Continuous groups of transformations--變換連續群(英文原版進口) pdf epub mobi txt 電子書 下載2026

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出版者:Dover Publications

作者:Luther Pfahler Eisenhart.

出品人:

頁數:0

译者:

出版時間:2003-01-01

價格:406.79999

裝幀:

isbn號碼:9780486495255

叢書系列:

圖書標籤:

• 數學
• 群論
• 變換群
• 連續群
• 拓撲學
• 代數學
• 幾何學
• 李群
• 數學分析
• 高等數學

空間、對稱性與運動：深入探索經典物理學的幾何基礎 本書聚焦於對物理學中至關重要的一個核心概念——連續變換群——的深入探討，尤其側重於其在經典力學、場論以及幾何學中的應用。全書結構嚴謹，內容涵蓋瞭從群論的基本公理到具體物理模型的復雜應用，旨在為讀者構建一個堅實而直觀的理解框架。 本書開篇部分，首先為讀者奠定瞭必要的數學基礎。我們從群論的基本結構入手，詳細闡述瞭群的定義、子群、陪集、同態與同構等核心概念。不同於純粹的代數探討，本書更強調這些結構在物理直覺上的意義，例如，對稱性如何通過群作用在物理係統上得以體現。緊接著，我們引入瞭拓撲空間的概念，作為連續變換得以定義的必要背景。連續變換群的“連續性”要求我們理解流形（Manifolds）的性質，因此，本書專門闢章節討論瞭微分流形的基礎，包括切空間、嚮量場以及微分形式，為後續引入李群（Lie Groups）做好瞭鋪墊。 在代數結構與幾何背景建立穩固之後，本書的核心內容——連續變換群——被詳細展開。我們深入剖析瞭李群的定義、性質及其與李代數（Lie Algebras）的深刻聯係。李代數作為李群的綫性化近似，提供瞭一個在局部研究連續對稱性的強大工具。本書詳細分析瞭矩陣李群，特彆是一般綫性群 $GL(n, mathbb{R})$、特殊綫性群 $SL(n, mathbb{R})$、正交群 $O(n)$ 和特殊正交群 $SO(n)$。對於這些群的李代數，如 $mathfrak{gl}(n)$、$mathfrak{sl}(n)$ 等，我們不僅計算瞭它們的維度和結構常數，還著重解釋瞭它們如何對應於物理學中守恒量（如動量、角動量）的生成元。 本書的一個重要貢獻在於其對齊性空間（Homogeneous Spaces）的係統處理。齊性空間是研究特定對稱性下物理定律不變性的理想框架。我們利用這種幾何結構，將變換群的作用可視化。通過對 歐幾裏得群 $E(3)$（剛體運動）和 龐加萊群 $P$（閔可夫斯基時空中的運動）的詳細分解和分析，讀者將清晰地看到如何從一個抽象的群結構中導齣牛頓力學和狹義相對論的幾何基礎。例如，慣性係之間的變換關係，正是通過龐加萊群的作用得以精確描述。 物理學的核心應用：守恒定律與對稱性 本書隨後轉嚮諾特定理（Noether's Theorem）的全麵闡述。我們不僅重述瞭經典的變分原理與對稱性的關係，更重要的是，我們將諾特定理提升到群論的框架下進行討論。對於作用在流形上的一個連續群，我們展示瞭如何從不變的拉格朗日量（或作用量）中直接導齣守恒電流和守恒荷。這部分內容貫穿瞭從粒子力學到經典場論（如電磁場）的多個實例，強化瞭對稱性作為物理定律指導原則的地位。 在經典場論的背景下，本書探討瞭無窮小變換在場論中的應用，以及規範不變性的概念。雖然本書主要聚焦於經典領域，但對規範對稱性的初步介紹，為讀者理解量子場論中的基本相互作用打下瞭必要的幾何和代數預備知識。我們通過分析場張量在變換下的行為，解釋瞭規範玻色子如何作為對稱性群的生成元而齣現。 錶示論的幾何視角 為瞭有效地在物理模型中使用變換群，理解其錶示是不可或缺的。本書用一種偏嚮幾何和物理直覺的方式引入瞭群的錶示理論。我們首先討論瞭群錶示的基本概念，然後重點分析瞭李群及其李代數的有限維錶示。在這一部分，我們詳細探討瞭 $SU(2)$ 群的錶示，該群在角動量理論中占據核心地位。我們推導瞭角動量算符的對易關係，並使用最高權重理論（Highest Weight Theory）的直觀圖像，係統地構建瞭所有不可約錶示，從而清晰地解釋瞭自鏇量子數的物理意義。對於 $SO(3)$ 群，我們也分析瞭它與 $SU(2)$ 之間的關係，強調瞭“雙值錶示”在描述自鏇半整數粒子時的必要性。 結構與推廣 最後，本書的收尾部分探討瞭一些更高級的主題，以展望更廣闊的物理領域。我們簡要介紹瞭李群的黎曼幾何結構，探討瞭測地綫在李群上的意義，以及如何利用愛因斯坦-李群（Einstein-Lie Group）的框架來研究時空麯率。此外，我們還討論瞭半直積的概念，並用其來構造更復雜的群，例如 洛倫茲群 $SO(3,1)$，將其視為空間鏇轉群 $SO(3)$ 和洛倫茲加速群的半直積，從而在幾何上完成瞭對狹義相對論基礎的整體把握。 本書的敘述風格力求清晰、嚴密，避免不必要的數學術語堆砌，始終將抽象的群論概念錨定在具體的物理問題上。通過大量的圖示和詳細的代數推導，本書旨在成為物理學、數學物理以及相關工程領域研究人員和高年級學生手中一本不可或缺的參考書。讀者在讀完本書後，將能夠熟練運用連續群的語言來分析和理解空間、時間以及對稱性在物理定律中所扮演的根本性角色。

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