实用数值分析 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:化学工业出版社

作者:杜迎春

出品人:

页数:231

译者:

出版时间:1970-1

价格:25.00元

装帧:

isbn号码:9787122007650

丛书系列:

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• 数值分析
• 科学计算
• 算法
• 数学
• 高等教育
• 理工科
• 工程计算
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• 计算数学
• 程序实现

深度学习的数学基础与应用 一本全面、严谨的数学工具书，专为理解现代人工智能和数据科学核心原理而设计。 本书旨在填补理论深度与工程实践之间的鸿沟，为读者提供构建、理解和优化现代机器学习模型所需的坚实数学框架。我们不再将复杂的算法视为“黑箱”，而是深入剖析其背后的数学逻辑、收敛性保证与性能极限。 第一部分：线性代数与高维几何的再审视 (The Re-examination of Linear Algebra and High-Dimensional Geometry) 在数据爆炸的时代，信息即是向量，学习过程即是矩阵变换。本部分彻底超越了传统的线性代数教学范式，聚焦于在大规模、稀疏与低秩场景下线性代数的实际应用。 1. 矩阵分解的几何意义与计算复杂度优化： 我们将详细探讨奇异值分解（SVD）在高维数据降维、主成分分析（PCA）的误差界限分析中的核心作用。重点分析了非精确分解方法，如随机SVD（Randomized SVD）和迭代方法（如 Krylov 子空间方法），它们如何在保持信息量的前提下，将原本的 $O(n^3)$ 复杂度降至可接受的工程范围，这对于处理万亿级特征的推荐系统至关重要。 2. 张量代数与多线性代数： 超越二维矩阵，本书引入了三阶及以上张量的概念。张量是处理复杂多模态数据（如视频、医学影像和知识图谱）的天然语言。我们深入研究了张量的秩（Rank）、CP分解（Canonical Polyadic decomposition）和Tucker分解，探讨它们在张量网络模型（Tensor Networks）中的应用，以及如何利用张量方法解决大规模协同过滤中的“冷启动”问题。 3. 几何拓扑与流形学习： 数据往往并非均匀分布在欧几里得空间中，而是嵌入在高维流形上。本章阐述了黎曼几何的基本概念，以及如何利用局部线性嵌入（LLE）、Isomap 和 Hessian 算子来揭示数据的内在几何结构。这为理解数据内在维度和非线性降维提供了严谨的数学支撑。 第二部分：优化理论：从凸集到非凸函数的优化景观 (Optimization Theory: From Convex Sets to the Non-Convex Landscape) 深度学习的本质是一场大规模的、非凸的优化问题求解过程。本部分是全书的基石，致力于解析梯度下降家族算法的收敛性、稳定性和实用性。 1. 凸优化基础与对偶理论的实战应用： 首先回顾支撑超平面、共轭函数和 KKT 条件。随后，我们将重点放在一阶方法的理论推导上，包括次梯度方法和 Moreau-Yosida 正则化，这些是理解近端梯度下降（Proximal Gradient Descent）的关键。 2. 随机梯度下降（SGD）的收敛性分析： 本书对 SGD 进行了细致的分析，不再仅仅停留在平均收敛性，而是深入探讨了次线性收敛率的严格证明，并分析了动量（Momentum）和 Adam 算法中二阶矩估计的稳定性和泛化能力。