Scissors Congruences, Group Homology and Characteristic Classes pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Johan L. Dupont

出品人:

页数:168

译者:

出版时间:2001-2-26

价格:USD 52.00

装帧:Paperback

isbn号码:9789810245085

丛书系列:Nankai Tracts in Mathematics

图书标签:

• 代数拓扑
• 同调论
• 剪刀全等
• 特征类
• 群论
• 代数几何
• 微分几何
• 拓扑
• 数学
• 抽象代数

图书名称：《拓扑学中的现代几何结构：从流形到同调理论》 图书简介 本书深入探讨了现代微分拓扑学和代数拓扑学中的核心概念与前沿研究方向，旨在为读者提供一个全面且深入的视角，理解几何对象如何通过代数工具进行刻画和分析。本书的重点在于构建和应用高级拓扑不变量，展示它们在理解空间结构、分类几何形变以及解决几何难题中的强大能力。 第一部分：微分流形与纤维丛的基础 本书的开篇奠定了微分拓扑学的基石。我们首先回顾和深化了微分流形的概念，不仅涵盖了光滑结构和切空间，更着重于黎曼几何的引入。通过对黎曼度量、测地线和曲率的细致分析，读者将领略到流形上的局部几何信息如何通过张量场得到精确描述。重点讨论了曲率张量（如里奇曲率和斯卡拉曲率）在刻画流形整体几何性质中的关键作用。 随后，本书将视角转向流形上的向量丛和主丛。纤维丛的概念被视为连接局部几何与整体拓扑的桥梁。我们详细介绍了切丛、余切丛以及一般的向量丛的构造，并着重阐述了联络（Connection）的几何意义。联络不仅是微分形式的“导数”概念的推广，更是定义协变导数、平移以及决定曲率的关键工具。李群及其李代数的理论被引入，用以理解主丛上的结构群作用，为后续引入特征类奠定代数基础。 第二部分：代数拓扑的工具箱：奇异同调与上同调 本书的第二部分转向代数拓扑的语言，侧重于奇异同调与上同调理论的构造及其在几何分析中的应用。我们详细阐述了奇异链复形、欧多尔同调理论的建立过程，并严格证明了迈耶-维托里斯（Mayer-Vietoris）序列，展示了如何通过分解复杂空间来计算其同调群。同调群被视为空间“洞”的数量和维度的代数描述。 紧接着，我们深入讲解了上同调理论。通过定义链复形的对偶空间，我们导出了上同调群。与同调相比，上同调更富于代数结构，特别是环结构。本书详细介绍了上积（Cup Product）的定义及其对空间上拓扑结构的深刻洞察。上积的结合律——与迈耶-维托里斯序列的结合——使得上同调成为一个强大的代数不变量，能够区分在同调群上无法区分的空间。 第三部分：纤维丛上的特征类理论 本书的核心部分在于特征类的构建及其在流形分类中的应用。特征类是定义在纤维丛上的截面，它们是丛的结构群同态作用下保持不变的拓扑不变量。我们将特征类分为不同的家族，分别考察它们的构造方法。 首先，我们引入了庞加莱对偶性，将上同调类与流形上的子流形（通过其庞加莱对偶）联系起来，为理解特征类在流形上的积分奠定基础。 随后，我们详细构建了陈类（Chern Classes）。针对复向量丛，我们利用德拉姆上同调与纤维丛上的联络，通过陈-西蒙斯（Chern-Simons）构造（或更基础的，利用曲率形式），定义了第一陈类 $c_1$ 和全陈类 $c(E)$。我们证明了陈类的定义独立于联络的选择（上同调中的不变性），并阐述了陈类的下降性质。 我们还探讨了与实向量丛相关的斯蒂费尔-惠特尼类（Stiefel-Whitney Classes）。这些类直接源于施蒂费尔-惠特尼上同调，它们在区分实向量丛的分类空间中起着至关重要的作用。 最后，本书讨论了庞加莱-贝蒂数与欧拉示性数之间的深刻联系。通过黎曼-胡尔维茨公式和阿蒂亚-辛格指标定理的预备知识，我们展示了特征类如何与流形上的微分算子（如拉普拉斯算子）的谱性质相关联，预示了更深层次的几何与分析的统一。 第四部分：拓扑结构与空间分类 本书的最后一部分将所学的工具应用于拓扑空间的分类问题。我们讨论了拓扑空间同胚分类的难度，并转而关注微分同胚和稳定同胚。 我们引入了稳定纤维丛的概念，并阐述了布朗-塞默尔定理的拓扑推论，即稳定纤维丛的分类可以通过特定的拓扑空间上的纤维丛来完成。本书详细分析了如何利用特征类来区分不同维度的球面上的切丛，展示了例如球面上的非平凡切丛的存在性（如球面上的处处非零向量场不存在的直观解释）。 此外，本书还简要回顾了Hopf不变量及其在高维球面上的应用，展示了如何通过上同调环的结构来区分同伦等价但不微分同胚的空间。 目标读者与特色 本书为高等数学研究生、博士后研究人员以及致力于微分几何、拓扑学和理论物理的专业人士设计。它假定读者已掌握扎实的微分学、线性代数和基础代数拓扑（如基本群、单纯同调）知识。本书的特色在于其严谨的代数推导与清晰的几何洞察的结合，通过大量详细的例子和构造性的证明，引导读者真正掌握现代几何拓扑学的核心语言。本书致力于构建一座坚实的桥梁，连接经典几何与现代拓扑学中那些相互交织的深刻结构。

