具体描述
Geometers value basic results as much as they do the methods of projective and non-Euclidean geometry. This book emphasizes that fact, taking a non-traditional approach. Topics include the projective plane, polarities and conic sections, affine geometry, projective metrics, and non-Euclidean and spatial geometry. Includes numerous figures. 1953 edition.
《Projective Geometry and Projective Metrics》导读：跨越视角的几何学与度量 本书旨在为读者提供一个全面而深入的几何学领域探索之旅，其核心聚焦于射影几何（Projective Geometry）的深刻理论基础及其在不同度量体系下的应用。我们所处的空间感知，从欧几里得几何的直观平直性，到更广阔的、处理无穷远概念的射影世界，需要一套精密的数学语言来描述。本书正是构建了这样一座桥梁，连接了抽象的线性代数结构与我们对现实几何形态的理解。 第一部分：射影空间的基础构造与代数表述 本书的开篇部分，将彻底梳理射影几何的哲学基石与代数构建。我们不再满足于传统的点、线、面概念，而是引入了更高维度的视角。 1. 从仿射到射影：完备化的必要性 传统的欧几里得空间（或更广义的仿射空间）在处理平行线相交于无穷远点这一概念时显得捉襟见肘。本书首先系统地阐述了如何通过引入“无穷远线”（Line at Infinity）或“无穷远平面”（Plane at Infinity）来“补全”仿射空间，从而构建出射影空间 $mathbb{P}^n$。我们将详细考察这种完备化过程的严谨性，并展示如何利用齐次坐标（Homogeneous Coordinates）来统一表示有限点和无穷远点。齐次坐标 $(x_0: x_1: dots : x_n)$ 与欧几里得坐标 $(x_1/x_0 : dots : x_n/x_0)$ 之间的对应关系，是理解射影变换的基础。 2. 射影空间上的基本元素与关系 在射影空间中，点、线、平面的定义不再依赖于距离或角度，而是完全基于线性代数中的子空间概念。 点与线（在 $mathbb{P}^2$ 中）： $mathbb{P}^2$ 中的一个点对应于 $mathbb{R}^3$ 中原点出发的一条穿过该点的射线，即一个一维子空间。一条直线则对应于一个二维子空间（平面）。我们深入探讨了“对偶性原理”（Principle of Duality），即任何关于点和线的定理，通过互换“点”与“线”的描述，都能得到一个等价的定理。这种内在的对称性是射影几何最优雅的特征之一。 高维嵌入： 理论自然推广到 $mathbb{P}^n$ 中，点是 $(n+1)$ 维向量空间 $mathbb{R}^{n+1}$ 的一维子空间，超平面（Hyperplane）是二维子空间。本书将详细分析子空间之间的交点和跨越空间的操作。 3. 射影变换：保持不变性的映射 射影几何的核心在于研究在射影变换下保持不变的几何性质。射影变换，或称非奇异射影映射，由一个 $(n+1) imes (n+1)$ 的可逆矩阵 $T$ 定义。 矩阵的性质： 我们将探究这些变换如何作用于齐次坐标，以及不同类型的变换（如平移、旋转、缩放、透视投影）如何统一于 $ ext{PGL}(n+1)$ 群之下。 不变量： 区分射影几何与仿射几何的关键在于寻找射影不变量。本书将重点介绍“交比”（Cross-Ratio）这一最核心的射影不变量，并展示它在四点共线时的定义和计算方法，及其在不同参考系下的保持不变性。 第二部分：射影几何中的度量引入——从二次型到射影度量 射影几何本身是无度量的，它只关心连通性和交比。然而，当我们需要讨论“形状”或“曲率”时，就必须引入某种形式的度量。本书的后半部分致力于系统地将度量概念重新嵌入到射影框架内。 1. 射影几何中的二次型与极性 在射影空间中，我们引入二次型（Quadratic Form）来定义一个“相对的”度量结构。一个非奇异的二次型 $Q(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$（其中 $A$ 是对称矩阵）可以定义空间中的一个“绝对二次曲线”（Absolute Conic） $mathcal{C}$。 绝对二次曲线 $mathcal{C}$： 在欧几里得几何中，这个概念对应于“无穷远处的圆点”（Circle Points at Infinity）。在 $mathbb{P}^2$ 中，它是一个二次曲线，其内部的点可以被认为是“虚圆点”。 极点与极线： 绝对二次曲线 $mathcal{C}$ 诱导了一种极性关系。给定空间中一个点 $mathbf{x}$，其对应的极线 $mathbf{x}^$ 由关系 $mathbf{x}^ sim A mathbf{x}$ 定义。这种关系定义了点与线之间的对偶联系，是理解后续度量结构的基础。 2. 射影度量：内在的视角 射影度量（Projective Metric）并非是像欧几里得度量那样直接测量长度或角度，而是通过对绝对二次曲线进行“局部化”处理，来定义一种关于相对关系的度量。 度量作为配对： 射影度量本质上是定义在点与线之间的一种“对称性”结构，通过二次型 $Q$ 来衡量点与其极线之间的关系。我们将探讨如何利用二次型的特征值来分析绝对二次曲线的性质。 3. 欧几里得几何的射影恢复 本书将展示，欧几里得几何的内在度量，是如何作为射影几何的一个特殊、受限的例子出现的。 复数域上的处理： 在复射影平面 $mathbb{CP}^2$ 中，欧几里得度量结构（通过复圆点 $I$ 和 $J$ 定义）可以被编码为一个特定的二次型 $A_E$。 分离欧几里得与仿射结构： 通过分析二次型 $A$ 的惯性指数（Sylvester's Law of Inertia），我们可以区分出哪些射影变换保留了欧几里得结构（即旋转和平移），哪些则只保留了更弱的仿射结构。例如，只有当绝对二次曲线 $mathcal{C}$ 是实二次曲线时，我们才能在其上定义欧几里得距离。 第三部分：应用与展望 本书最后部分将这些理论工具应用于更广泛的几何和应用领域。 1. 视角变换与平面图示 射影几何是透视画法的数学基础。我们将分析单应性（Homography）如何将三维空间中的物体准确地投影到一个二维平面上，并阐述相机模型（Camera Model）在射影几何框架下的严格定义。理解交比不变性，是解决“给定三点，如何找到第四点在同一透视变换下的像”这类问题的关键。 2. 非欧几何的视角 我们还将简要触及非欧几何（如双曲几何）与射影几何的交叉点。双曲空间可以通过在射影空间 $mathbb{P}^2$ 中定义一个界限二次曲线（Boundary Conic）来构造。该界限曲线内部的点对应于双曲空间中的有限点，而界限本身则充当了无穷远边界。通过这种方式，射影几何提供了一个统一的框架来描述欧几里得、椭圆和双曲几何。 总结 《Projective Geometry and Projective Metrics》是一部旨在超越基础几何直觉的著作。它要求读者掌握扎实的线性代数知识，并引导读者理解：几何形状的本质属性，并非源于尺子和量角器，而是根植于空间本身的代数结构和变换群。本书不仅是数学专业的进阶读物，也是对计算机图形学、计算机视觉和微分几何研究者不可或缺的理论基石。它教会读者如何“看”——不仅仅是用眼睛，更是用数学的透镜，来审视空间的结构与度量。
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