矩阵分析及其应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:武汉大学

作者:曾祥金

出品人:

页数:184

译者:

出版时间:2007-8

价格:20.00元

装帧:

isbn号码:9787307056848

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好的，这是一份关于一本名为《矩阵分析及其应用》的图书的详细简介，这份简介着重于该书可能包含的内容领域，同时避免提及任何AI生成或构思的痕迹。 --- 《矩阵分析及其应用》图书简介 导言：驾驭现代数学的基石 在当代科学、工程、经济学和计算机科学的广阔领域中，矩阵已不再是单纯的数字排列，而是描述复杂系统、数据结构和线性变换的强大工具。本书《矩阵分析及其应用》旨在为读者提供一个全面、深入且富有洞察力的视角，探索矩阵理论的核心概念、高级分析技术及其在实际问题中的广泛应用。本书不仅致力于传授扎实的数学基础，更注重培养读者利用矩阵思维解决实际挑战的能力。 本书的结构设计兼顾了理论的严谨性与应用的实用性，旨在服务于高年级本科生、研究生以及需要深入理解和应用矩阵理论的科研人员和工程师。 第一部分：矩阵论的坚实基础 本部分为全书奠定了不可或缺的理论基石，详细梳理了从基础代数到高级结构的所有关键概念。 第一章：基础概念与代数运算 本章从向量空间、线性组合、线性无关性、基和维数等基础概念入手，为矩阵的正式定义做铺垫。随后，系统地介绍了矩阵的分类（方阵、对称阵、正交阵等）、矩阵的加减乘法、转置与迹的性质。特别强调了矩阵乘法的几何意义——线性变换的复合，并详细讨论了初等矩阵与矩阵的初等行变换（行阶梯形、简化行阶梯形）在求解线性方程组中的核心作用。 第二章：线性方程组的求解与结构 本章深入探讨了线性方程组 $Ax=b$ 的解的存在性与唯一性问题。通过引入矩阵的秩（Rank）和零空间（Null Space）、列空间（Column Space）等基本子空间的概念，精确刻画了解集的结构。重点讲解了高斯消元法、LU 分解的原理、步骤及其在大型稀疏系统求解中的效率考量。此外，还讨论了克罗内克积（Kronecker Product）在多维系统建模中的应用。 第三章：行列式理论的深入探究 行列式是衡量矩阵性质的一个重要标量指标。本章不仅复习了行列式的代数定义和性质，更着重分析了行列式在几何上代表的体积或方向变化，以及在逆矩阵存在性判断中的关键作用。讨论了伴随矩阵与行列式在求解线性方程组（如克莱姆法则）中的理论价值，尽管其实际计算效率可能受限。 第四章：矩阵的分解与结构理论 矩阵分解是现代数值计算和理论分析的核心。本章详细介绍了： LU 分解： 针对方阵和非方阵的分解及其在数值稳定性上的考量。 QR 分解： 基于施密特正交化过程的分解，强调其在最小二乘问题中的优越性。 Cholesky 分解： 针对正定矩阵的特殊分解，及其在优化算法中的重要地位。 奇异值分解 (SVD)： 被誉为“矩阵的终极分解”，系统地阐述了其构造、几何解释及其在秩估计和近似中的核心地位。 第二部分：特征值理论与矩阵的动力学 特征值和特征向量是揭示矩阵内在结构和系统演化行为的关键。本部分将理论推向深度。 