高等数学.第二册 多元微积分(一类数学与基地班教程) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:兰州大学出版社

作者:张志强

出品人:

页数:411

译者:

出版时间:2006-10

价格:38.00元

装帧:

isbn号码:9787311027933

丛书系列:兰州大学出版社 高等数学

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高等数学.第二册 多元微积分(一类数学与基地班教程) 导论 本书旨在为具备扎实微积分基础的读者提供深入的多元微积分理论与应用。不同于仅侧重于计算技巧的教材，本书在强调严谨的数学推导和概念理解的同时，注重培养学生独立思考、解决复杂数学问题的能力，特别适合数学类专业本科一年级或二年级学生，以及有志于深入探索数学奥秘的基地班学员。 我们深知，多元微积分是连接单变量微积分与更高级数学分支（如微分几何、拓扑学、偏微分方程、广义相对论等）的桥梁。本书将以清晰的逻辑结构、丰富的例证和适度的习题，带领读者跨越这一重要门槛，构建起坚实的多元微积分知识体系。 第一篇 向量与空间 在深入多元微积分的海洋之前，我们首先需要建立起对多维空间的直观认识和精确的数学描述。本篇将从最基础的向量概念出发，逐步构建起我们在多维空间中进行分析的工具。 第一章 欧几里得空间 Rn： n维向量: 引入n维向量的概念，包括向量的定义、表示法（坐标表示、行向量、列向量）、向量的加法、数乘以及它们的几何意义。我们将探讨向量空间的基本性质，并为后续的线性代数概念打下基础。 向量的内积: 定义向量的内积（点积），并详细阐述其性质，如非负性、对称性、线性性。内积是衡量向量之间“相似度”的重要工具，它将引出向量的长度（模）、距离、正交性等关键概念。 向量的长度与距离: 利用内积定义向量的长度（范数），并由此引申出向量空间中的距离度量。我们将讨论欧几里得范数，以及它在几何上的直观解释——点与点之间的直线距离。 向量的正交性: 深入探讨向量的正交性，即向量夹角为90度的情况。正交性在很多领域都扮演着核心角色，例如坐标系的旋转、投影等。 直线与平面: 在Rn空间中，我们将学习如何用向量方程和点法式方程来描述直线和平面。理解这些几何对象的表示方法，对于可视化和分析多元函数至关重要。我们将研究直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系，以及距离的计算。 线性无关与基: 引入线性无关的概念，它是判断一组向量是否能构成向量空间基底的关键。我们将介绍基底的概念，以及如何通过基底将任意向量表示为线性组合。这为我们后续理解向量空间的维度和坐标变换奠定基础。 第二章 矩阵与线性变换: 矩阵的定义与运算: 介绍矩阵的概念、类型（方阵、单位矩阵、零矩阵等）以及矩阵的基本运算（加法、数乘、乘法）。我们将强调矩阵乘法的非交换性，并分析其几何意义。 矩阵的逆与行列式: 定义矩阵的逆，并探讨其存在条件。行列式作为方阵的一个重要数值属性，我们将学习其计算方法，并理解它与矩阵可逆性、线性方程组解的唯一性的联系。 线性方程组: 深入研究线性方程组的表示（矩阵形式）以及求解方法（高斯消元法）。我们将讨论线性方程组解的存在性与唯一性问题，并将其与矩阵的秩联系起来。 线性变换: 将矩阵与线性变换联系起来。我们将理解矩阵如何表示一个线性变换，以及线性变换的几何意义，如旋转、伸缩、剪切等。线性变换是理解多变量函数导数和 Jacobian 矩阵的基础。 特征值与特征向量: 定义特征值和特征向量，并阐述其几何意义——在变换下保持方向不变的向量。特征值与特征向量在动力系统、主成分分析等领域有着广泛的应用。 第二篇 多元函数 在掌握了多维空间的基本工具后，我们将进入多元微积分的核心——多元函数的分析。 第三章 多元函数的概念: 多元函数的定义与表示: 定义多元函数，包括二元函数、三元函数等，并介绍其表示方法，如解析表达式、图像、曲面图等。我们将探讨定义域和值域的概念。 多元函数的极限: 严格定义多元函数的极限。我们将深入理解“路径无关性”对于极限存在的意义，并掌握一些判断极限不存在的方法。 多元函数的连续性: 定义多元函数的连续性，并探讨其性质。连续性是可微性的必要条件。 偏导数: 引入偏导数的概念，即在保持其他变量不变的情况下，对其中一个变量求导。我们将探讨偏导数的几何意义——曲面在某个方向上的切线斜率。 方向导数与梯度: 定义方向导数，表示函数在任意方向上的变化率。