复变函数与积分变换 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:南开大学出版社

作者:于慎根

出品人:

页数:273

译者:

出版时间:2006-9

价格:20.00元

装帧:简裝本

isbn号码:9787310025817

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《复变函数与积分变换》 引言 数学的宏伟殿堂中，复变函数与积分变换无疑是两座璀璨的宝塔，它们不仅以其深刻的理论内涵拓展了我们对数学世界的理解，更以其强大的应用能力渗透到自然科学、工程技术以及经济金融等诸多领域。这两大数学分支的融合，构成了一套极其优美且富有力量的分析工具，能够有效地解决许多实数域内难以处理的复杂问题。本书正是致力于将这两大核心内容系统地呈现给读者，从基础概念的梳理，到核心定理的推导，再到实际应用的展示，力求为学习者构建一个扎实而完整的知识体系。 第一部分：复变函数论基础 复变函数论是本书的基石，它将我们熟悉的实数域拓展至复数域，由此打开了一个全新的数学天地。 复数与复变函数：我们从复数的几何意义和代数运算出发，循序渐进地介绍复数的基本性质。在此基础上，引入复变函数的概念，包括复变函数的定义、复数域上的集合、区域以及连续性等。读者将理解复数运算的独特性，例如复数的乘法对应于复平面上的旋转与伸缩，这为理解复变函数提供了直观的几何视角。 解析函数与柯西-黎曼方程：解析函数是复变函数论的核心概念。我们将详细阐述解析函数的定义，即在某一点及其邻域内可导的函数。解析函数的存在性与可微性之间存在着深刻的联系，而柯西-黎曼方程（Cauchy-Riemann equations）正是判断一个复变函数是否为解析函数的充要条件。我们将严谨地推导柯西-黎曼方程，并演示如何运用它们来判断函数的解析性。通过解析函数，我们可以引入调和函数（harmonic functions）的概念，它们在物理学中有着广泛的应用，例如稳态热传导、不可压缩流体的流动等。 复变函数的积分：复平面上的积分是复变函数论中一个至关重要的概念。我们首先介绍复路径积分的定义，然后探讨其性质。在此基础上，我们将深入讲解柯西积分定理（Cauchy's Integral Theorem）和柯西积分公式（Cauchy's Integral Formula）。柯西积分定理指出，在单连通区域内，解析函数沿任一闭合路径的积分处处为零。柯西积分公式则进一步揭示了解析函数在区域内部的取值与其边界上的取值之间的深刻关系，它允许我们计算任意阶导数，并由此引出解析函数的幂级数表示。 级数与留数：解析函数的幂级数表示是其最重要的性质之一。我们将讨论收敛性的概念，并介绍泰勒级数（Taylor series）和洛朗级数（Laurent series）。洛朗级数特别之处在于它允许在圆环区域内展开，从而处理非解析点附近的函数行为。接着，我们将引入奇点（singularities）的概念，并对孤立奇点进行分类：可去奇点、极点和本质奇点。留数（residue）的概念是分析奇点行为的关键，它是洛朗级数中负幂项的系数。 留数定理与应用：留数定理是复变函数论中最强大的工具之一。它指出，一个在闭合曲线上解析（除了有限个奇点）的函数的积分，等于 $2pi i$ 乘以该曲线上所有奇点的留数之和。这个定理为计算各种类型的积分，尤其是实积分，提供了极其简洁高效的方法。我们将详细介绍留数定理的证明，并演示它在计算定积分、无穷积分以及其他复杂积分中的应用，这些应用在物理和工程领域具有极大的价值。 