科学计算中的计算机代数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Ganzha, Victor G.; Mayr, Ernst W.; Vorozhtsov, Evgenii V.

出品人:

页数:312

译者:

出版时间:2006-12

价格:542.40元

装帧:

isbn号码:9783540451822

丛书系列:

图书标签:

• 科学计算
• 计算机代数
• 数值分析
• 符号计算
• 数学软件
• 算法
• 高等数学
• 工程计算
• Maple
• Mathematica

计算机代数在工程与科学计算中的前沿应用与方法论 图书简介 本书系统梳理了当代计算机代数（Computer Algebra, CA）系统在解决复杂科学计算与工程问题中的核心理论、算法实现及其前沿应用。它旨在为高等院校的理工科学生、科研工作者以及工业界的工程师提供一套深入且实用的知识体系，以期推动高精度数值计算、符号推导与模型验证的交叉领域发展。 本书内容并非聚焦于某一特定领域的计算工具书，而是着重于通用计算范式和方法论的构建。全书结构围绕“理论基础—核心算法—应用拓展”的逻辑展开，力求在抽象的数学理论与具体的工程实践之间搭建坚实的桥梁。 第一部分：符号计算的数学基础与算法核心 本部分奠定了计算机代数系统的理论基石，侧重于代数结构、多项式算法与Groebner基理论的精确描述。 1. 抽象代数在计算中的映射 深入探讨了域（Field）与环（Ring）的构造对计算复杂度的影响。重点分析了有限域（如Galois域）在编码理论和快速傅里叶变换（FFT）中的高效性，以及无理数域扩张如何影响解析解的表示精度。讨论了超越域和代数域的精确表示方法，区别于传统的浮点数逼近。 2. 多项式运算的效率优化 详细解析了多变量多项式的基本运算——加、减、乘、除的算法细节。特别关注了多项式乘法的快速算法，如Schönhage-Strassen算法在超大系数多项式中的应用潜力。对于多项式除法，引入了基于多点求值（Multi-point Evaluation）和插值（Interpolation）的策略，以规避直接长除法的计算瓶颈。 3. Groebner基理论与方程组求解 这是符号计算的核心模块之一。本书提供了Groebner基（Gröbner Bases）从概念到构造的完整推导，包括Buchberger算法的详细步骤和优化技巧。重点阐述了Groebner基如何用于判定多项式理想的性质（如零维性、素性），以及如何将其应用于求解非线性多项式方程组。讨论了F4和F5算法在处理稀疏系统时的性能优势和内存管理挑战。 4. 代数微分方程与算子演算 介绍了微分代数（Differential Algebra）的基本概念，包括微分环的构造。分析了微分算子的代数表示，如微分环上的多项式表示。重点讲解了如何利用算子方法求解线性常微分方程（ODE）的精确解，以及在积分方程（如Volterra方程）中的应用框架，但不涉及具体的特定积分核函数的求解。 第二部分：高精度数值与混合计算范式 本部分探讨了符号方法与数值方法的结合，以及在处理不可解析或计算成本极高的模型时的策略。 5. 泛函分析与解析延拓 从计算的角度审视了收敛性分析。书中探讨了级数展开（如泰勒级数、洛朗级数）的截断误差分析，并引入了拉普拉斯逆变换的数值重构算法，如Steensens法和Crump法，关注其在处理奇异性附近的稳定性。此部分不深入物理背景，而是侧重于确保计算结果的数学精确性。 6. 算法的复杂性分析与并行化 对核心算法（如多项式乘法、矩阵求逆的符号版本）的时间复杂度进行了严格的渐近分析（Big O notation）。讨论了如何利用分布式内存架构或共享内存并行化技术来加速大规模代数系统的求解，如利用Schur补或分治策略对矩阵运算进行分解，但不涉及特定的并行编程模型（如MPI或OpenMP）的实现细节。 7. 计算机代数在模型简化中的角色 探讨了如何利用符号推导工具来化简复杂的物理模型，如高阶非线性微分方程组的降阶或模态分离。重点在于提取模型中的不变式和守恒量，以便后续的数值模拟能在一个更低维、更鲁棒的子空间中进行。讨论了通过最小二乘拟合或符号回归（Symbolic Regression）发现潜在解析关系的方法论。 第三部分：高级主题与应用框架的构建 本部分将视野拓展至更复杂的数学结构及其在特定工程领域中的抽象建模能力。 8. 计算机群论与组合数学 从计算角度审视了有限群的结构。介绍了群表示论在优化问题中的应用潜能，特别是轨道-稳定子定理在计数问题中的应用。分析了利用矩阵群进行状态空间变换的计算效率。本书不涉及具体的群论证明，而是强调如何将群结构编码为数据结构以加速搜索和验证过程。 9. 拓扑数据分析的计算框架 本书简要介绍了持久同调（Persistent Homology）的计算挑战。侧重于如何利用邻接矩阵和简化算法（如Smith Normal Form）来计算一组点云数据的贝蒂数（Betti Numbers），从而揭示数据的内在拓扑特征。分析了计算复杂度随数据规模增长的变化趋势。 10. 符号积分与特殊函数 详细讨论了Risch算法的理论框架及其在求解初等函数积分中的应用局限性。重点讲解了如何利用Hypergeometric函数和Meijer G-函数来表示和计算那些缺乏简单初等解的积分。介绍了自动求积规则的符号推导过程，即如何从积分核推导出最优的节点和权重公式。 11. 符号微分在敏感性分析中的应用 本书探讨了如何精确计算高阶导数，这对敏感性分析至关重要。对比了有限差分法（有限元方法的基础）和精确符号导数在计算稳定性和精度上的差异。着重分析了自动微分（Automatic Differentiation, AD）的两种模式（前向和反向）的代数结构基础，以及它们与传统符号计算的互补关系。 本书的最终目标是训练读者超越对特定软件（如Maple或Mathematica）的依赖，掌握驱动这些软件底层计算的通用、高效的代数算法，从而能够设计出解决前沿科学和工程挑战的新型计算方法。

