概率统计中的极限理论及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:

作者:

出品人:

页数:533

译者:

出版时间:2007-1

价格:68.00元

装帧:

isbn号码:9787040221527

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 数理统计
• 极限理论
• 大数定律
• 中心极限定理
• 渐近分布
• 统计推断
• 随机过程
• 应用概率
• 数学模型

概率统计中的极限理论及其应用 本书导读： 本书旨在深入探讨概率统计领域中一类核心且基础的理论——极限理论，并着重阐述其在实际统计推断、模型构建与数据分析中的广泛应用。我们聚焦于理论的严谨性与其实际操作性的完美结合，为读者提供一个坚实而全面的知识框架。 第一部分：基础与预备 第一章 概率论回顾与测度论基础 本章首先对概率论的基本概念、随机变量、概率分布函数、特征函数等核心内容进行系统回顾，确保读者具备扎实的概率论基础。随后，我们将引入必要的测度论工具。这不仅仅是数学上的形式要求，更是理解现代概率论，特别是收敛性概念的基石。我们将详细讨论 $sigma$-代数、可测函数、概率测度以及勒贝格积分，为后续极限的严格定义铺平道路。测度论的视角有助于我们精确地刻画随机现象的结构。 第二章 随机变量的收敛性概念 这是本书的理论核心之一。我们将系统地定义和辨析概率论中主要的收敛概念：依概率收敛（Convergence in Probability）、几乎处处收敛（Almost Sure Convergence）、依分布收敛（Convergence in Distribution）以及 $L^p$ 范数收敛。每种收敛模式都对应着不同的统计学意义和数学性质。我们将对比这些收敛的内在联系和区别，并利用反例说明它们之间的不可互换性。例如，我们将深入分析几乎处处收敛在构建强大统计推断时的优越性，以及依分布收敛在渐近分析中的核心地位。 第三章 大数定律的深化 大数定律（Law of Large Numbers, LLN）是概率论的基石。本章将超越对独立同分布（i.i.d.）情形下弱大数定律（WLLN）和强大数定律（SLLN）的简单陈述。我们将探究更一般条件下的LLN，例如随机变量之间存在依赖关系（如马尔可夫链或鞅结构）时LLN的成立条件和表现形式。对于SLLN，我们将深入研究其收敛速度，并讨论其在样本均值估计稳定性上的理论意义。 第二部分：极限理论的核心——中心极限定理 第四章 中心极限定理（CLT）的经典叙述与证明 中心极限定理是统计推断的理论支柱。本章从最经典的独立同分布（i.i.d.）随机变量序列开始，详细阐述中心极限定理（CLT）的精确表述，即标准化后的样本均值依分布收敛于标准正态分布。我们将利用特征函数（或矩量生成函数）提供一个清晰且严格的证明，突出梯形函数的唯一性和极限过程的普适性。 第五章 CLT的扩展与变体 现代统计学对CLT提出了更高的要求。本章将扩展经典CLT至更复杂的场景： 1. 李雅普诺夫（Lyapunov）中心极限定理： 针对矩条件较弱的非同分布情形的推广。 2. 林德伯格（Lindeberg）条件： 探讨不依赖于高阶矩的更精细的收敛条件，这是现代概率论处理非对称分布时的关键工具。 3. Delta 方法（Delta Method）： 虽然技术上是应用而非纯粹的极限理论，但它依赖于CLT，用于处理函数变换后的渐近分布，例如最大似然估计的渐近正态性。 第六章 依赖性结构下的极限定理 许多实际数据（如时间序列）不满足独立性假设。本章专门处理依赖性随机变量的极限行为： 1. 鞅差序列的中心极限定理： 鞅（Martingale）理论是处理依赖性序列的强大框架。我们将介绍鞅差序列（Martingale Difference Sequences）的CLT，这在时间序列分析和计量经济学中至关重要。 2. 混合条件下的极限定理： 针对弱相关性结构，如 $alpha$-混合或 $eta$-混合序列，讨论其大数定律和中心极限定理的成立条件。 第三部分：应用与推断 第七章 估计量的渐近性质 极限理论的最终目标是为统计推断提供理论支持。本章将这些理论应用于参数估计： 1. 渐近正态性（Asymptotic Normality）： 证明常用的估计量（如矩估计量、M估计量）在样本容量趋于无穷时，其抽样分布近似服从正态分布，从而确定估计量的标准误和置信区间。 2. 有效性与效率： 介绍Cramér-Rao下界，并分析一致估计量是否渐近有效。 第八章 假设检验与渐近检验统计量 本章将极限理论引入假设检验框架： 1. Wald 检验统计量： 证明在零假设成立的条件下，基于大样本的检验统计量（如Wald统计量）的渐近分布。 2. 似然比检验（Likelihood Ratio Test, LRT）： 深入探讨LRT的渐近性质，特别是Wilks定理，该定理表明在一定正则性条件下，LRT统计量依分布收敛于自由度等于模型约束数量的卡方分布。 第九章 非参数方法与经验过程 对于不假设特定参数模型的非参数统计学，极限理论同样不可或缺： 1. 经验分布函数（EDF）与Dvoretzky-Kiefer-Wolfowitz (DKW) 不等式： 分析样本信息如何逼近真实分布函数。 2. 函数中心极限定理（Functional CLT）： 将中心极限定理从随机变量的极限推广到随机过程的极限，导致了布朗桥（Brownian Bridge）和维纳过程（Wiener Process）的出现。这为K-S检验、Cramér-von Mises检验等非参数检验的渐近分布提供了严格的理论基础。 总结与展望 本书的结构设计旨在确保读者不仅能够理解极限理论的抽象数学框架，更重要的是能够熟练运用这些工具解决实际统计问题。通过对收敛概念的精细辨析、对CLT变体的系统梳理以及在估计与检验中的实际应用演示，我们力求构建一座连接纯粹概率论与应用统计学之间的坚固桥梁。本书的深度和广度适合高年级本科生、研究生以及需要深入理解统计学理论基础的科研人员使用。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