Continued Fractions pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:A. Ya. Khinchin

出品人:

页数:106

译者:

出版时间:1997-5-14

价格:GBP 9.99

装帧:Paperback

isbn号码:9780486696300

丛书系列:

图书标签:

• NumberTheory
• Mathematics
• Continued Fractions
• Number Theory
• Mathematical Analysis
• Diophantine Equations
• Algorithms
• Approximation
• Rational Numbers
• Real Numbers
• Mathematical Functions
• Series

《连分数》 一、 探索数学的无限维度：连分数之旅 想象一下，我们试图用最简洁、最精准的方式来描绘一个难以捉摸的数。它们可能是无理数，小数点后无限延伸，无法用有限的分数表示；也可能是那些在理论物理、天文学计算中扮演关键角色的复杂数值。这时，一种古老而优雅的数学工具便应运而生，它就是连分数。 《连分数》这本书，将带领读者踏上一段穿越数学奇妙世界的旅程，深入探索连分数的奥秘。它并非仅仅停留在枯燥的公式推导，而是试图揭示连分数在数学各个分支，乃至在现实世界中无处不在的深刻联系。 二、 连分数的优雅结构：简单之中的无限智慧 连分数，顾名思义，是将一个数表示为一系列整数的嵌套分数。它的结构看似简单，却蕴含着无穷的智慧。一个典型的连分数可以写成如下形式： $$ a_0 + frac{1}{a_1 + frac{1}{a_2 + frac{1}{a_3 + dots}}} $$ 其中，$a_0$ 是一个整数，而 $a_1, a_2, a_3, dots$ 是一系列正整数。这个无穷的嵌套结构，如同俄罗斯套娃一般，层层递进，最终精确地“捕捉”住了原始数字的本质。 本书将详细解析连分数的构造方法，从最基础的定义出发，引导读者理解如何将一个实数，无论是著名的 $pi$、$sqrt{2}$，还是更为抽象的代数数，转化为其独特的连分数表示。我们将一同探索： 有理数的连分数表示： 读者将看到，任何有理数都可以用有限的连分数表示，这与它们可以用有限小数或循环小数表示的性质相呼应，展现了连分数在有理数世界中的简洁性。 无理数的连分数表示： 对于无理数，连分数将是无限的。本书将深入探讨，哪些无理数拥有“简单”的连分数表示，例如二次域中的一些数，它们的连分数周期性地重复，揭示了数论中深刻的结构。 特殊常数的连分数： 我们将计算并分析一些数学上重要的常数，如自然对数的底 $e$、黄金分割率 $phi$ 的连分数表示。读者会惊叹于这些看似“自然”的数，其连分数展开所展现出的规律性和简洁性。 三、 连分数的强大应用：理论与实践的桥梁 连分数的魅力远不止于其数学美感，它更是一种极其强大的计算工具和理论基石。本书将深入探讨连分数在以下多个领域的广泛应用： 最佳有理逼近： 连分数的“渐近分数”提供了对原始数最“经济”的有理逼近。这意味着，在分母大小相同的条件下，渐近分数是所有有理数中最接近原始数的。这一特性在需要用有限精度表示无限小数时至关重要，例如在工程计算、信号处理以及计算机图形学中。我们将通过具体的例子，展示如何利用连分数找到最佳的有理近似值，并理解其背后深刻的数学原理。 丢番图方程的求解： 丢番图方程是研究整数解的方程。许多复杂的丢番图方程，特别是佩尔方程（Pell's Equation）的求解，都与连分数有着密不可分的联系。本书将阐述连分数如何为求解这些古老而重要的方程提供系统性的方法，帮助读者理解如何通过连分数找到佩尔方程的无穷多组整数解。 数论的基石： 连分数在数论中扮演着核心角色。它不仅是理解二次域、代数整数等概念的有力工具，还与素数分布、模算术等问题有着意想不到的联系。我们将探讨连分数如何帮助我们理解数的结构，揭示数论中更深层次的规律。 天文学与物理学中的应用： 历史上，连分数曾被用来计算行星轨道、近似天文常数。在现代科学中，它依然在轨道力学、量子力学以及统计物理等领域发挥着作用。本书将介绍一些历史上的经典案例，并展望连分数在现代科学研究中的新应用，让读者感受到数学工具的强大生命力。 四、 学习连分数：从入门到精通的路径 《连分数》这本书的设计，旨在服务于不同数学背景的读者。 对于初学者： 我们将从最基本的概念讲起，避免使用过于复杂的术语。通过大量直观的例子和图示，帮助读者建立对连分数的初步认识。学习过程将是循序渐进的，逐步引入更深入的概念和技巧。 对于有一定数学基础的读者： 本书将提供更严谨的数学论证和更深入的理论探讨。读者将有机会深入理解连分数背后隐藏的深刻数学原理，并探索其与代数、几何、分析等其他数学分支的联系。 对于研究者和爱好者： 书中将包含一些前沿的研究方向和开放性问题，激发读者的探索欲望。同时，我们将提供丰富的参考文献，方便读者进一步深入研究。 本书的内容安排，将遵循逻辑清晰、层层递进的原则： 1. 连分数的定义与基本性质： 详细介绍连分数的构造、收敛性，以及不同类型数（有理数、无理数）的连分数展开。 2. 渐近分数与最佳逼近： 深入分析渐近分数的重要性，以及它们如何提供对数的最佳有理逼近。 3. 与数论的联系： 探讨连分数在二次域、佩尔方程、不定方程等数论问题中的应用。 4. 特殊函数的连分数： 介绍一些特殊函数（如指数函数、三角函数）的连分数展开，以及它们在数值计算中的意义。 5. 历史与现代应用： 回顾连分数的历史发展，并介绍其在现代科学技术中的最新应用。 五、 连分数：不止于数学 《连分数》所描绘的世界，不仅仅是抽象的符号和公式，它更是关于如何用最简洁、最优雅的方式理解和描述世界的思维方式。连分数教会我们，在看似复杂的信息洪流中，如何提炼出本质；在无限的可能性中，如何找到最优的解决方案。 本书将激发读者对数学之美的感知，培养严谨的逻辑思维，并拓展解决问题的视野。无论您是怀揣对数学的好奇，还是寻求解决实际问题的工具，亦或是希望在理论的海洋中探索更深的奥秘，《连分数》都将是您不可或缺的良师益友。 让我们一起，在这条由整数构成的无限阶梯上，探索数学的无限可能，领略连分数那令人惊叹的优雅与力量。