特别关注了在病态条件（Ill-conditioned）矩阵下，如何通过预处理（Preconditioning）和自适应学习率调整来保证训练的鲁棒性。 3. 非凸优化的鞍点逃逸机制： 现代神经网络的损失曲面充满了鞍点而非局部最小值。我们分析了基于曲率的优化方法，如牛顿法和拟牛顿法（BFGS、L-BFGS）的局限性。重点介绍了随机矩阵的特征值分布理论，解释了为什么随机性（即引入噪声）能够在实践中帮助算法跳出平坦的鞍点，并收敛到一个具有良好泛化能力的平坦区域。 第三部分：概率论、统计推断与信息论 (Probability, Statistical Inference, and Information Theory) 深度模型是对数据分布的参数化估计。要量化模型的不确定性、评估信息增益和进行模型选择，必须依赖严谨的概率和信息论工具。 1. 贝叶斯推理与变分推断（Variational Inference, VI）： 我们超越了简单的最大似然估计（MLE）。本章详细推导了变分下界（Evidence Lower Bound, ELBO）的构建过程，并将其应用于复杂模型（如深度生成模型）。重点讨论了 Kullback-Leibler (KL) 散度的性质及其在衡量分布差异中的作用，以及如何使用自动微分框架高效地计算 VI 中的梯度。 2. 熵、互信息与模型的复杂性控制： 信息论提供了量化“信息”和“不确定性”的语言。本书阐述了香农熵、条件熵和互信息如何应用于特征选择、稀疏表示（如 L1 正则化背后的信息论解释）和自编码器的瓶颈层设计。我们将信息论原理与正则化技术紧密结合，解释了为什么最小化信息损失能同时提高模型的表达能力和泛化能力。 3. 统计学习理论的边界： 为评估模型泛化性能，本书引入了 VC 维和 Rademacher 复杂度。我们详细推导了这些工具如何为模型的复杂度提供可操作的上界，解释了为什么一个具有过多自由参数的模型在测试集上表现不佳，并提供了在有限数据下进行模型选择的严格统计学依据。 第四部分：数值稳定性与高性能计算 (Numerical Stability and High-Performance Computing) 在处理数十亿参数的模型时，数值误差的累积可能导致灾难性的结果。本部分关注的是如何让理论上的最优解在实际硬件上稳定运行。 1. 浮点数的精度与误差分析： 分析了 IEEE 754 标准下单精度（FP32）和半精度（FP16/Bfloat16）浮点运算的局限性，特别是在梯度爆炸/消失和优化器状态（如 Adam 的二阶矩）积累时的稳定性问题。引入了重归一化技巧和混合精度训练的数学原理，以在不牺牲准确性的前提下加速计算。 2. 自动微分（Automatic Differentiation, AD）的数学结构： 本书从链式法则的严格应用角度，阐述了前向模式与反向模式（反向传播）的计算效率差异。我们深入剖析了计算图的构建、内存优化以及如何利用符号微分和数值微分的结合来处理非光滑函数和控制流。 3. 稀疏矩阵运算与近似算法的误差边界： 针对大规模图神经网络和稀疏注意力机制，我们分析了稀疏矩阵向量乘法（SpMV）的性能瓶颈。重点讨论了基于随机投影的近似算法，如 Locality-Sensitive Hashing (LSH) 和 Johnson-Lindenstrauss 引理，它们如何在近似计算中严格控制引入的估计误差。 --- 本书的特点在于其深度、广度与一致性。它不侧重于特定框架（如PyTorch或TensorFlow）的操作手册，而是提供一套可以跨框架、跨模型应用的、统一的数学语言。读者将不仅学会“如何做”，更能理解“为什么这样做是正确的，以及它何时会失败”。这是一本献给所有致力于将人工智能理论推向工程前沿的研究人员、资深工程师和高级学生的必备参考书。

