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出版者:Springer

作者:Joe Harris

出品人:

页数:349

译者:

出版时间:1995-12-01

价格:USD 69.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387977164

丛书系列:Graduate Texts in Mathematics

图书标签:

• 数学
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《代数几何》 概述 《代数几何》一书旨在为读者提供一个深入而全面的代数几何领域导引，特别关注该学科的核心概念、技术和前沿发展。本书的研究对象是代数簇，这些由多项式方程组的零点集合构成的几何对象，它们在数论、拓扑学、复分析乃至理论物理等众多领域都扮演着至关重要的角色。代数几何的魅力在于它将抽象的代数结构与直观的几何景象巧妙地融合在一起，通过代数语言来理解和描述几何形状的性质，反之亦然。 本书的编写风格兼顾了严谨的数学论证和清晰的阐释，力求使初学者能够逐步掌握基本概念，同时也能让有一定基础的读者深入探索更复杂的理论。我们将从最基本的代数几何对象——仿射簇和射影簇出发，逐步引入更高级的工具，如概形、层论等，最终触及一些当前研究中的活跃方向。本书的数学表述严格遵循标准，同时注重概念之间的内在联系和发展脉络，帮助读者构建起一个连贯而深刻的代数几何知识体系。 第一部分：基础概念与工具 在本书的第一部分，我们将奠定代数几何的理论基石。 域与环： 我们将回顾在代数几何中至关重要的域（field）的概念，特别是代数封闭域（algebraically closed field）的重要性。接着，我们将深入探讨环（ring），特别是交换环（commutative ring）及其理想（ideal）。我们将介绍多项式环，它们是构造代数簇的基本单元。重点将放在理想的性质，例如素理想（prime ideal）和极大理想（maximal ideal），以及它们与代数簇的对应关系。 代数簇： 这是代数几何的核心研究对象。我们将从最直观的仿射簇（affine variety）开始，定义仿射簇为域上多项式环的零点集合。我们将介绍坐标环（coordinate ring）的概念，并揭示仿射簇与其坐标环之间的对偶性，即希尔伯特零点定理（Hilbert's Nullstellensatz）。这是一个极其重要的定理，它将代数和几何紧密联系起来。 射影簇： 随后，我们将引入射影簇（projective variety），这是仿射簇的自然推广，位于射影空间（projective space）中。射影簇的定义需要用到齐次坐标（homogeneous coordinates）和齐次理想（homogeneous ideal）。我们将讨论仿射簇和射影簇之间的关系，以及射影簇的优越性，例如它们在代数簇理论中的完备性和优美性质。 多项式映射与同态： 在代数簇之间，我们如何进行“映射”？本书将介绍多项式映射（polynomial map）或态射（morphism），它们是从一个代数簇到另一个代数簇的连续映射（在扎里斯基拓扑下）。我们将展示态射如何诱导出坐标环之间的代数映射（环同态），进一步强化代数与几何之间的对应。 扎里斯基拓扑： 我们将详细阐述代数簇上定义的扎里斯基拓扑（Zariski topology）。这个拓扑具有一些与我们熟悉的欧几里得拓扑不同的性质，但它对于定义闭集、开集以及研究簇的连通性至关重要。我们将讨论闭集与理想之间的对应关系，以及仿射簇的维数（dimension）是如何通过开集或链状理想来定义的。 不可约簇： 我们将引入不可约簇（irreducible variety）的概念，即不能表示为两个真闭子簇的并集的代数簇。我们会证明不可约簇与其对应环的素谱（spectrum of prime ideals）之间存在自然的对应关系。不可约性是许多后续理论的基础，许多重要的代数簇性质都与不可约性相关。 代数簇的维数： 维数是几何对象的一个基本度量。我们将从代数角度给出代数簇的维数的严谨定义，例如基于链状理想的长度，或者基于不可约闭子集的上界。我们将讨论维数的一些重要性质，例如两个代数簇的乘积的维数。 第二部分：进阶理论与工具 在掌握了基础概念后，本书将进入更高级的代数几何理论，这些工具对于理解更复杂的几何对象至关重要。 