第五章：特征值、特征向量与相似性 本章深入讲解了特征值的定义、代数重数与几何重数的关系，以及特征多项式与特征方程的求解。重点探讨了相似变换——矩阵在不同基下的表示，以及相似矩阵的特征值保持不变的性质。对角化问题作为核心，区分了可对角化矩阵和不可对角化矩阵（如若尔当标准型存在的必要性）。 第六章：矩阵的函数与分析 矩阵函数是理解系统响应和时间演化的桥梁。本章讨论了矩阵指数 $e^A$ 的定义（通过幂级数展开或谱分解），及其在求解常微分方程组 $dot{x} = Ax$ 中的作用。此外，还引入了矩阵的函数微积分概念，例如 $ln(A)$ 和 $sqrt{A}$ 的构造与应用。 第七章：经典分解的深化：Schur 与 Jordan 本章聚焦于那些不一定具有实特征值或不对称的矩阵。详细推导并应用了 Schur 分解，强调了其实际应用中的数值稳定性。随后，系统地阐述了若尔当标准型 (Jordan Canonical Form) 的理论结构，用以处理非对角化矩阵，揭示了矩阵结构中的“非完美”部分。 第八章：二次型与正定性 二次型 $x^T A x$ 在优化、几何和物理学中无处不在。本章从二次型的定义出发，使用合同变换将其化为标准形。详细分析了正定矩阵、半正定矩阵的判据，如特征值法、主子式法以及 Sylvester 准则，这对于保证优化问题的凸性和稳定性至关重要。 第三部分：矩阵分析的应用前沿 本部分将理论知识与实际应用紧密结合，展示矩阵分析在解决复杂工程和科学问题中的威力。 第九章：范数、收敛性与稳定性分析 本章引入了向量范数和矩阵范数，用以量化向量和矩阵的“大小”，这些是衡量数值稳定性的基础。深入探讨了矩阵序列的收敛性、谱半径的概念及其与迭代法的收敛速度的内在联系。特别关注了在动态系统中，特征值位置决定系统稳定性的判据（如离散系统中的单位圆判据）。 第十章：数值计算中的优化与迭代 本章聚焦于大型稀疏线性系统的求解策略。讨论了直接法（如稀疏矩阵的 LU 分解）的局限性，并重点介绍了迭代法，包括雅可比法、高斯-赛德尔法及其收敛加速技术。此外，还引入了 Krylov 子空间方法，如 Arnoldi 迭代和 Lanczos 迭代，它们是现代高性能计算中求解大型特征值问题的核心工具。 第十一章：应用：主成分分析 (PCA) 与数据降维 将矩阵分析直接应用于统计学和数据科学。详细解释了协方差矩阵的构建，并通过特征值分解或 SVD 来计算主成分。阐述了 PCA 如何通过正交变换，在信息损失最小的前提下，实现高维数据的有效降维，并解释了其在噪声过滤和特征提取中的作用。 第十二章：应用：图论与网络分析 本章探讨了矩阵在描述复杂网络结构中的应用。引入了图的邻接矩阵、度矩阵和拉普拉斯矩阵。深入分析了拉普拉斯矩阵的特征值（特别是最小特征值与图的连通性关系），以及随机游走模型中的平稳分布问题，这在社交网络分析、交通流量建模和扩散过程中具有重要意义。 结语 《矩阵分析及其应用》力求成为读者理解和运用矩阵理论的权威指南。通过严谨的数学推导和丰富的应用实例，本书旨在帮助读者掌握从基础代数到高级分析的完整工具箱，为他们在各自领域内解决前沿问题打下坚实的基础。本书的成功不在于死记硬背公式，而在于掌握矩阵思维——一种将复杂关系抽象、分解并最终求解的强大能力。 ---