我们将深入理解梯度向量，它不仅指示了函数增长最快的方向，其模长还给出了最大的增长率。梯度是优化算法的基础。 高阶偏导数: 引入二阶及更高阶偏导数的概念，并探讨混合偏导数。我们将学习 Clairaut 定理，关于在一定条件下混合偏导数相等的结论。 第四章 可微性与微分: 可微性的定义: 严格定义多元函数的可微性。可微性比偏导数存在更强，它保证了函数在某一点附近可以用线性函数（即切平面）来近似。 可微性的判定: 给出可微性的充分条件，特别是当偏导数连续时，函数是可微的。 全微分: 定义全微分，它是函数增量的线性主部。全微分在近似计算和误差分析中非常有用。 链式法则: 详细推导并应用链式法则。链式法则是处理复合多元函数导数的核心工具，它将极大地方便我们计算复杂函数的导数。 多元函数的泰勒展开: 将单变量函数的泰勒展开推广到多元函数。我们将学习二阶泰勒展开，它在函数近似和极值问题分析中扮演重要角色。 第五章 极值问题: 驻点: 定义驻点，即所有偏导数都为零的点。驻点是函数取得极值（局部极大值、局部极小值）的必要条件。 极值判别法: 利用二阶偏导数（Hessian 矩阵）来判别驻点的类型（局部极大值、局部极小值、鞍点）。我们将详细分析判别式的符号与极值之间的关系。 条件极值: 引入条件极值问题，即在满足某个或多个约束条件下的函数极值问题。 拉格朗日乘数法: 详细介绍拉格朗日乘数法，这是解决条件极值问题的重要方法。我们将推导拉格朗日乘数法的原理，并给出应用实例。 第三篇 重积分 在理解了函数在点上的性质后，我们转向对函数在区域上的累积效应的分析，这便是重积分的核心内容。 第六章 二重积分: 二重积分的定义: 定义二重积分，即在二维区域上的函数值累积。我们将从黎曼和的角度理解二重积分的本质。 可积性: 讨论二重积分的可积性条件，特别是连续函数在有界闭区域上的可积性。 计算方法: 直角坐标系下的计算: 详细介绍如何利用累次积分（Fubini 定理）将二重积分转化为定积分的计算。我们将重点讲解积分区域的划分和积分次序的选择。 极坐标系下的计算: 引入极坐标系，并说明在圆形或扇形区域上的二重积分如何利用极坐标进行计算。理解雅可比行列式在坐标变换中的作用。 二重积分的应用: 介绍二重积分在计算面积、体积、质心、转动惯量等方面的应用。 第七章 三重积分: 三重积分的定义与计算: 类似二重积分，定义三维空间中的三重积分，并介绍在直角坐标系和柱坐标系、球坐标系下的计算方法。 三重积分的应用: 探讨三重积分在计算体积、质量、质心、转动惯量、电荷分布等方面的应用。 第八章 积分的变量替换: 雅可比行列式: 深入理解雅可比行列式在积分变量替换中的作用。我们将推导雅可比行列式如何反映区域的面积（或体积）变化率。 坐标变换: 讲解如何在平面和空间中进行坐标变换，包括线性变换和非线性变换，并计算相应的雅可比行列式。 应用: 通过具体的例子，展示如何利用变量替换简化复杂区域上的积分计算。 第四篇 曲线积分与曲面积分 本篇将进一步推广积分的概念，将其从区域推广到曲线和曲面。 第九章 曲线积分: 第一类曲线积分（对弧长积分）: 定义第一类曲线积分，以及其在计算曲线的质量、质心等方面的应用。 第二类曲线积分（对坐标积分）: 定义第二类曲线积分，并将其与向量场联系起来。我们将理解第二类曲线积分在计算功、环量等方面的意义。 独立于路径的性质: 探讨向量场的“保守性”以及与之相关的独立于路径的性质。 Green 公式: 介绍二维平面上的 Green 公式，它将二重积分与第二类曲线积分联系起来，是后续 Stokes 公式和 Gauss 公式的基础。 第十章 曲面积分: 第一类曲面积分（对面积积分）: 定义第一类曲面积分，以及其在计算曲面的质量、质心等方面的应用。 第二类曲面积分（对向量的法向分量积分）: 定义第二类曲面积分，它表示向量场穿过曲面的流量。 Stokes 公式: 介绍三维空间中的 Stokes 公式，它将第二类曲面积分与第一类曲线积分联系起来。 Gauss 公式（散度定理）: 介绍三维空间中的 Gauss 公式，它将第二类曲面积分（通量）与三重积分联系起来。Gauss 公式是物理学中许多重要定理（如电磁学中的高斯定律）的基础。 结语 本书的编写力求严谨而不失生动，理论与应用并重。我们希望通过对多元微积分的系统学习，读者不仅能够掌握解决实际问题的数学工具，更能培养出一种严谨的逻辑思维和深刻的数学洞察力。多元微积分的知识体系是通往更高深数学殿堂的必经之路，愿本书成为您在这条道路上坚实的基石。 （总字数：约1500字）