第二部分：积分变换 积分变换是将一个函数映射到另一个函数域的数学工具，它们在信号处理、系统分析、微分方程求解等领域扮演着核心角色。 拉普拉斯变换（Laplace Transform）：拉普拉斯变换是将时域函数 $f(t)$ 转换为频域函数 $F(s)$ 的一种积分变换。我们介绍拉普拉斯变换的定义，以及其在处理线性常微分方程和线性时不变系统中的优势。我们将推导一些基本函数（如单位阶跃函数、指数函数、正弦、余弦函数等）的拉普拉斯变换，并介绍拉普拉斯变换的基本性质，如线性性、时移性、频率响应性、卷积定理等。 拉普拉斯逆变换（Inverse Laplace Transform）：掌握了拉普拉斯变换，理解其逆变换同样重要。我们将介绍如何利用拉普拉斯逆变换将频域函数 $F(s)$ 还原为时域函数 $f(t)$。这通常涉及部分分式分解（partial fraction decomposition）和查表法。我们将通过实例演示如何求解复杂的拉普拉斯逆变换。 傅里叶变换（Fourier Transform）：傅里叶变换是另一种重要的积分变换，它将一个函数分解为其不同频率正弦和余弦分量的叠加。我们介绍傅里叶变换的定义，以及它在分析周期信号和非周期信号的频率成分方面的作用。我们将推导一些基本函数的傅里叶变换，并阐述其重要的性质，如线性性、时移性、频率移动性、尺度变换性、卷积定理、帕塞瓦尔定理（Parseval's theorem）等。傅里叶变换是信号分析、图像处理等领域的基础。 傅里叶逆变换（Inverse Fourier Transform）：与拉普拉斯变换类似，傅里叶逆变换允许我们将频率域的表示重新转换回时域。我们将介绍傅里叶逆变换的定义和计算方法，并展示其在信号重建等方面的应用。 傅里叶级数（Fourier Series）：对于周期函数，傅里叶级数提供了一种将其表示为一系列正弦和余弦函数（或复指数函数）叠加的方法。我们将介绍傅里叶级数的概念、收敛性以及如何计算傅里叶级数的系数。傅里叶级数是理解傅里叶变换的基础，也广泛应用于分析周期性现象。 第三部分：复变函数与积分变换的融合应用 本书的第三部分将重点展示复变函数论和积分变换如何协同工作，解决更复杂的问题，尤其是在实际应用层面。 利用留数定理计算积分变换：我们将深入探讨如何巧妙地运用留数定理来计算拉普拉斯变换和傅里叶变换的逆变换。通过将积分变换的逆变换问题转化为复平面上的积分问题，我们可以借助留数定理的强大威力，高效地求解许多原本棘手的积分。例如，求解某些复杂有理函数的拉普拉斯逆变换，或者计算某些傅里叶积分，都能够通过留数定理得到简洁的解析解。 求解微分方程与积分方程：积分变换，特别是拉普拉斯变换，是求解线性常微分方程和偏微分方程的强大工具。通过将微分方程转换为代数方程，我们可以更容易地求解。同样，积分方程也可以通过适当的积分变换转化为代数方程。本书将详细演示这一过程，并通过具体的例子说明其优越性。 在工程领域的应用：复变函数与积分变换在电子工程（如电路分析、滤波器设计）、控制工程（如系统稳定性分析、传递函数）、通信工程（如信号调制与解调）、流体力学、弹性力学等众多工程领域有着极其广泛的应用。我们将精选一些典型的工程问题，展示如何运用本书所学的理论工具进行分析和求解，帮助读者理解数学知识的实践价值。 结语 《复变函数与积分变换》旨在为读者提供一个全面、深入的学习体验。我们不仅关注理论的严谨性，更注重数学思想的启发性和应用性。通过系统学习本书，读者将不仅掌握一套强大的数学分析工具，更将培养出一种从更广阔的视角审视和解决问题的能力。希望本书能成为您在数学探索之旅中的得力助手，开启您对更深层次数学知识的理解与应用。

