Introduction to Probability (Dover Books on Advanced Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:John E. Freund

出品人:

页数:247

译者:

出版时间:1993-05-19

价格:USD 10.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780486675497

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 数学
• 统计学
• Dover Books
• 高等数学
• 概率
• 随机过程
• 数学概率
• 应用数学
• 经典教材

《概率论导引：先进数学卷》 本书旨在为读者提供一个全面而严谨的概率论基础，着重于理论的深度和数学方法的严密性。它不仅是一本介绍基本概念的入门读物，更是一部深入探讨概率论核心原理与高级主题的参考手册。本书的结构设计旨在引导读者从经典的概率模型出发，逐步过渡到现代概率论的前沿领域，强调概率论作为现代科学和工程学基石的地位。 第一部分：概率论的基石与公理化体系 全书的开篇，我们将奠定概率论的数学基础。我们首先考察概率论的历史发展脉络，理解从伯努利到柯尔莫哥洛夫的理论演进，这有助于理解为何需要一个严格的公理化系统。 样本空间与事件代数： 我们将精确定义样本空间、事件，以及事件之间的集合运算（并、交、补）。重点在于σ-代数（Sigma-Algebra）的引入，解释为何需要σ-代数来确保我们能够对“可测”的事件进行概率赋值。这部分内容需要扎实的集合论背景知识作为支撑。 概率的公理化定义： 基于柯尔莫哥洛夫的公理体系，我们详细阐述概率测度（Probability Measure）的三个基本公理。在此基础上，我们将推导出所有基本的概率性质，例如互补事件的概率、不相容事件的概率加法原理等。我们还将探讨有限可加性与可数可加性之间的关键区别，并讨论测度论视角下概率论的内在一致性。 条件概率与独立性： 条件概率是概率论的核心工具。我们深入探讨条件概率的定义，及其在贝叶斯定理中的应用。独立性概念的讨论将超越直觉理解，深入到σ-代数层面的独立性定义，并探讨如何处理无限可积事件序列的独立性问题。 第二部分：随机变量及其分布 本部分将焦点转向随机现象的量化描述——随机变量。我们将严格区分离散型、连续型和混合型随机变量。 离散型随机变量： 我们详细分析了二项分布、泊松分布、几何分布和负二项分布等基本离散分布的性质，包括它们的概率质量函数（PMF）、期望值和方差的计算。尤其会花篇幅讨论泊松过程（Poisson Process）作为计数过程的基础模型。 连续型随机变量： 连续型随机变量的引入需要概率密度函数（PDF）。我们将探讨均匀分布、指数分布、正态分布（高斯分布）的特性。正态分布作为自然界和工程中广泛存在的分布，其特性（如其特征函数和矩生成函数）将被深入解析。 随机变量的函数与变换： 当随机变量经过一个函数变换后，新的随机变量的分布如何确定？我们将介绍卷积公式（对于和的分布）以及雅可比变换（Jacobian Transformation）方法，这是处理复杂随机变量变换的关键技术。 联合分布与边缘分布： 扩展到多变量系统，我们将定义联合概率密度函数/质量函数，以及如何从中导出边缘分布。重点分析多维正态分布，其协方差矩阵在描述变量间线性关系中的作用。 第三部分：期望、矩与收敛性 期望值不仅是位置的度量，更是概率论中分析工具的核心。本部分将深化对期望的理解，并引入随机变量序列的收敛概念。 期望值的严格定义与性质： 从离散和连续情况下的积分/求和定义，到勒贝格积分在一般可测函数期望定义中的普适性，我们将展示期望的测度论基础。讨论期望值的单调性、线性和条件期望的概念。 矩、方差与矩生成函数（MGF）： 我们将系统性地计算各种分布的矩，并探讨矩生成函数（MGF）和特征函数（Characteristic Function）作为识别分布和推导分布特性的强大工具。特征函数（傅里叶变换）因其在处理和的分布时的优越性而被重点讨论。 随机变量序列的收敛性： 概率论的高级应用离不开对极限过程的分析。我们将精确定义四种主要的收敛模式：依概率收敛（Convergence in Probability）、依分布收敛（Convergence in Distribution）、几乎处处收敛（Almost Sure Convergence）和平方平均收敛（Convergence in Mean Square）。我们将分析它们之间的相互关系和等价性。 第四部分：极限定理与大数定律 这是概率论理论的皇冠，解释了为什么概率论能够有效预测大量重复试验的结果。 大数定律（Law of Large Numbers）： 我们将严格证明强大数定律（Strong Law of Large Numbers, SLLN）和弱数定律（Weak Law of Large Numbers, WLLN），并探讨它们在统计估计中的意义。这需要用到切比雪夫不等式和马尔可夫不等式等工具。 中心极限定理（Central Limit Theorem, CLT）： CLT被誉为概率论的基石。我们将介绍林德伯格-费勒（Lindeberg-Feller）版本的中心极限定理，详细论证为何许多独立随机变量的和（或平均值）会趋向于正态分布，以及其应用范围的边界。 第五部分：随机过程导论 概率论的高级研究往往涉及随时间演化的随机现象，即随机过程。本书的最后一部分将介绍一些最基础且应用广泛的随机过程模型。 马尔可夫链（Markov Chains）： 介绍离散时间和离散状态空间下的马尔可夫链，讨论一步转移概率矩阵、$n$步转移概率，以及齐次性和遍历性。重点分析平稳分布的存在性、唯一性和计算方法，这是理解随机游走和平衡态系统的关键。 泊松过程（Poisson Process）的深入分析： 回顾并深化对泊松过程的理解，将其视为一个连续时间随机过程。讨论其独立增量和静止增量的性质，并介绍其与指数分布的关系。 布朗运动（Wiener Process）简介： 作为连续时间随机过程的典范，布朗运动（维纳过程）的定义、性质（如独立增量、正态增量、路径的连续性与处处不可微性）将被详述。这将为读者进一步研究随机微积分和金融数学打下必要的理论基础。 全书的特点在于其对数学严谨性的坚持，对每一个定理的证明都力求清晰完整，并辅以大量的例子和练习题，以帮助读者巩固抽象的数学概念，将概率论这门迷人的学科建立在坚实的数学结构之上。

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