层论入门： 层（sheaf）是现代代数几何的核心工具之一。我们将从直观上介绍层的概念，即将函数或代数对象“粘合”到拓扑空间的开集上。我们将重点介绍结构层（structure sheaf），特别是对于仿射簇，我们将定义坐标环的正则函数层（sheaf of regular functions）。通过层，我们可以局部地研究代数簇的性质。 概形： 概形（scheme）是亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck）引入的革命性概念，它极大地扩展了代数几何的研究范围，将代数簇的概念推广到更一般的交换环上。本书将谨慎地引入概形的定义，首先从环谱（spectrum of a ring）出发，将环的代数结构赋予几何意义。然后，我们将介绍概形论中的局部化（localization）和粘合（gluing）的思想，构建出由仿射概形（affine scheme）粘合而成的更一般概形。 层上同调： 概形论与层论的结合催生了层上同调（sheaf cohomology）这一强大工具。层上同调是研究代数簇（或概形）上层的全局性质的代数工具，它能揭示许多拓扑和几何信息。我们将介绍一些基本的上同调群，例如 $H^0$（截面群）和 $H^1$（扭曲的截面群），并解释它们在代数几何中的作用，例如与向量丛、线丛等概念的联系。 向量丛与线丛： 向量丛（vector bundle）是代数簇上的一个重要几何结构，它在几何分析、微分几何以及数学物理等领域都有广泛应用。我们将定义向量丛，并重点介绍线丛（line bundle），即秩为1的向量丛。我们将讨论线丛与除子（divisor）之间的对应关系，以及它们在代数簇的几何性质中扮演的角色，例如在定义商函数域、判别簇的相交数等方面。 相交理论： 对于几何形状的“交点”，代数几何提供了精密的计算方法。相交理论（intersection theory）旨在计算代数簇相交的“维度”和“相交数”（intersection number）。我们将介绍一些基本的相交理论概念，例如环（cycle）和区域（chain），以及如何利用代数工具计算它们的相交数。这部分内容在数论、代数几何和拓扑学中都有深刻的应用。 光滑性与奇异性： 代数簇的“光滑性”（smoothness）是其几何性质的一个重要方面。我们将从代数角度定义光滑点（smooth point）和奇异点（singular point）。我们将探讨光滑性与雅可比矩阵（Jacobian matrix）的秩之间的联系。奇异点的研究对于理解代数簇的几何形态至关重要，它们通常对应着簇上的一些“尖锐”或“不规则”的区域。 第三部分：应用与研究前沿 在本书的第三部分，我们将触及代数几何的一些重要应用领域以及当前的研究热点。 数论中的代数几何： 代数几何与数论有着深厚的渊源。本书将介绍代数几何在数论中的应用，例如椭圆曲线（elliptic curve）及其在密码学（如椭圆曲线密码学）和数论猜想（如费马大定理）中的作用。我们将讨论域上的代数簇，特别是有限域上的代数簇，以及它们与代数数论的关系。 代数曲面与更高维簇： 我们将进一步拓展代数几何的研究对象，从代数曲线（通常是二维的）转向代数曲面（三维的）以及更高维的代数簇。我们将讨论一些著名的代数曲面，例如二次曲面、卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形等，以及它们在理论物理（如弦论）中的重要性。 模空间： 模空间（moduli space）是一个非常重要的概念，它是一个几何对象，其“点”对应着一类具有某种性质的几何对象（例如，一类代数曲线，或一类向量丛）。模空间的研究旨在理解这些几何对象的“空间”结构。我们将介绍模空间的基本思想，并讨论一些例子，例如代数曲线的模空间。 理论物理中的代数几何： 近年来，代数几何在理论物理，特别是弦论、量子场论等领域展现出强大的生命力。本书将简要介绍代数几何在这些领域中的一些应用，例如它如何被用来理解量子力学中的某些数学结构，或者如何在弦论中构建物理模型。 总结 《代数几何》一书旨在提供一个完整而深入的代数几何学习体验。通过对基础概念的清晰阐述，以及对进阶理论的系统介绍，本书将引导读者穿越代数与几何的迷人世界。我们希望通过本书，读者能够深刻理解代数簇的内在美，掌握分析和研究这些几何对象所需的数学工具，并对其在数学和物理学中的广泛应用有一个全面的认识。无论是作为一本教科书，还是作为一本参考书，本书都力求成为读者探索代数几何领域的可靠向导。

