新潜能数学（4上） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:138

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出版时间:2006-8

价格:8.50元

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isbn号码:9787213033315

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• 数学
• 小学数学
• 四年级
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探索浩瀚星河：高等代数与抽象代数导论 本书旨在为渴望深入理解数学核心结构、探索代数世界奥秘的读者提供一本全面而富有启发性的入门指南。它不仅仅是一本教材，更是一段带领读者领略抽象思维之美的旅程。我们将从基础概念出发，逐步深入到代数结构的最深层，为读者构建起坚实的理论基础，并展示这些理论在现代科学与技术中的广泛应用。 第一部分：群论的基石——代数结构的初步探索 本部分聚焦于代数结构中最基本、却也最富魅力的概念——群。群论不仅是抽象代数的核心，也是理解对称性、变换和离散数学的基础。 第一章：集合、映射与二元运算的严谨定义 我们将从集合论的视角出发，精确地定义“二元运算”的内涵。强调运算的封闭性、结合律以及存在单位元和逆元的必要性。这部分将通过大量的实例，如整数集上的加法和乘法，有理数集上的运算，来区分“群”与“非群”的结构。特别地，我们将引入同构的概念，阐明结构上的等价性，即使元素本身的面貌不同。 第二章：群的定义与基本性质 清晰阐述群的四大公理：封闭性、结合律、单位元存在性与逆元存在性。我们将深入探讨群的基本性质，例如单位元和逆元的唯一性、左（右）消去律等。接着，引入子群的概念，探讨如何在一个群内部寻找更小的群结构。拉格朗日定理将作为本章的里程碑，它揭示了子群阶数与群阶数之间的深刻联系。 第三章：循环群与生成元 循环群是理解所有群结构的基础。本章详细分析由单个元素生成的群的结构，证明所有循环群都同构于 $mathbb{Z}$（整数加法群）或 $mathbb{Z}_n$（模 $n$ 整数加法群）。我们将讲解生成元的性质，以及在一个有限循环群中，子群的个数和结构完全由群的阶数决定。 第四章：陪集、正规子群与商群的构建 这是理解群结构分解的关键一步。我们将系统地介绍左陪集与右陪集，并证明在特定条件下，左右陪集相等，从而引出正规子群的概念。正规子群是构造商群（或称因子群）的必要条件。本章将详述商群的运算定义，并展示商群如何“收缩”原群的结构，形成一个更简洁但仍保留关键信息的代数实体。 第五章：群同态与同构定理 群论的精髓在于比较不同群之间的关系。本章严格定义群同态与同构，并展示同构是数学结构上“相等”的标志。第一同构定理（或称基本同构定理）将被详细阐述和证明，它揭示了群、其正规子群（特别是核）与商群之间的本质联系，是代数结构理论中最为重要的工具之一。 第二部分：环与域的拓展——代数结构的深化 在掌握了群论之后，我们将引入第二个重要的代数结构——环，它在群的基础上加入了第二个运算（通常称为乘法），并赋予了两个运算之间的相互作用关系（分配律）。 第六章：环的定义、基本概念与例子 环的定义包括一个交换群（加法）和一个满足结合律的集合，并通过分配律将两者联系起来。我们将区分交换环与非交换环，带有单位元的环与不带单位元的环。经典例子如整数环 $mathbb{Z}$、多项式环 $F[x]$ 以及矩阵环 $M_n(F)$ 将被深入剖析。 第七章：子环、理想与环同态 类似于群中的子群，我们定义了子环。更关键的是理想的概念，它在环的结构分解中扮演着类似于正规子群的角色。本章将定义环同态，并阐述环的同构定理，特别是关于商环 $ ext{R}/ ext{I}$ 的构造，它允许我们将复杂的环结构分解为更易于理解的部分。 第八章：整环、零因子与域的特例 本章专注于一类特殊的环：整环（Integral Domains）。重点讨论零因子的概念，即非零元素相乘得到零元的现象，并证明域（Field）中的元素均无零因子。域作为一种“完美”的代数结构——其中所有非零元素都存在乘法逆元——的性质将被详细考察。我们将展示 $mathbb{Q}, mathbb{R}, mathbb{C}$ 以及 $mathbb{Z}_p$ (p为素数) 作为域的例子。 第九章：特殊元素与主理想域 我们将介绍环中的重要概念：零因子、幂零元、幂等元。然后转向探讨理想的特殊类型。主理想（由单个元素生成）的概念被引入，并由此定义主理想域（PID）。我们将证明 $mathbb{Z}$ 和 $F[x]$（$F$为域）都是主理想域，揭示了它们在数论和代数几何中的核心地位。 第三部分：深入结构与应用——多项式环与模的视角 本部分将连接前两部分的知识，特别关注多项式环的结构，并简要介绍模的概念，展示代数如何服务于更广阔的数学领域。 第十章：多项式环的结构与唯一分解 我们专注于域 $F$ 上的多项式环 $F[x]$。本章将证明 $F[x]$ 具备欧几里得整环的性质，这意味着可以运用欧几里得算法进行带余除法。基于此，我们将证明 $F[x]$ 具有唯一分解整环（UFD）的性质，即任何多项式都可以唯一地分解为不可约多项式的乘积（类似于整数的素因数分解）。 第十一章：中国剩余定理在环论中的推广 我们将复习整数环 $mathbb{Z}$ 上的中国剩余定理（CRT），然后将其推广到任意环 $R$ 及其理想 $I_1, I_2, ldots, I_k$ 上的情况。本章将展示当理想两两互素时，商环 $R/(I_1 cap I_2 cap cdots cap I_k)$ 同构于各个商环的乘积，这一工具在密码学和编码理论中有重要应用。 第十二章：模——向量空间上的推广 在代数结构的层级上，模是介于环和向量空间之间的一种结构。我们将引入“模”的定义，即在环上的一个阿贝尔群，环的元素通过乘法作用于该群。模论是连接抽象代数与线性代数（向量空间是域上的模）的桥梁。本章将简要介绍模的基本概念，为读者理解更高级的代数分支打下基础。 结语 本书力求在概念的严谨性和几何的直观性之间取得平衡。通过对群、环、域的层层剥茧，读者将不仅仅掌握代数理论，更重要的是培养出一种处理抽象结构、进行逻辑推理的数学思维方式。代数世界广阔无垠，本书提供的工具与视角，将成为您未来探索更复杂数学领域（如代数几何、代数数论）的坚实起点。

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