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出版者:北京教育

作者:刘强 编

出品人:

页数:86

译者:

出版时间:2011-10

价格:19.80元

装帧:

isbn号码:9787530320129

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• 轻巧夺冠
• 优化训练
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《精进之路：中阶数学思维拓展与应用》 内容提要： 本书旨在为已掌握初阶基础知识，渴望在数学思维深度和广度上实现突破的学习者提供一份全面而深入的进阶指南。它超越了单纯的知识点罗列与习题堆砌，聚焦于构建高级数学概念之间的内在联系，培养学生在复杂问题面前的结构化分析能力与创新性解题策略。全书以“思维模型构建”为主线，结合对经典难题的深度剖析，引导读者从“知道”知识到“理解”原理，最终实现“运用”规律。 第一部分：基础概念的再审视与深化 本部分着力于对高中阶段核心概念进行“拉高拔升”，从全新的视角审视它们在更高层次数学结构中的地位。 第一章：函数概念的本质与延展 函数的深层定义与构造： 探讨集合论视角下的函数，清晰界定定义域、值域与对应法则的严格关系。引入抽象代数中“映射”的基本思想，为后续处理更复杂的函数变换打下基础。 超越初等函数的分析： 详细解析反函数存在的充分必要条件，并深入探讨分段函数、复合函数的极限行为。重点剖析周期性、有界性等高级性质的严格判定方法。 几何意义的深度挖掘： 将函数的性质与坐标系中的几何变换（如平移、伸缩、对称）进行一对一关联，强调“数形结合”的动态过程，而非静态观察。例如，如何利用导数曲线的几何特征预测原函数图像的凹凸性与极值点。 第二章：数列的动态演化与极限思想 等差、等比数列的“非线性”延伸： 讨论涉及递推关系（如斐波那契数列、线性递推）的通项公式求解技巧，尤其是特征方程法的应用。 级数收敛性的初步探索： 介绍比值检验法和积分检验法的基本原理，让学生初步感知无穷序列求和的严谨性。 数列极限的直观与严谨： 通过“夹逼定理”和“单调有界定理”，严格证明常见数列的极限值，为微积分学习做好知识储备。 第二章：三角函数的周期性与向量空间 三角函数的变换与复合： 系统梳理万能代换公式及其应用场景，重点分析 $asin x + bcos x$ 型式向正弦或余弦函数转化的几何意义（旋转变换）。 和差化积与积化和差的逆向思维： 不仅教授公式，更探讨如何通过观察表达式的结构，反推出应使用哪种转化策略。 平面向量的坐标化与几何运算： 将向量的概念提升到坐标系中的线性组合，理解点乘（内积）与叉乘（外积在二维空间的投影）在角度计算和面积求解中的核心地位。 第二部分：解析几何的思维重构 本部分旨在打破对圆锥曲线的机械记忆，转而从更本质的几何定义和代数关系入手，掌握解决复杂轨迹问题的通用工具。 第三章：圆锥曲线的统一性与极坐标视角 圆锥曲线的几何定义与标准形式的推导： 详细阐述离心率、焦点、准线在定义中的核心作用，并推导出椭圆、双曲线、抛物线的统一标准方程。 “设而不求”的参数法： 深入讲解参数方程在处理圆、椭圆等曲线上的优势，尤其在涉及角度或比例变化时，参数能有效降低方程的复杂性。 直线与圆锥曲线的相交问题： 重点训练“弦长公式”、“中点弦定理”的灵活应用，以及如何利用判别式和韦达定理快速锁定关键信息。 第四章：空间几何的逻辑构建与可视化 三视图与空间想象力的培养： 教授如何从二维投影图准确还原三维物体的空间结构，并利用“翻转法”或“割补法”简化空间计算。 线面位置关系的向量化证明： 引入空间直角坐标系，利用法向量和方向向量来严谨证明线线、线面、面的平行与垂直关系，替代繁琐的传统几何推理。 距离与角度的计算策略： 系统总结点到面、线到面距离的计算步骤，强调利用投影原理和向量投影来求解最小距离。 第三部分：概率、统计与离散数学的启蒙 本部分拓宽数学应用领域，介绍处理不确定性和离散结构的工具。 第五章：古典概率与统计中的不确定性度量 排列组合的精妙区别： 区分有序与无序、可重复与不可重复的排列组合模型，重点掌握“捆绑法”、“插空法”等高级计数技巧。 古典概型与几何概型： 掌握在有限样本空间内精确计算概率的方法，并初步理解在连续空间中如何利用面积或体积比来求解概率。 描述性统计与数据分析基础： 介绍平均数、中位数、众数、方差的计算与实际意义，理解它们在描述一组数据分布集中趋势和离散程度上的互补性。 第六章：算法思维与离散结构初探 归纳推理与演绎推理的结合： 通过数列求和、奇偶性分析等问题，训练学生在观察现象后建立数学猜想，并通过严格证明来确立结论的过程。 二分查找与优化策略的初步认识： 介绍二分法在求解单调函数零点或优化问题中的高效性，培养对“效率”的敏感度。 本书特色： 1. 重概念，轻刷题： 每章均设置“思维模型精炼”部分，用简洁的语言提炼核心方法论，而非罗列大量同质化习题。 2. 深度解析经典难题： 选取具有代表性的中高考压轴题及竞赛入门题，从多角度进行“庖丁解牛”式的拆解分析，展示不同工具的适用边界。 3. 注重逻辑的连贯性： 强调数学知识点之间的内在联系，帮助学习者建立一个稳固的、相互支撑的知识网络，而非零散的知识点集合。 目标读者： 已扎实掌握初级中学数学内容，希望在高中阶段实现数学思维跃升，为未来参加更高层次的学术竞争（如自主招生、竞赛预备）打下坚实基础的求知者。 --- （总字数约1550字）