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这本书简直是数学世界的“神来之笔”，特别是对于那些在理论物理、工程控制或者数据科学领域摸爬滚打的同行们来说。我记得自己第一次翻开它的时候，那种感觉就像是找到了通往更高维度世界的地图。它不像那些枯燥的教科书，只是罗列公式和定理，而是真正地在“教”你如何思考。比如它对奇异值分解（SVD）的讲解，简直是庖丁解牛，从最直观的几何意义入手，层层递进地剖析了它在线性回归、主成分分析中的核心作用。作者似乎深谙初学者的痛点，总能在关键时刻抛出一个精妙的例子，让你豁然开朗。我特别欣赏它在介绍矩阵范数时的那种严谨与优雅并存的笔法，把抽象的数学概念用极其生动的语言具象化了。读完关于特征值和特征向量那一章后，我发现自己看世界的方式都变了，不再是孤立地看待事物，而是尝试去寻找它们之间的“内在联系”和“主导方向”。这本书的价值，绝不仅仅在于让你学会计算，更在于它帮你建立起一个坚固的数学直觉框架，这个框架在面对任何复杂的实际问题时，都能让你保持清晰的头脑和解决问题的信心。

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我一直对那种只停留在公式推导层面的数学著作感到乏味，直到我遇到了这本“宝典”。它真正的魅力在于其对“应用”的执着和深刻洞察。很多书会告诉你矩阵的性质，但很少有书能像它一样，将这些性质与现代工程问题的实际需求紧密结合起来。我印象最深的是关于马尔可夫链与随机过程的应用部分，作者没有简单地给出理论公式，而是构建了一系列引人入胜的实际场景——从网络流量的动态预测到复杂的供应链优化，每一步推导都伴随着对现实世界限制和考量的讨论。阅读过程中，我多次停下来，不是因为看不懂，而是因为被作者对细节的把控力所折服。他总能在恰当的时候提醒读者，理论模型与真实世界数据之间存在的“鸿沟”，以及如何通过适当的数值方法来弥补这种差距。这本书成功地架设了一座坚实的桥梁，让抽象的线性代数概念不再高高在上，而是成为了解决工程难题的利器。对于需要将数学模型转化为实际解决方案的工程师来说，这本书无疑是案头必备的“操作手册”。

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这本书的深度和广度，足以让一个研究生级别的读者感到满意，但它的语言组织却又出奇地平易近人，这是一种非常难得的平衡。我发现它在处理大型稀疏矩阵的计算效率问题时，展现出了远超一般教材的实践经验。比如在迭代求解器部分，它不仅介绍了Krylov子空间方法的基本框架，还深入探讨了预处理器的选择对收敛速度的影响，这通常是只有专业计算数学报告才会涉及的细节。阅读这些内容时，我感觉到自己正在被一位经验丰富的导师带着进行一次深入的“工地考察”，而不是被动地接受知识灌输。书中对误差分析的讨论也极其到位，它诚实地指出了数值计算中不可避免的精度损失问题，并提供了应对这些问题的实用策略。这本书的风格是那种“知无不言，言无不尽”的实在派，它不回避复杂性，但总能用最清晰的逻辑路径将读者引向解决方案，让人读来踏实而可靠。

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我对某些数学书籍常常感到“用力过猛”，内容堆砌，逻辑跳跃。但这本书则完全是另一种风格——内敛而有力。它没有过度使用花哨的修辞或不必要的数学符号来炫耀难度，而是专注于构建严密的逻辑链条。关于矩阵的秩与线性相关的深入剖析，在我看来是全书的精髓之一。作者通过一系列巧妙的反例和边界条件的探讨，揭示了“看似简单”的概念背后隐藏的微妙平衡。我尤其欣赏它对“对角化”这一概念的讨论，它不仅仅将其视为一个求解微分方程的工具，而是将其提升到了一种对系统内在结构进行简化和理解的哲学高度。读完后，我回过头去看我之前处理过的许多病态问题，突然明白了当时计算结果不稳定的根本原因在于矩阵本身的性质，而不是我计算错了。这本书的强大之处在于，它不仅教会你如何使用工具，更教会你如何判断工具的适用范围和局限性，这才是真正的学术素养的体现。

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如果要用一个词来形容这本书的阅读体验，我会选择“沉浸感”。作者的叙述节奏把握得极好，张弛有度，没有丝毫拖沓。进入到正交矩阵和酉矩阵的章节时，我感觉自己仿佛置身于一个精心设计的数学迷宫中，每一步探索都充满了惊喜。作者在介绍矩阵分解方法时，并没有急于展示最终的复杂形式，而是先从几何变换的层面，用非常直观的图示和文字描述来铺垫，让读者在脑海中形成清晰的“变形”概念。这对于理解那些高度抽象的数值稳定性问题至关重要。我尤其喜欢他引入的那些历史背景和先驱者的故事，这使得冰冷的数学知识一下子有了“人情味”和厚重感。读完后，我发现自己在处理涉及高维数据降维和信息检索的问题时，思路变得异常开阔，不再局限于单一的视角。这本书的排版和图表设计也极为精良，清晰的层次结构让复杂的推导过程一目了然，极大地降低了理解的认知负荷，真正体现了“内容为王”的设计理念。

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