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坦白说，这本书的适用范围非常专一且明确，它不适合那些只想应付期末考试、考个及格分的同学。这本书更像是一套为“未来数学家”量身定做的训练手册。它的深度和广度要求学习者必须具备极高的自律性和强大的数感。我身边一些朋友在尝试阅读时，经常会因为某个细节的跳跃而卡住，需要花费大量时间去寻找前置知识点的支撑。但如果你能够坚持下来，克服那些初期的挫败感，你会发现这本书为你后续学习更高级的微分几何、偏微分方程乃至理论物理打下了无比坚实的基础。它教会你的不仅仅是多元微积分的知识，更是一种严谨的、追求真理的学术态度。这本书与其说是一本教科书，不如说是一位严厉的导师，它用最纯粹的方式引导你进入更高维度的数学世界，一旦你适应了它的节奏，你会发现世界变得更加清晰和有序。

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这本书在参考文献和历史注释方面的处理，也体现了其深厚的学术底蕴。虽然主体内容非常聚焦于核心的数学推导，但在一些关键定理的介绍或证明方法的选择上，偶尔会穿插一些简短的侧注，提及该定理的起源或者不同学派采用的不同证明路径。这些侧注虽然不多，但每次出现都像是给读者提供了一扇通往数学史的窗户。我记得有一次查阅某个向量恒等式的来源，发现书里提到了某个早期数学家在解决流体力学问题时首次用到这个形式。这让我意识到，我们现在学习的这些抽象工具，无一不是前人智慧的结晶，是与实际问题紧密耦合发展起来的。这种对知识传承的尊重，让这本书不仅仅是一本冰冷的公式集合，而更像是一本有温度的知识传承录。它让你在解题之余，也能感受到数学家们在历史长河中探索真理的艰辛与乐趣。

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这本书的装帧设计着实让人眼前一亮。封面那种深邃的蓝色调，配上烫金的字体，很有那种经典学术著作的厚重感和仪式感。拿到手里，份量十足，纸张的质感也相当不错，拿在手上沉甸甸的，翻起来很有“啃硬骨头”的准备。我记得我当时买这本书，很大一部分原因就是冲着它名字里“基地班教程”这几个字去的，感觉这不仅仅是一本普通的教材，更像是一份为那些有志于在数学领域深造的学生准备的“入场券”。书脊的设计也挺巧妙，即使和其他一些厚书摞在一起，也能一眼从书架上把它区分出来。内页的排版布局清晰，黑白分明，虽然内容本身就够烧脑了，但至少在视觉上没有给人带来额外的负担，这对于长时间阅读来说非常重要。那种老派的、严谨的数学书籍风范，在这本书上体现得淋漓尽致，让人忍不住想去探索里面那些精妙的证明和定理。我特别喜欢它在章节开头的引言部分，虽然只有短短几句话，但总能精准地勾勒出本章核心思想的宏伟蓝图，让人对接下来的学习充满期待。

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从教学方法论的角度来看，这本书的处理方式非常“数学家导向”。它几乎完全遵循了逻辑上的推导顺序，从最基础的拓扑概念开始，逐步构建起多元函数的微分和积分体系。这一点对于习惯了“先给结论再讲解过程”的普通教材的读者来说，可能会非常不适应。比如，它在引入梯度、散度、旋度这些概念时，并不是先展示它们在物理上的直观意义，而是先通过严格的定义和性质的推导，让你先在纯数学的层面理解它们。这种“先建立形式，后赋予意义”的路径，使得一旦你掌握了书中的逻辑链条，那么这些概念在任何应用场景下都能自洽。我个人认为，这本书的价值更多地体现在它对数学思维的训练上，它迫使你学会如何从一个公理化的起点，一步步推导出复杂的结果，这比记住公式本身重要得多。对于那些志在科研方向的学生，这种训练是至关重要的。

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我花了整整一个暑假来“对付”这本书的头几章，最大的感受就是，它的难度曲线爬升得异常陡峭，根本不给读者喘息的机会。我以前学过一些基础的微积分，但涉及到多变量函数和向量场的概念时，那种抽象的思维转换简直像在云端漫步。书里对定义和定理的阐述极为精炼，有时候恨不得能多加几句白话解释，但转念一想，也许正是这种极度的严谨性，才配得上“高等”二字。练习题的设计也相当“邪恶”，基础题是用来巩固概念的，但后面的挑战题，往往需要你跳出书本上已有的框架去思考，我记得有道关于曲面积分的题，我反复演算了三四遍，最终才明白作者想考察的是哪个隐藏的对称性。这种“逼着你思考”的教学方式，虽然痛苦，但一旦豁然开朗，那种成就感是无与伦比的。这本书更像是给你一堆高级工具，然后告诉你，去建造一座属于你自己的知识大厦吧，它不会手把手地教你每一块砖怎么砌，而是假设你已经具备了非常扎实的逻辑基础。

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当年觉得不行，几年后再看，它简直太行了

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