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翻阅此书，我仿佛置身于一个由抽象概念编织而成的迷宫，而作者手中的指南针，精准而可靠。该书的叙述风格，与其说是教科书式的说教，不如说是同行间的深入交流，充满了数学家特有的严谨与对美的追求。它对那些在现代数学物理中扮演核心角色的理论工具的梳理，展现出一种罕见的洞察力。特别是对某些关键定理的证明，不仅详尽无遗，更注重挖掘其背后的几何意义和代数动机，使得复杂的推理过程变得可以把握。这种“知其所以然”的教学理念，对于希望真正掌握这些工具，而非仅仅停留在应用层面的读者来说，具有无与伦比的价值。整本书的排版和逻辑推进都显得极为考究，似乎每一个章节的安排都经过了深思熟虑，确保读者在心智成熟的顺序上逐步攀登知识的高峰。

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这是一部严肃的数学著作，它毫不掩饰自己对读者智力水平的要求，但同时，它也给予了读者最充分的支持去迎接这些挑战。书中对于某些核心构造的几何化解释，令人拍案叫绝，彻底颠覆了我过去对此类问题的刻板印象。作者似乎有一种将“抽象”转化为“可见”的神奇能力，这种能力是通过对细节的极致关注和对整体结构的敏锐把握来实现的。与其他同类书籍相比，它的深度和广度达到了一个令人信服的平衡点，既没有为了简化而牺牲关键的严谨性，也没有因为追求完备而陷入晦涩难懂的泥沼。阅读此书，与其说是在学习，不如说是在进行一场智力上的远征，起点是已知的概念，终点则是对数学世界更深层次法则的领悟。

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这本书给我带来的震撼，更多来自于其对数学美学的极致体现。它不仅仅是关于“如何计算”或者“如何证明”的指南，它更像是对数学结构内在和谐性的一种颂歌。在阅读过程中，经常会遇到一些精妙的构造，它们在代数形式上似乎毫无关联，但一旦通过作者的视角审视，便会发现它们共享着同一种深刻的内在对称性。文字的组织带着一种古典的、近乎诗意的精确感，每一个句子都仿佛被反复打磨过，以去除所有冗余的赘述。这种高度凝练的表达方式，要求读者必须全神贯注，但回报是巨大的——读者将不仅学会知识，更将学会如何“思考”这些知识的本质。对于那些已经有一定基础，渴望达到更高层次理解的进阶读者，此书无疑是一剂强效的催化剂。

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坦白说，初接触这类主题时，常有一种无力感，仿佛面对着一座高耸入云的冰山，不知从何处着手。然而，这部作品以其独特的叙事节奏，巧妙地平衡了深度与可达性。它并没有回避那些公认的难题，但处理方式却极富策略性，先以较浅显的情境引入概念，待读者适应后，再逐步引入更复杂的框架和更一般的结论。这种循序渐进的教学设计，极大地降低了学习曲线的陡峭程度。我个人认为，其对连接不同数学分支的努力尤其值得称赞，它清晰地展示了表面上看似独立的理论模块是如何在更深层次上相互印证、彼此强化的。这种全景式的视野，是许多专注于单一领域的著作所不具备的，它提供了一种更宏观、更具整体性的理解视角。

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这部著作初窥门径，便觉其架构之宏大，内容之深邃，非等闲之作可比。作者似乎试图在拓扑学、代数几何以及更广泛的微分几何领域中架设一座坚实的桥梁，其笔触之细腻，对于概念的阐释可谓是鞭辟入里。我尤其欣赏其中对一些基础结构——比如纤维丛和联络——的深入探讨，这为后续理解更高深的理论奠定了极为稳固的基石。书中对于一些经典构造的推导过程，往往能以一种令人耳目一新的方式展现其内在的逻辑必然性，而非仅仅是公式的堆砌。读来如饮醇醪，初品甘冽，回味悠长，每每在困惑之处，作者总能适时地引入一个恰到好处的例子或类比，帮助读者穿透抽象的迷雾，直抵问题的核心。这无疑是一部需要反复研读、细细品味的教科书，它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的培养，引导读者以更具几何直觉的方式去审视那些看似纯粹的代数结构。

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