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这本书的封面设计挺有意思的，采用了那种深沉的蓝色调，让人联想到宇宙深邃的奥秘。拿到手里的时候，感觉纸张的质感很不错，不是那种廉价的纸张，阅读起来也比较舒服，长时间盯着看眼睛也不会太累。我最开始翻阅的时候，主要是被里面的插图吸引了。那些几何图形的展示，特别是那些曲线和曲面的绘制，非常清晰，感觉作者在排版和制图上花了不少心思。虽然我个人对这方面的理解还比较初级，但光是这些直观的视觉呈现，就让我对书中的概念有了初步的感知。我记得有几页专门讲了某个定理的几何意义，配的图示简直是神来之笔，一下子就把抽象的数学概念给“翻译”成了我们能看懂的画面。不过，说实话，有些章节的推导过程稍微有点跳跃，对于我这种基础不太扎实的读者来说，理解起来还是需要多花点功夫去琢磨，可能需要结合课本或者网络资源来辅助学习。但总的来说，作为一本入门级的参考书，它的视觉效果和整体装帧是很值得称赞的。

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这本书的编排结构，给我的感觉是**“由浅入深，层层递进”**，但其中的“浅”也是有一定深度的。它没有花大量篇幅去铺陈过于基础的微积分知识，而是直接切入了核心主题。我注意到作者在引入新概念时，总是会先从一些我们熟悉的实际问题或者简单的函数模型入手，建立起直观的认识，然后迅速过渡到严格的数学表达。这种处理方式非常高效，节省了时间，让读者能更快地进入到专业领域的核心。不过，对于那种完全没有接触过高等数学，或者数学基础非常薄弱的读者来说，可能需要在阅读过程中频繁地翻阅其他基础教材来查漏补缺。个人建议，这本书更适合作为专业课程的教材或者进阶学习的参考书，而不是作为零基础的自学读物。它的目录设计也很清晰，章节之间的逻辑衔接非常流畅，基本上不需要费力去猜测作者的意图。

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我不得不提一下这本书的习题设置，这简直是检验学习效果的“照妖镜”。习题的难度分布很合理，从基础的巩固练习到后面那些看起来让人望而生畏的综合大题，层次感非常分明。我特别喜欢它在每个章节末尾设置的“思考题”，这些题目往往不是直接套用公式就能解决的，而是需要你结合本章和前几章的内容进行灵活应用和创新性地推理。我记得有一次，我被一道证明题卡住了整整一个下午，后来对照参考答案（如果附带的话，这本书似乎没有给详细解答，这倒是有点遗憾），才发现自己遗漏了一个关键的边界条件的处理。这种“受挫”的过程虽然痛苦，但最终攻克难题时的成就感是无与伦比的，它真正锻炼了我们解决问题的能力，而不仅仅是会做题。如果这本书能配备一套详尽的解析，那就太完美了，这样可以帮助那些自学者更好地理解解题思路。

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我注意到这本书在细节处理上体现了作者深厚的学术功底，尤其是在对一些经典定理的阐述和历史背景的交代上。比如在介绍某个重要变换时，它会简要提及该方法最初是如何被提出，以及它在物理学或工程学中的早期应用。这种“知其然，更知其所以然”的叙述方式，极大地提升了阅读的趣味性，让枯燥的数学理论仿佛拥有了生命和历史的厚重感。它不仅仅是知识的堆砌，更像是一部关于数学思想演变的微型史诗。我尤其喜欢其中关于某些特殊函数性质的讨论，作者不仅仅罗列了性质，还深入剖析了这些性质背后的深层原因，让读者体会到数学的美感和统一性。总而言之，这是一本能让你在学习过程中，不断停下来思考“为什么”的书，而不是只满足于“是什么”的工具书。读完后，我对这门学科的敬畏之情又加深了一层。

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这本书的语言风格非常严谨，简直像一位经验老道的教授在跟你面对面讲解。它不会刻意用那种“口语化”的表达来降低难度，而是坚持用最精确的数学术语来构建知识体系。我特别欣赏作者在定义和定理陈述上的那种一丝不苟，每一个符号的使用都恰到好处，没有模棱两可的地方。读到后面，你会发现作者的逻辑链条构建得异常紧密，前一个章节的结论会无缝地衔接到下一个章节的引理中，让人有一种“原来如此”的豁然开朗感。当然，这种深度和精确性也带来了一个挑战，那就是初次阅读的门槛相对较高。我尝试着去跳跃式阅读一些更深入的证明，发现如果前面的基础没有打牢，后面真的寸步难行。这本书更像是为你准备了一份精美的蓝图，但你需要自己动手去一块砖一块砖地砌起大厦。对于那些追求学术深度和严密性的读者来说，这无疑是一本不可多得的宝藏，它强迫你进行深度思考，而不是浮于表面地记忆公式。

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