The Local Structure of Algebraic K-Theory pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Bjørn Ian Dundas

出品人:

页数:450

译者:

出版时间:2012-9-6

价格:USD 129.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9781447143925

丛书系列:

图书标签:

数学
计算机科学
Springer
K-Theory
Algebraic
2012
代数K理论
同调代数
代数拓扑
层论
谱序列
代数几何
代数数论
Quillen
局部结构
函子范畴

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具体描述

Algebraic K-theory encodes important invariants for several mathematical disciplines, spanning from geometric topology and functional analysis to number theory and algebraic geometry. As is commonly encountered, this powerful mathematical object is very hard to calculate. Apart from Quillen's calculations of finite fields and Suslin's calculation of algebraically closed fields, few complete calculations were available before the discovery of homological invariants offered by motivic cohomology and topological cyclic homology. This book covers the connection between algebraic K-theory and Bokstedt, Hsiang and Madsen's topological cyclic homology and proves that the difference between the theories are 'locally constant'. The usefulness of this theorem stems from being more accessible for calculations than K-theory, and hence a single calculation of K-theory can be used with homological calculations to obtain a host of 'nearby' calculations in K-theory. For instance, Quillen's calculation of the K-theory of finite fields gives rise to Hesselholt and Madsen's calculations for local fields, and Voevodsky's calculations for the integers give insight into the diffeomorphisms of manifolds. In addition to the proof of the full integral version of the local correspondence between K-theory and topological cyclic homology, the book provides an introduction to the necessary background in algebraic K-theory and highly structured homotopy theory; collecting all necessary tools into one common framework. It relies on simplicial techniques, and contains an appendix summarizing the methods widely used in the field. The book is intended for graduate students and scientists interested in algebraic K-theory, and presupposes a basic knowledge of algebraic topology.

