A history of geometrical methods--几何方法史(英文原版进口) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Julian Lowell Coolidge.

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:2003-01-01

价格:542.40002

装帧:

isbn号码:9780486495248

丛书系列:

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《数学分析的演进：从微积分的黎明到现代分析的根基》 本书简介 本书旨在对数学分析，特别是微积分（Calculus）的诞生、发展及其在十八、十九世纪的系统化过程进行一次全面而深入的考察。我们不侧重于几何学的特定方法论的演变（如题述书籍的主题），而是专注于支撑现代微积分体系的函数、极限、收敛性以及积分的严格化的理论建构。 本书的叙事轴线围绕着核心概念的“去直觉化”和“概念的几何还原”展开。我们将追溯微积分从其萌芽阶段——由牛顿（Newton）和莱布尼茨（Leibniz）独立发展出的关于切线、面积和瞬时变化率的直观工具——向更坚实、更具普遍性的理论框架过渡的艰辛历程。 第一部分：萌芽与早期应用（17世纪中叶至18世纪末） 本部分将首先回顾微积分的先驱者们，如笛卡尔（Descartes）、费马（Fermat）和巴罗（Barrow）在代数几何与切线问题上的奠基性工作。重点讨论牛顿的“流数术”（Method of Fluxions）和莱布尼茨的微分符号系统的建立。我们将细致分析早期微积分的形式主义倾向，即运算的有效性往往先于其严格的逻辑论证。 随后，我们将进入欧拉（Euler）时代。欧拉将微积分从“解决问题的工具”提升为一门成熟的学科。本书将详细分析欧拉如何通过无限级数、特别是泰勒（Taylor）级数和麦克劳林（Maclaurin）级数，将几乎所有初等函数纳入分析的范畴。我们将考察欧拉在处理无穷小量和无穷大时所展现出的惊人直觉，以及这种直觉带来的收敛性风险。例如，对发散级数（如 $1+2+3+...$）的某些形式操作，虽然在特定情境下“有效”，但却暴露了缺乏严格定义的缺陷。 第二部分：对无限的审视——达朗贝尔的冲击（18世纪中叶至19世纪初） 随着应用的深入，尤其是在描述振动弦等物理问题时，对“无穷小”的本质的质疑日益尖锐。本部分的核心在于达朗贝尔（d'Alembert）对“极限”（Limit）概念的首次清晰阐述。 我们将探究达朗贝尔如何尝试用“一个量可以任意接近另一个量而不等于它”的语言来替代早期对无穷小的模糊处理。这标志着分析学研究重心的首次系统性转移：从关注“变化的过程”转向关注“变量的趋向行为”。我们会对比达朗贝尔的尝试与柯西（Cauchy）后续建立的 $epsilon-delta$ 语言体系之间的思想关联与关键差异。此外，我们还将分析拉格朗日（Lagrange）试图完全抛弃极限概念，转而依赖于函数导数的代数定义所做的努力及其局限性。 第三部分：柯西的严格化革命（19世纪上半叶） 柯西被公认为现代数学分析的奠基人之一。本书将此部分视为分析学史上最关键的转折点。我们将详细剖析柯西在《分析教程》（Cours d'Analyse）中对极限、连续性、收敛性（特别是函数列与函数级数的逐点收敛与一致收敛的区分）所建立的$epsilon-N$（或 $epsilon-delta$）框架。 连续性与一致收敛性： 我们将对比早期的直观连续性概念与柯西基于极限的严密定义，并着重分析一致收敛性概念的引入如何解决了早期分析学中关于函数可积性与可微性顺序交换问题的理论障碍。 积分的定义： 本部分将深入探讨黎曼（Riemann）积分的出现之前，柯西对定积分的早期形式化工作，为后续黎曼积分的诞生铺平了道路。 第四部分：实数系统的完备性与拓扑思想的萌芽（19世纪中叶以后） 严格的分析依赖于对实数集合性质的充分理解。本部分将探讨波尔查诺（Bolzano）关于介值定理的早期工作，以及魏尔斯特拉斯（Weierstrass）学派如何系统性地构建实数系统。 戴德金（Dedekind）与完备性： 我们将解释戴德金分割（Dedekind Cut）如何提供了一种纯粹基于序关系和集合论的定义来确立实数的稠密性和完备性，从而最终锁定了微积分赖以生存的“数域”。 函数极限的拓扑视角： 虽然完整的拓扑学理论形成于更晚的时期，但本部分将展示在魏尔斯特拉斯的“中间值定理”的严格证明中，已经隐含了对“点集”及其邻域结构的初步依赖，预示着分析学将超越一维直线，迈向更广阔的度量空间。 结论 本书的结论部分将总结分析学如何通过对“无穷小”的摒弃和对“极限”概念的精细化，完成了从牛顿-莱布尼茨时代的启发式计算，到十九世纪严格数学理论的转变。这种严格化不仅消除了早期的逻辑漏洞，更重要的是，它为二十世纪泛函分析、勒贝格积分理论以及现代拓扑学的蓬勃发展提供了不可动摇的理论基石。本书强调，分析学的历史，本质上是一部关于人类如何以最严谨的方式理解“变化”与“无限”的历史。

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