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这本书的语言风格真是让人耳目一新，完全打破了我对传统理工科教材那种干巴巴、只重结论的刻板印象。作者在阐述那些原本应该非常枯燥的数学原理时，仿佛在进行一场精心设计的对话，字里行间透露出一种对学科的热爱和一种幽默的洞察力。我记得有一次我被一个复杂的积分变换卡住，正准备放弃时，翻到那一页，作者用了一个非常贴近生活的比喻来解释其背后的物理意义，瞬间茅塞顿开。这种叙事方式极大地降低了阅读的门槛，特别是对于那些初次接触计算方法领域的人来说，它提供了一个非常友好的入口。很多公式的推导过程被拆解得极其细致，每一步的逻辑衔接都考虑到了读者的可能困惑点，并在脚注或侧栏中提供了历史背景或替代方案的讨论。这使得阅读过程不再是一种被动接收信息的过程，而更像是在与一位经验丰富的导师进行深入的交流，这种亲近感在严肃的技术读物中是十分难得的。它让冰冷的算法也拥有了“人情味”。

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我通常阅读技术书籍，最怕的就是“理论和实践脱节”的问题，很多书写了大量的公式，却不知道如何在实际问题中落地应用。然而，这本书在这方面做得非常到位，它不仅仅停留在“是什么”的层面，更着力于“怎么做”的环节。在每一个重要算法的讲解之后，作者几乎都会附带一个或多个精心挑选的案例研究。这些案例的选择非常具有代表性，涵盖了从物理模拟到优化问题的不同场景。更棒的是，书中的示例代码虽然没有直接放在正文，但其清晰的结构和详尽的注释，使得读者完全可以根据书中的指导，在自己的环境中重现并修改这些计算流程。我尝试着跟着书中的步骤搭建了一个简单的求解器，发现整个过程的流畅性和可验证性都非常高。这不仅仅是学习知识，更是学习一套系统解决问题的思维模式。对于那些希望将理论知识转化为实际生产力的工程师或研究人员来说，这本书提供的这种实操层面的指导价值，是无可替代的。

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这本书在对不同计算范式进行比较时展现出的广度和深度，令人印象深刻。它没有偏袒任何一种特定的技术栈或编程语言，而是以一种非常中立和客观的视角，去分析每种方法的优缺点、适用范围以及计算复杂度的权衡。例如，它对符号计算引擎和数值计算方法的交汇点进行了深入的探讨，这往往是很多入门级教材会避开的灰色地带。通过对比，我清晰地认识到，在某些需要高精度和可解释性的场景下，符号方法依然具有不可替代的价值，而在处理大规模、近似解的问题时，高效的数值算法又是首选。这种全景式的视野，帮助我跳出了过去局限于单一工具的思维定势。阅读过程中，我感觉自己像是站在一个高台上俯瞰整个计算科学的版图，不仅了解了各个山头的具体地形，也明白了它们之间是如何相互连接、相互影响的。这种宏观层面的认知提升，远超出了单纯掌握某个具体算法的技能提升。

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这本书的封面设计非常吸引人，那种深沉的蓝色调，配上简洁的几何图形，一下子就让人联想到严谨而深邃的数学世界。我拿起它的时候，首先感受到的是纸张的质感，厚实且略带纹理，翻页时那种沙沙的触感，让人感觉这是一本真正用心制作的工具书。书脊上的字体清晰有力，即使放在书架上远看，也能分辨出它作为一本专业著作的地位。我本来是抱着学习一些新工具的心态去翻阅的，但光是看到目录的排版和章节的命名方式，我就知道这本书的作者在组织内容上花了不少心思。它不像有些技术书籍那样堆砌术语，而是采用了非常清晰的逻辑结构，从基础概念的引入，到复杂算法的剖析，层层递进，让人有一种被引导着逐步深入的感觉。特别是其中对于某些核心概念的配图，选择的角度非常巧妙，能够帮助读者快速建立起抽象思维与具体实现之间的桥梁。可以说，在尚未深入阅读具体内容之前，仅仅是这本书的物理形态和初步的结构概览，就已经给了我一个极佳的阅读期待，它散发出的那种专业、沉稳的气息，让人迫不及待想探究其中蕴含的知识宝藏。

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让我特别欣赏的是这本书对于“计算效率”和“算法稳定性”这两个核心质量指标的执着探讨。很多教材会满足于展示一个算法的正确性，但这本书却把重点放在了如何在有限的计算资源下，让这个算法跑得更快、结果更可靠上。作者似乎对计算资源的瓶颈有着深刻的体会，详细分析了诸如矩阵分解过程中的内存访问模式优化，以及迭代法中收敛速度与误差控制的精妙平衡。读到关于误差传播和病态问题处理的那几章时，我深感震撼，作者没有简单地提供一个“黑箱”解决方案，而是深入剖析了为什么某些输入数据会导致灾难性的输出，并提供了多重验证和修正的策略。这种对“鲁棒性”的强调，体现了作者作为资深专家的严谨态度。它教会我的不仅仅是如何运行一个程序，更重要的是，如何在程序出错或结果存疑时，具备诊断和修复问题的专业能力，这对于任何严肃的科学计算工作者来说，都是至关重要的“内功”。

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