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我必须承认，我是一个对学习材料的“互动性”要求极高的人。如果一本书只是单向地输出信息，我很容易就会感到枯燥和分心。而这本训练册，却成功地把我“拉”进了学习的过程中。它的设计理念似乎就是要把阅读者变成一个积极的参与者。例如，在每完成一个章节的小测验之后，它不会直接跳到答案解析，而是会留出一小块空白区域，明确提示读者：“请在此处写下你认为最合理的解题思路，即使是错误的也无妨。”这种设计极大地鼓励了学习者去主动思考和表达自己的理解路径，而不是仅仅对一个“标准答案”进行被动的核对。更妙的是，它引入了一种“自问自答”的环节，将一些常见的高频错误点设计成提问的形式，让你在回顾知识点时，潜意识地进行自我检测。这种设计极大地提升了学习的内驱力，让你感觉自己不是在“被要求学习”，而是在“主动解决问题”。可以说，它成功地将一个传统的学习工具，变成了一个富有生命力的学习伙伴。

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从一个纯粹的实用主义者的角度来看，这本训练册的“性价比”和“效率”是无可挑剔的。很多人在备考时都会陷入一个误区，就是盲目追求题目的数量和难度，认为题做得越多越好。但这本教材明显走的是“少而精”的路线。它用精选的例题和配套的变式训练，覆盖了所有核心考点，并且对于每一个知识点的不同侧重和易错点都做了细致的区分和强化训练。我过去常常因为做太多重复性的题目而感到疲惫，但现在我发现，只要我能扎实地掌握这本书中每一个例题背后的思维逻辑，我就能轻松应对考试中出现的大部分题型。它的结构清晰得令人发指，每个单元的起步都有一个“本单元目标聚焦”，结尾则是一个“能力诊断清单”，这种清晰的反馈机制让人对自己的学习进度和薄弱环节了如指掌。这套资料最大的价值在于它不是让你“做题”，而是让你“学会如何思考和应试”，从根本上提升了学习的效率和质量，是真正意义上的时间管理大师级的学习工具。

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我是一个对学习资料的“深度”要求非常高的学习者，很多资料往往停留在“知道”的层面，而缺乏“理解透彻”的深度挖掘。这本训练册在这方面做得非常到位，它真正做到了对知识点的“穿透式”讲解。它不仅仅告诉你“是什么”，更重要的是深入探讨了“为什么是这样”，以及“在什么情况下会发生变化”。例如，在讲解某些物理定律的应用边界时，它会通过一些反例或者特殊情境来阐明定律的适用条件，这种严谨性对于准备高难度考试至关重要，因为它能有效避免我们在考试中因为条件判断失误而失分。更让我感到惊喜的是，它似乎对当前考试趋势有着非常敏锐的洞察力。书中的压轴题目的设置，明显带有那种考察跨学科理解和创新思维的趋势，而不是单纯地考察死记硬背的公式。这迫使我们必须跳出题海战术的怪圈，转而关注知识的本质和灵活运用。阅读它的过程，仿佛在和一位真正理解教育本质的专家对话，而不是仅仅在做一套题集。

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这本新出的教材简直是为我们这些在“鸡血”学习法中挣扎的学生量身定做的。我最近刚接触它，最大的感受就是它真的摆脱了那种填鸭式的说教，更像是一个经验丰富的学长在旁边手把手地带着你走。比如，它在解析一些复杂的数学概念时，不会一下子抛出大量的公式和定义，而是先用几个非常贴近生活或者说非常“接地气”的例子来铺垫，让你对概念有一个直观的认知。然后，再循序渐进地引入理论框架，这种节奏感把握得非常好，让人感觉学习过程是一种探索而非被动接受。特别是对于那些基础相对薄弱的同学，这种由浅入深的引导方式极大地增强了自信心，不会一上来就被晦涩的术语吓跑。我注意到，书里很多例题的设置都非常巧妙，它们不是孤立地考察某一个知识点，而是将不同章节的内容串联起来，这对于我们训练综合应用能力至关重要。我个人特别欣赏它在错题分析部分的处理，没有简单地给出正确答案和标准步骤，而是深入剖析了学生可能犯错的思维误区，这才是真正的高效复习策略，能有效避免“同样的错误犯两次”。这本书的装帧设计也很用心，纸张的触感和字体的排布都非常舒适，长时间阅读下来眼睛也不会感到特别疲劳，这在长时间备考中也是一个不可忽视的加分项。

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说实话，刚拿到这套学习资料的时候，我内心是抱着一种“审视”的态度去翻阅的，毕竟市面上优秀的教辅材料实在太多，真正能让人眼前一亮的凤毛麟角。然而，翻阅的头几页就让我对它刮目相看。它最显著的特点在于它对“思维导图”和“知识树”的构建简直到了艺术的层面。不同于那种粗糙地把知识点罗列出来的图表，这里的每张图都经过了精心设计，能够清晰地展示出各个知识点之间的逻辑层级和相互支撑关系。特别是对于那些知识点繁杂、容易混淆的部分，它会用不同的颜色、粗细不同的线条来标示主次关系，让人一目了然。我过去花大量时间去梳理这些结构，现在只需要对照书中的图示就能快速构建起完整的知识体系。此外，它的“小贴士”部分也非常实用，很多都是关于应试技巧的总结，比如如何在限定时间内快速判断题目的类型，或者在面对开放性问题时如何组织得分点，这些经验性的指导是标准教科书里绝对找不到的宝贵财富。我敢说，光是理解和内化这些知识结构图，就已经能帮我节省至少30%的复习时间。

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