《代数K理论的局部结构》内容简介《代数K理论的局部结构》一书深入探讨了代数K理论这一数学分支的深刻内涵，特别是其在局部化视角下的丰富结构。本书旨在为读者提供一个全面而细致的理解框架，以揭示代数K理论如何精妙地捕捉代数对象（如环、模、代数簇等）的几何和拓扑信息，并在局部层面展现出令人惊叹的规律性。本书的起源可以追溯到代数K理论本身的诞生，它最初是为了解决与代数方程组的解相关的问题而发展起来的。随着数学的发展，K理论逐渐演变成一个独立的、极其强大的工具，能够研究代数结构中的“缺失”信息，即那些通过常规代数手段难以直接观察到的性质。局部结构的概念，则是K理论研究中一个至关重要的视角，它强调了在分析全局性K理论不变量时，对代数对象在“局部”的行为进行深入考察的重要性。本书的核心论点在于，许多代数K理论中的关键不变量和现象，并非孤立存在，而是与代数对象在局部区域或局部环上的性质紧密相连。通过研究这些局部信息，我们可以更有效地理解和计算全局K理论群的结构，揭示其内在联系，并为解决更广泛的数学问题提供洞察。第一部分：代数K理论基础与局部化在本书的第一部分，我们将为读者打下坚实的代数K理论基础。我们将从最基本的定义开始，介绍K理论的主要构造，包括 $K_0$ 群，它通常与可交换环上的射影模的同构类相关，以及 $K_1$ 群，它与环的广义可逆元群相关。我们将详细阐述这些群的构造方法，例如基于格罗滕迪克的张量范畴方法，以及基于西格尔空间（ या `plus`-construction）的方法。随后，我们将引入“局部化”这一核心概念。在代数几何中，局部化是指将一个全局对象（如一个环或一个簇）分解为一系列局部对象（如局部环或局部簇），并通过研究这些局部对象的性质来理解全局对象的性质。在代数K理论的语境下，局部化意味着我们将考察K理论不变量在局部环上的行为。我们将探讨如“Mayer-Vietoris序列”这类代数拓扑中的经典工具如何在K理论中得到推广和应用，以连接不同局部区域的K理论信息。本部分还将介绍关于局部环的K理论的一些初步结果。例如，对于一个局部环 $R$ 及其最大理想 $m$，我们将探讨 $K_i(R)$ 与 $K_i(R/m)$ 之间的关系，以及同态 $K_i(R) o K_i(R/m)$ 的核和像的性质。这将为理解K理论的“衰减”或“提升”现象提供初步的认识。第二部分：射影模与K理论的局部性质本书的第二部分将聚焦于代数K理论与射影模之间的深刻联系，并着重分析其局部结构。我们将详细讨论“Serre-Swan定理”，该定理表明一个向量丛（其代数模拟是射影模）与在平凡空间的射影模之间的关系。虽然Serre-Swan定理本身是一个全局性结果，但其证明以及应用往往依赖于对向量丛在局部如何“平凡化”的理解。我们将深入研究局部化定理（Localization Theorem）在K理论中的应用。这个定理是连接代数K理论和某些几何概念的关键。特别是，对于一个环 $R$ 和其一个乘法子集 $S$，我们将会探讨 $K_i(R)$ 和 $K_i(S^{-1}R)$ 之间的关系。局部化定理表明，在某些条件下，$K_i(R)$ 的许多信息可以通过 $K_i(S^{-1}R)$ 来获得，而 $S^{-1}R$ 通常是一个局部化的对象。本部分还将探讨“局部射影模”的概念，并研究其K理论性质。我们将分析哪些全局射影模在局部上具有特殊的性质，以及这些性质如何反映在K理论群中。例如，对于一个光滑代数簇 $X$ 上的代数，我们将探讨其上的射影模的K理论，并研究这些射影模在开集的局部行为。第三部分：模的K理论与代数簇的几何本书的第三部分将进一步将代数K理论的局部结构与代数簇的几何性质联系起来。我们将讨论“模论的K理论”（或称“模K理论”），它研究的是由环同态诱导的K理论群的映射，以及模范畴的K理论。一个重要的方向是研究基于代数簇的K理论。例如，我们将探讨一个代数簇 $X$ 上的凝聚层范畴的K理论，即 $K(Coh(X))$。我们将展示如何利用代数簇的几何性质，例如其开集的结构、切线丛等，来分析 $K(Coh(X))$ 的局部性质。我们将引入“奇点”（singularities）的概念，并研究它们对K理论局部结构的影响。在代数簇中，奇点是那些“不光滑”的点。我们将探讨K理论如何能够检测和区分代数簇上的不同类型的奇点，以及局部K理论如何帮助我们理解奇点附近的几何结构。此外，本书还将触及K理论与叠（sheaves）的联系。我们将介绍K理论与一些重要的代数几何不变量，如Picard群、Chern类等之间的关系，并说明这些不变量如何通过K理论的局部信息来获得更深刻的理解。第四部分：高阶K理论与代数空间在本书的第四部分，我们将把研究范围扩展到高阶K理论，即 $K_i$ 群，其中 $i ge 2$。我们将介绍其构造，例如基于奇同态（ या `cyclic` homology）或分解同态（ या `Bousfield-Kan spectral sequence`）的方法。高阶K理论通常与代数空间的“光滑性”或“模形式”等更精细的几何性质相关。我们将探讨局部K理论如何能够揭示代数空间在局部区域的拓扑和几何特征。例如，我们将研究一个代数空间的局部环的K理论如何反映该空间在局部区域的“曲率”或“形变”。本部分还将介绍一些关于代数K理论的“猜想”或“定理”，这些都与局部结构的概念紧密相关。例如，我们将讨论“奇点猜想”（ या `Bloch-Ogus conjecture`），它试图将代数簇上的K群与某些上同调论联系起来，而这个联系在很大程度上依赖于局部性质。结论与展望在本书的最后，我们将对代数K理论的局部结构进行总结，并展望该领域未来的研究方向。我们将强调代数K理论的局部视角如何为理解代数对象提供了一种强大的、跨越代数、几何和拓扑的统一语言。本书期望能够吸引对代数K理论、代数几何、同调代数以及相关数学领域感兴趣的读者。无论是研究生、研究学者，还是希望深入理解这些前沿数学思想的数学爱好者，都能从本书的详细论述中受益。通过对代数K理论局部结构的深入剖析，本书将为读者提供一个全新的视角，去发现隐藏在代数世界中的深刻规律。

