子，但每次啃下一个难点，那种成就感是无与伦比的。不过，说实话，初次接触的时候，前面的线性代数基础回顾部分感觉有点过于冗长，虽然知道是为后续内容打基础，但对于已经有一定基础的读者来说，稍微有点拖沓了，希望后面能更聚焦于核心算法的推导和应用。整体感觉，这绝对是一本可以作为工具书常备在手边的教材，而不是那种读完一遍就束之高阁的快餐读物。

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