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最让我感到惊喜的是，作者对于连分数在代数数论中的一些前沿应用的探讨，虽然只是蜻蜓点水，但足以勾起读者的求知欲。它没有深入到令人望而却步的细节中去，而是巧妙地搭建了一个宏观的框架，让我得以窥见这个领域深邃的全貌。比如，书中关于丢番图方程解法与连分数展开式的关联性描述，虽然我还需要查阅一些辅助资料才能完全理解其背后的深层含义，但作者设定的提问和留白，反而成了驱动我继续学习的强大动力。这本书的价值，可能并不在于提供所有问题的终极答案，而在于它像一个优秀的向导，指引着我们去探索更广阔的数学山脉。书中的插图和图示，虽然数量不多，但每一个都精准地服务于文字的阐述，没有一丝多余的装饰，这体现了一种极高的学术克制和对读者的尊重。

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这本书的封面设计，初看之下，就散发出一种沉稳而又深邃的气息。那种亚麻质感的纸张，触感温润，仿佛预示着其中蕴含的知识并非浮光掠影，而是需要耐心细细品味的。我原本以为这会是一本晦涩难懂的数学专著，毕竟“连分数”这个主题听起来就有点令人望而生畏。然而，翻开扉页后，我立刻被作者行文的流畅性所吸引。它没有那种刻板的教科书腔调，更像是某位博学的老朋友在茶余饭后，用一种极其清晰且富有启发性的方式，为你娓娓道来那些复杂的概念。每一个定理的引入，都伴随着恰到好处的历史背景或实际应用的小故事，使得那些抽象的符号似乎都有了鲜活的生命力。特别是关于如何用连分数来逼近无理数的部分，作者的阐述简直是化繁为简的大师手笔，让我这个在大学里与微积分搏斗多年的人，竟然对这个领域产生了浓厚的兴趣。不得不说，光是这份引导入门的功力，就值得称赞。

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初次接触这类书籍，我最担心的就是作者会陷入一种“自说自话”的泥潭，即只顾着展示自己的知识体系，却忽略了读者的认知起点。但在这本书中，作者展现了罕见的同理心。例如，在引入收敛速度的概念时，他用了好几页篇幅去对比几种不同类型的分数序列的收敛效率，这种对比分析的手法，非常直观地帮助我理解了为什么连分数在某些情况下比泰勒级数展开更为高效。而且，作者在行文中偶尔会穿插一些幽默且富有洞察力的评论，使得整体氛围轻松而不失严谨。这使得阅读过程变成了一种智力上的享受，而不是一项艰巨的任务。我甚至发现，很多我曾经困惑的数论概念，因为在这个框架下被重新审视，忽然间茅塞顿开。

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这本书的结构安排，简直可以作为优秀学术写作的范本。它并非简单地堆砌知识点，而是构建了一个清晰的知识金字塔。从基础的定义和简单的例子开始，层层递进，最终引向更复杂的分数展开理论。让我印象深刻的是，作者对“周期性连分数”的讨论，那是整本书的高潮部分之一。他不仅仅是给出了周期性的证明，更是深入挖掘了这种周期性与二次域之间的内在联系，那种数学结构的美感，让人心驰神往。读完后，我感觉到自己对“结构”和“对称性”在数学世界中的重要性有了更深层次的理解。这本书就像一块经过精心打磨的宝石，每一个切面都闪烁着智慧的光芒，非常值得那些对数论、逼近论或者纯粹数学美感有追求的读者珍藏。

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我花了整整一个周末的时间，沉浸在这本书的文字世界里，尤其关注了其中关于数论应用的部分。让我印象最为深刻的是，作者对“最佳有理近似”的论述，简直是精妙绝伦。书中关于如何通过逐步迭代的方式，构建出越来越精确的逼近值，描述得细致入微，每一个步骤的逻辑推导都像是一条清晰的河流，自然而然地导向最终的结论。我记得有一个小节，专门探讨了某些古老文明如何依赖于对 $pi$ 或黄金分割的近似计算来指导他们的建筑和历法制定，这让我意识到，连分数绝不仅仅是纸面上的数学游戏，它深深植根于人类对自然规律的早期探索之中。这本书的排版也十分考究，公式的间距和符号的清晰度，极大地减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳。相比我以前读过的那些充斥着密密麻麻黑白文字的学术书籍，这本书在阅读体验上的优化，绝对是顶级的。

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