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这本书的深度是毋庸置疑的，它无疑是该领域内一座里程碑式的作品。阅读它更像是一种修行，而不是简单的信息获取。我注意到作者在引用参考文献时非常谨慎，似乎只采纳了那些已经被时间检验、成为领域基石的成果。这使得全书的论述保持了高度的纯粹性和一致性，几乎没有受到近年来快速发展的新技术或边缘理论的影响。它的结构是内聚的，每一个章节都紧密服务于最终建立起一个完备的、自洽的理论体系。对于那些希望深入研究该学科的深层结构，并准备进行原创性研究的严肃学者来说，这本书是不可或缺的“内功心法”。我个人对书中处理完完全全的“抽象代数”部分印象最为深刻，那里几乎没有涉及任何具体的例子，完全是纯粹的符号操作，但正是这种极致的抽象，赋予了理论无与伦比的普适性。它教会了我如何用一种全新的、更高级的语言去“思考”几何问题。

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这本精装本的数学著作，封面上那简洁到近乎冷峻的排版，立刻就给人一种严肃的学术气息。我是在为我的博士论文搜集基础资料时偶然翻到它的。说实话，初次翻阅时，我感觉自己像是一个误入了古老图书馆的探险家，面对着满墙用晦涩的符号和复杂的结构搭建起来的知识迷宫。书中的论述极其严谨，每一个定理的引入都像是精心设计的建筑步骤，环环相扣，不容置疑。作者似乎对读者的背景知识有着极高的期待，很多基础概念只是匆匆带过，直接跳入更深层次的抽象建构。我花了大量时间在理解那些关于概形（schemes）和范畴（categories）的引言部分，那里的语言风格如同精确的法律条文，每一个限定词都至关重要。对于那些习惯于直观几何图像的读者来说，这本书无疑是一次对思维极限的挑战，它强迫你完全抛弃具象的想象，转而沉浸于纯粹的、结构性的逻辑世界中。尽管阅读过程充满了挫折感，但每当成功跟上作者的思路，推导出下一个关键引理时，那种智力上的满足感是无与伦比的，仿佛真的触及到了数学本质的骨架。

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这本书的印刷质量和装帧设计非常精良，厚实的纸张拿在手里非常有分量感。作为一本面向专业人士的教材或参考书，它在排版上的用心值得称赞。数学公式的对齐和符号的清晰度极高，即便是在处理非常复杂的张量符号或积分符号时，也从未出现过模糊不清的情况。我个人最喜欢它在章节末尾设置的“历史注释”（Historical Notes）部分，虽然这些注释本身并未直接参与核心的理论建构，但它们为理解某个概念的演变提供了宝贵的背景信息，让人意识到这些抽象的理论是如何在历史长河中逐渐打磨成型的。唯一的遗憾是，该书缺乏大量的、与概念同步出现的“直观示例”或“几何动机解释”。很多时候，我必须得合上书本，转而去查阅其他更具可视化倾向的资料，才能真正理解那些符号背后的几何意义。这本书更像是数学家之间的“密语”，只对懂得“代码”的人开放。

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我必须承认，我购买这本书的初衷，是希望能找到一些关于黎曼曲面（Riemann surfaces）的现代代数处理方法。然而，这本书的侧重点显然更为宏大和基础。它更像是一本哲学导论，探讨的是“空间”在更高维度上应如何被定义和理解。书中对“局部化”和“上同调理论”（cohomology theories）的阐述，详尽得令人发指，但其篇幅之大，有时候会让人迷失在推导的细节之中，忘记了最初想要解决的具体问题。我尤其欣赏作者在处理“相干层”（coherent sheaves）时所展现出的洞察力，那部分内容将线性代数的思想提升到了全新的抽象层次，使原本看似松散的代数对象之间建立了清晰的层级关系。不过，对于刚从复分析转入代数几何的同行来说，这本书的叙事节奏可能过于缓慢且沉重，它更适合那些已经对基础概念了如指掌，正准备进行前沿研究的学者。它不像是一本工具书，而更像是一部需要全神贯注、逐字逐句研读的经典文献。

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我是在一个研究小组的推荐下购入此书的，主要目标是希望它能提供一个统一的框架来整合我在不同课程中学到的零散知识点。这本书确实提供了一个极其强大的统一框架，但这个框架的构建过程异常艰难。作者的写作风格倾向于“公理化”的演绎，即从最基本的、不证自明的公理出发，构建起整个理论大厦。这种方法论在数学上是完美的，但在教学法上却显得有些冷酷。书中对于“拓扑空间”到“代数空间”的过渡处理得非常巧妙，它通过引入更精细的结构，成功地弥合了两种不同几何观之间的鸿沟。然而，作者似乎完全跳过了一些“引导性”的章节，例如，关于如何将一个具体的、可计算的代数方程组与抽象的纤维丛联系起来的桥梁。我感觉自己像是被直接扔进了一个已经建好的理论迷宫的中心，需要自己回头去摸索路径。这本书要求读者具备极高的内在驱动力和独立解决问题的能力，否则很容易在深奥的定义和推导中迷失方向。

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学了一半吧～classical的

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