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出版者:天津大学出版社

作者:黄东卫,陈汉军,杨雪

出品人:

页数:289

译者:

出版时间:2007-8

价格:30.00元

装帧:

isbn号码:9787561825211

丛书系列:

图书标签:

• 大学数学
• 数学实验
• 高等教育
• 理工科
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《高等代数精要》 内容简介 《高等代数精要》是一本面向理工科专业本科生及研究生深度学习代数理论的经典教材。本书旨在系统、深入地阐述高等代数的核心概念、基本理论及其在数学及相关学科中的应用。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保证数学严密性的同时，兼顾读者的理解难度，提供清晰的证明和丰富的例题。 第一部分：线性空间与线性变换 本书的开篇聚焦于现代代数的基础——线性空间（或称向量空间）。我们从向量空间的公理化定义出发，详细探讨了子空间、线性组合、线性相关性、基和维数等基本概念。重点分析了有限维线性空间的结构，并通过坐标变换的概念引入了矩阵的本质。 随后，我们深入研究了线性变换（或称线性映射）。详细讨论了核空间（零空间）与像空间（值域）的性质，以及秩-零化度定理的深刻意义。本部分对线性空间的线性映射的构造性表达——矩阵，进行了详尽的分析，包括矩阵的乘法、逆矩阵的求解，以及矩阵的初等行变换在求解线性方程组中的应用。我们不仅介绍了高斯消元法，还探讨了矩阵的秩的几何意义。 第二部分：行列式理论的深度剖析 行列式作为线性代数中一个历史悠久且极其重要的工具，在本章中得到了系统的梳理。我们从置换群的角度出发，给出了行列式的严格定义，并详细推导了行列式九大基本性质。重点讲解了代数余子式、拉普拉斯展开定理，以及行列式在求解线性方程组（克拉默法则）和几何意义（面积、体积）上的应用。 此外，本章还引入了分块矩阵的行列式计算方法，并讨论了行列式如何反映线性变换的性质，如行列式为零与线性相关性的联系。 第三部分：特征值、特征向量与矩阵的对角化 这是线性代数理论的核心和难点之一。本章首先介绍了特征值和特征向量的定义及其在动力系统、微分方程求解中的初步应用。我们详细讨论了特征多项式、特征值的代数重数和几何重数。 随后，本书将重点放在矩阵的相似理论上。我们探讨了相似矩阵的性质，并引入了矩阵的相似标准形——对角化的充要条件。对于不可对角化的矩阵，我们进一步引入了若尔当标准形（Jordan Canonical Form）的理论。虽然若尔当标准的构造过程较为复杂，但本书通过详细的步骤分解和清晰的例子，确保读者能够掌握其计算方法和理论意义，理解其在确定矩阵函数和求解高阶常系数线性微分方程组中的关键作用。 第四部分：欧几里得空间与二次型 本部分将代数结构提升到几何层面，引入了欧几里得空间（内积空间）的概念。我们详细定义了内积、向量的长度和夹角，并重点研究了施密特（Gram-Schmidt）正交化过程，推导出正交基和标准正交基的重要性。 接着，我们探讨了正交矩阵和正交变换，它们在保持几何结构上的重要性。本章的另一大核心内容是二次型。我们介绍了二次型的矩阵表示，并着重阐述了二次型的合同变换。最终，我们导出了主轴定理，证明了任意二次型总可以被正交变换化为对角形式，这一结果在物理学和工程力学中具有基础性的地位。我们详细讨论了正定、负定等概念及其判别法。 第五部分：多线性代数基础 为进一步拓展读者的视野，本书的最后一部分简要介绍了多线性代数的一些初步概念，主要包括张量的初步概念和外积的基础操作。虽然这部分内容不求深入复杂，但旨在为有志于深入学习微分几何、广义相对论或更高级数学分支的读者打下必要的代数基础。 本书特色与目标读者 理论深度与实践平衡： 本书内容严谨，不仅注重概念的建立和定理的证明，也配备了大量精心设计的例题和习题，帮助读者将抽象概念转化为具体的计算能力。 强调几何直觉： 贯穿全书始终，努力将线性代数的代数运算与几何空间中的变换、投影等概念相结合，帮助读者建立直观理解。 聚焦核心难点： 对特征值、若尔当标准形和二次型的对角化给予了特别的关注和详细的解析。 本书适合于学习数学、物理学、电子信息工程、计算机科学、力学等需要扎实线性代数基础的专业本科高年级学生和研究生使用，也可作为相关领域科研人员的参考用书。掌握本书内容，将为后续的抽象代数、泛函分析等高级课程的学习扫清主要障碍。