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这本书的理论深度和广度令人印象深刻，它巧妙地平衡了数学的严谨性与工程实践的可操作性。作者显然对数值方法的底层原理有着深刻的理解，讲解问题时绝不满足于简单的公式堆砌，而是会追溯到背后的收敛性证明和误差分析，这对于希望真正掌握这门学科而非仅仅停留在应用层面的读者来说，是无价之宝。比如，在处理非线性方程组的迭代方法时，它不仅介绍了牛顿法和割线法，还深入探讨了阻尼因子对收敛速度的影响，并给出了在特定病态条件下的稳定性讨论。我发现作者在选择例子时极具匠心，所选取的案例往往是工程领域中真实出现过的难题，这使得抽象的理论知识立刻变得“落地有声”。阅读过程中，我不断地被启发，原来那些看似晦涩的数值技巧，背后都有如此精妙的数学逻辑支撑。对于研究生阶段的学习者或者需要进行数值模拟的工程师来说，这本书提供的理论框架是极其坚实的基石，能有效避免在实际应用中遇到问题时束手无策的窘境。

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在配套资源方面，这本书的辅助材料堪称典范，这在学术出版界是比较少见的。我指的是它在线上社区和勘误反馈机制上的维护力度。作者或出版社定期会在配套的官方网站上更新代码示例的最新版本，并针对读者在学习过程中发现的印刷错误或逻辑上的细微瑕疵进行集中更正，这一点处理得非常及时和透明。更重要的是，它提供了一套非常详尽的习题解答手册（虽然可能是需要额外获取的，但其质量值得一提）。这些习题的难度分布合理，从基础巩固到综合应用都有覆盖，而且对于那些开放性的编程作业，给出了详细的评分标准和参考实现思路。这种全方位的支持系统，使得这本书完全可以作为自学者的首选教材。它不仅仅是一本静止的书籍，而是一个随着时间推移仍在不断完善和成长的学习资源包，确保读者获取到的是最准确、最前沿的知识体系，这对于一个快速发展的领域来说至关重要。

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与其他教材相比，这本书的“实用性”体现得淋漓尽致，它不只是停留在理论推导的象牙塔里。最让我惊喜的是其丰富的编程实现部分。作者似乎深知，没有代码的数值分析就是空中楼阁。书中给出的算法伪代码清晰易懂，并且非常贴心地提供了多种主流编程语言的示例代码片段，如Python和MATLAB。这些代码不仅仅是理论的简单翻译，而是经过了良好结构化和注释的，可以直接作为项目代码的参考模板。我尝试着将其中关于有限差分法求解偏微分方程的例程输入电脑运行，结果发现其效率和准确性都远超我之前自己摸索出来的版本。更妙的是，书中还穿插了对不同数值方法在计算效率（时间复杂度）和资源占用（空间复杂度）上的对比分析，帮助读者在面对实际问题时，做出最优的算法选择。这种手把手的指导，极大地缩短了从理论学习到实际解决问题的过渡期，真正体现了“实用”二字的价值。

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这本书的排版和装帧简直是专业级别的享受。封面设计简洁大气，采用了低饱和度的蓝灰色调，给人一种沉稳而专业的印象，与书名“实用数值分析”的内涵非常契合。内页纸张的质感也相当出色，不是那种廉价的亮白，而是略带米黄的哑光纸，长时间阅读眼睛不容易疲劳。更值得称赞的是字体和行距的调整，字号大小适中，行距留得恰到好处，使得复杂的数学公式和代码块在视觉上显得井井有条，毫不拥挤。我尤其喜欢它在图表展示上的用心，插图清晰度极高，坐标轴的刻度和图例标注得一目了然。很多技术书籍的图表常常模糊不清，但这本完全没有这个问题，能让人迅速抓住核心数据关系。翻阅起来手感很舒服，装订结实，即便是经常需要查阅和折叠书页的学习者，也无需担心它会散架。这种对细节的极致追求，无疑提升了阅读体验，让人在学习枯燥的数学理论时，也能享受到一丝愉悦。看得出，出版社在制作过程中投入了大量的精力，这不仅仅是一本工具书，更像是一件精心打磨的艺术品，摆在书架上也是一道风景。

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这本书的叙事风格非常独特，它不像传统教科书那样刻板说教，反而带有一种老教授循循善诱的亲切感。作者在介绍一个新概念时，往往会先从一个直观的物理背景或者一个历史上的难题引入，让读者自然而然地产生“为什么需要这个方法”的好奇心，而不是上来就扔一堆定义和定理。语句流畅自然，即便是处理到拉格朗日插值的高次项振荡问题这种复杂课题时，作者也能用富有画面感的语言来描述其病态的根源。阅读起来的节奏感把握得很好，章节之间逻辑衔接紧密，上一章的结论往往是下一章要解决的新问题。这种娓娓道来的叙述方式，极大地降低了初学者对这门学科的畏惧感。它仿佛有一个经验丰富的导师在你身边，在你快要被复杂的数学符号绕晕时，及时伸出援手，用最易于理解的方式点拨迷津。我发现自己竟然能轻松地读完那些我过去总想跳过的引言和背景介绍，因为它们本身就充满了启发性。

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