作者简介

目录信息

读后感

评分☆☆☆☆☆

用户评价

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版质量和印刷水平令人称赞，这对于阅读高密度数学文本至关重要。页边距的合理分配，公式的清晰度，以及脚注的准确性，都体现了出版方对学术严谨性的尊重。从内容上讲，作者对于“局部化”这个核心概念的把握极其精准，他似乎找到了一种全新的语言体系来描述原本用经典语言难以捕捉的现象。我特别关注了关于谱序列在K理论中的应用这一章节，那里的论述不仅完整，而且在关键步骤上提供了不同于标准教科书的注解，这些注解对于理解某些证明背后的“灵感”至关重要。这本书的叙事风格偏向于“发现之旅”，作者并不急于给出结论，而是展示了如何一步步排除干扰，最终抵达核心洞见的过程，这种教学方法对于提升读者的独立思考能力非常有帮助，尽管过程略显冗长，但收获是扎实的。

评分☆☆☆☆☆

读完这本书，我有一种强烈的感受：它更像是一部“对话录”而非传统的教材。作者似乎在和一位拥有深厚基础的同行进行一场跨越时空的深入探讨。他经常使用一种略带反问的语气来引导读者思考，比如“难道我们不应该从更基础的层面上重新审视这个假设吗？”这种对话式的写作风格，极大地拉近了读者与作者之间的距离，尽管内容本身是极其高深的。特别是在处理K理论与模论交叉地带时，作者展现出的跨学科整合能力令人印象深刻。他巧妙地将一些看似不相关的代数结构联系起来，为研究人员提供了一套全新的工具箱。不过，对于那些需要快速掌握某个特定技巧的读者来说，这本书可能不是最高效的选择，因为它更侧重于构建一个连贯、整体性的理论框架，而不是罗列分散的定理和算法。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁有力，那种深沉的蓝色调与精致的排版，立刻给人一种这是学术界重量级作品的预感。我花了相当长的时间才完全消化了第一章，它仿佛是一张宏大的地图，为我们勾勒出了代数K理论在局部结构研究中的独特视角。作者似乎非常擅长于构建理论框架，他并非简单地复述已有的概念，而是深入挖掘了那些隐藏在看似标准定义之下的微妙联系。特别是关于范畴论在处理局部化问题上的应用，那些严谨的论证和精妙的构造，让我不得不频繁地停下来，对照其他几本经典著作进行比对思考。我尤其欣赏作者在引入新概念时那种循序渐进、层层递进的叙述方式，虽然内容晦涩，但逻辑链条异常清晰，即便偶尔被一些复杂的符号搞得晕头转向，只要回溯上文，总能找到清晰的指引。这本书显然不是为初学者准备的茶余饭后的读物，它更像是研究者工具箱里最精密的那把瑞士军刀，需要使用者具备扎实的代数几何和拓扑基础，才能真正体会到其中蕴含的深刻洞察。

评分☆☆☆☆☆

我这次阅读体验可以用“如沐春风又如临深渊”来形容。论证的流畅度简直令人叹为观止，特别是探讨高阶同调群性质的部分，作者几乎是带着你一起完成了那些复杂的构造过程，仿佛你不是在阅读文字，而是亲手在黑板上推导一般。然而，这种流畅感往往在你准备为某个结论感到庆幸时戛然而止，紧接着就是对更深层次问题的探讨，其抽象程度令人咋舌。比如，书中对特定模结构的深入剖析，它要求读者不仅要熟稔经典代数理论，还必须对现代几何语言有深刻的直觉。我发现自己不得不频繁地停下来，查阅那些看似不那么重要的引文，因为作者对这些背景知识的假设似乎比我预想的要高得多。这本书的价值在于它强迫你超越表面的公式，去思考“为什么是这样”的底层逻辑，它在不断地挑战读者的心智边界，迫使我们用更高级的视角来审视K理论的内在肌理。

评分☆☆☆☆☆

这本书的学术野心是毋庸置疑的，它试图填补代数K理论研究中一个长期存在的理论鸿沟。我被作者在处理那些“病态的”或“退化”情况时的细致程度所折服。他没有回避那些在标准处理中往往被略过或简化的小情况，而是给予了充分的关注和严谨的分析，这体现了作者对理论完整性的执着追求。我花了大量时间琢磨了其中关于“导范畴”在局部K理论中的作用，作者提出的那个构造性定义，比我之前见过的任何版本都要清晰和强大。总而言之，这本书的阅读体验是一种智力上的马拉松，它要求读者投入大量的时间和精力，去适应作者独特的思维节奏和语言习惯，但对于那些真正致力于前沿代数拓扑和K理论研究的学者来说，这本书绝对是不可多得的参考宝典，它提供的视角和工具将深刻影响未来的研究方向。

评分☆☆☆☆☆