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这本关于高等代数的教材，简直是为我们这种对抽象概念感到头疼的学生量身定做的。作者在讲解行列式和矩阵运算时，没有像其他教材那样堆砌复杂的公式，而是通过大量贴近实际生活的例子，把枯燥的数学语言变得生动有趣。比如，他用市场占有率的变动来解释矩阵乘法，让原本模糊不清的理论变得豁然开朗。我记得有一次，我对特征值的理解一直停留在死记硬背的层面，但读了这本书关于图论中“连通性”的章节后，我才真正体会到特征值在网络结构分析中的重要作用。书中的习题设计也很有层次感，从基础的计算练习到复杂的证明题，循序渐进，让人在不知不觉中就掌握了知识点。特别是那些“思考题”，经常能引导你从不同的角度去审视同一个问题，极大地锻炼了我的逻辑思维能力。总的来说，这本书不仅仅是一本工具书，更像是一位循循善诱的老师，陪伴我走过了那段最艰难的数学学习期。

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我一直以为“数学”和“计算机”是两个相对独立的领域，直到我翻开了这本讲述离散数学的教材。这本书简直是一座连接理论数学与编程实践的坚固桥梁。在讨论图论时，作者不仅讲解了最短路径算法（如 Dijkstra 算法）的数学原理，还附带了伪代码和对算法复杂度的精确分析，这让我可以直接将其转化为C++程序。集合论和逻辑推理的部分也写得极其透彻，特别是关于命题逻辑和谓词逻辑的转换，作者用了一种类似流程图的表达方式，极大地降低了理解难度。更让我惊喜的是，书中关于组合数学的章节，对于计数原理的阐述细致入微，帮助我彻底厘清了排列和组合的适用边界。这本书不仅是为计算机专业的学生准备的，对于任何需要进行严密逻辑构建或算法设计的人来说，都是一本不可多得的参考手册。

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我最近刚接触了微积分，感觉这本书在处理极限和导数这些基础概念时，处理得非常精妙。它没有直接跳到复杂的 $epsilon-delta$ 定义，而是先通过动态过程的描述，比如河流流量的变化或者一个物体运动的速度，来直观地建立起“变化率”和“无限接近”的概念。我特别欣赏作者在引入定积分时所采用的“分割与求和”的几何解释，配合着插图，即便是初学者也能迅速抓住其核心思想。最让我印象深刻的是关于泰勒级数的部分，书里用一系列精美的动画演示（虽然是文字描述的，但想象空间很大）展示了不同阶数多项式如何一步步逼近复杂函数，那感觉就像是在观看一幅动态的数学画卷徐徐展开。这本书的排版也极为清爽，大量留白使得重点公式和定理非常突出，阅读体验极佳，长时间阅读也不会感到视觉疲劳。对于想真正理解微积分内涵而非仅仅应付考试的学生来说，这无疑是一本宝藏。

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这本关于概率论与数理统计的著作，彻底颠覆了我对随机事件的看法。我之前总觉得概率论就是抛硬币、掷骰子，非常机械。但这本书的厉害之处在于，它把很多看似随机的现象，比如金融市场波动、生物种群增长等，都纳入到了严谨的数学框架内进行探讨。作者在讲解大数定律和中心极限定理时，没有使用过多艰深的数学符号，而是通过大量的模拟实验结果图表来佐证理论的可靠性。我记得有一章专门讨论了贝叶斯推断在现代医学诊断中的应用，通过一个具体的病例分析，我理解了先验信息是如何被新的观测数据不断修正和强化的。这本书的写作风格非常严谨，每一个结论都有据可依，但同时又充满了启发性，它教会我的不仅仅是计算概率，更重要的是如何在不确定性中做出合理的决策和判断，这对于我未来从事数据分析工作至关重要。

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这本书在处理高维空间和向量分析时展现了极高的叙事能力。我过去在学习这些内容时，总是受限于三维空间的直观想象而感到思维受阻。然而，作者巧妙地运用了投影、切片和坐标变换等一系列几何工具，将那些抽象的四维甚至更高维的几何对象，转化为一系列可操作的代数表达式。例如，在讲解偏导数时，书中不是简单地给出定义，而是将其描述为“在某一特定方向上的瞬时变化率”，并辅以地形图上等高线密度的类比。关于梯度和散度的介绍也尤其精彩，它们不再是孤立的向量场运算，而是被赋予了“信息流动方向”和“密度发散程度”的物理意义。这本书成功地将复杂的多元微积分概念，还原成了可以触摸和理解的物理直觉，极大地提升了我对场论和物理建模的兴趣和信心。它无疑是一本将理论深度与教学广度完美结合的典范之作。

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