The Theory of 2-Structures pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Publishing Company

作者:Andrzej Ehrenfeucht

出品人:

页数:290

译者:

出版时间:1999-10

价格:373.00元

装帧:Hardcover

isbn号码:9789810240424

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• 结构理论
• 代数
• 图论
• 组合数学
• 离散数学
• 理论计算机科学
• 抽象代数
• 数学基础
• 拓扑学

《几何拓扑学基础：从欧几里得到流形》 简介 本书旨在为读者提供一个关于几何学和拓扑学核心概念的全面且深入的导论。我们从最基础的欧几里得几何学出发，逐步过渡到现代微分几何和代数拓扑学的关键思想。全书内容结构清晰，逻辑严谨，旨在构建一个扎实的理论框架，使读者能够理解这些看似抽象的数学分支是如何相互联系并应用于解决实际问题的。 第一部分：基础几何学的复兴与扩展 本部分聚焦于对经典几何学的重新审视和基础概念的奠定。 第一章：欧几里得空间与度量 我们从三维欧几里得空间 $mathbb{R}^3$ 开始，详细阐述向量空间、内积和范数的定义。重点讨论如何利用内积构造距离函数（度量），这是后续所有几何讨论的基石。我们将分析直线、平面以及更高维仿射子空间的性质，包括正交性、投影和距离计算的解析几何方法。引入齐次坐标系，为射影几何的探讨做准备。 第二章：非欧几何的兴起 本章将详细介绍非欧几何学的历史背景和基本结构。首先，深入分析希尔伯特对欧几里得公理体系的严谨化工作，特别是对平行公设的独立性论证。随后，我们将构建并分析罗巴切夫斯基（双曲）几何和黎曼（椭圆）几何的内在结构。通过角度亏格、三角形内角和与面积的关系，展示这些几何系统在结构上的根本差异。我们还将简要介绍克莱因的几何分类思想，即通过群论来定义几何结构。 第三章：基础度量空间理论 从更抽象的角度来看待“距离”，我们将正式引入度量空间 $(X, d)$ 的概念。本章涵盖开集、闭集、紧致性、完备性以及连续性的拓扑定义。重点分析完备度量空间中的巴拿赫不动点定理，并展示其在求解微分方程和分析函数空间中的应用。我们将探讨等距变换的概念，为后续的李群在几何中的作用埋下伏笔。 第二部分：微分几何的框架 本部分开始将代数工具应用于光滑函数和曲线的研究，进入微分几何的领域。 第四章：曲线与曲面的局部几何 本章专注于在 $mathbb{R}^3$ 中的曲线和曲面的微分几何。对于曲线，我们将详细推导并分析其弗雷内-塞雷（Frenet-Serret）公式，深入理解曲率和挠率的概念及其物理意义。对于曲面，我们将定义第一、第二基本形式，并推导出主曲率、高斯曲率和平均曲率。重点分析高斯绝妙定理（Theorema Egregium），揭示曲率在保持曲面等距变形下是如何被内蕴决定的。 第五章：微分流形入门 流形是现代几何的通用语言。本章介绍微分流形的严格定义，包括拓扑基础、坐标卡、以及最重要的概念——光滑结构（或称微分结构）。我们将定义浸入、商和乘积流形。着重分析切空间的概念，阐明切向量场作为微分算子的作用。 第六章：张量与微分形式 本章是连接几何与分析的关键。我们首先定义协变和逆变张量，并讨论它们在坐标变换下的行为。随后，引入微分 $k$-形式，并详细阐述外积（wedge product）的性质。重点分析微分的外导数 $mathrm{d}$ 算子，并证明 $mathrm{d}^2 = 0$ 的重要恒等式。这将自然地引向接下来的德拉姆上同调。 第七章：黎曼几何的基石 本章将度量概念提升到流形层面。定义黎曼度量张量 $g$，从而赋予流形长度、角度和体积的概念。我们将构建列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），证明其存在性和唯一性，并推导出克里斯托费尔符号。深入讨论测地线的概念——最短路径的推广——并通过测地线方程进行分析。黎曼曲率张量的定义及其与高斯曲率在二维情况下的联系是本章的核心成果。 第三部分：拓扑学的视角与工具 本部分侧重于研究在连续形变下保持不变的性质，即拓扑不变量。 第八章：基本拓扑空间与连续性 我们从集合论基础出发，严格定义拓扑空间。详细讨论开闭集、邻域、连续映射、拓扑积和商拓扑。紧致性、连通性的拓扑定义及其重要性质将被深入探讨。特别关注欧几里得空间中经典拓扑性质的推广。 第九章：同伦与基本群 本章引入代数拓扑学的第一个强大工具：基本群 $pi_1(X, x_0)$。我们将阐释路径、路径群、以及同伦等价的概念。通过计算圆周 $S^1$ 的基本群，展示如何用代数结构（如 $mathbb{Z}$）来区分拓扑空间。我们将讨论覆盖空间理论，并利用它来更系统地计算基本群。 第十章：德拉姆上同调与拓扑的联系 本章旨在统一第二部分和第三部分的思想。我们将定义德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$，它由微分 $k$-形式的闭性（$mathrm{d}omega = 0$）和正合性（$omega = mathrm{d}eta$）决定。我们将阐述德拉姆定理，该定理建立了微分形式代数结构与底层拓扑结构之间的深刻联系。通过计算简单的流形（如球面 $S^n$）的上同调群，展示其作为拓扑不变量的强大分类能力。 第十一章：更高级的拓扑不变量 本章概述了超越基本群的拓扑工具。简要介绍奇异同调理论（Simplicial and Singular Homology），解释其如何提供更精细的不变量。讨论欧拉示性数（Euler Characteristic）的定义，并展示它在拓扑曲面分类中的关键作用，如对紧致二维流形的分类（如亏格的计算）。 结论 全书在黎曼流形上的几何结构与流形上的微分形式代数结构之间搭建了一座坚实的桥梁。读者在完成本书的学习后，将不仅掌握欧几里得和非欧几何的精确表达，更将具备使用微分几何和代数拓扑工具来分析复杂空间结构的能力。本书的深度和广度确保了读者能够为进一步研究微分拓扑、广义相对论或几何分析打下坚实的基础。

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阅读这本著作的初期体验，更像是一次对思维边界的温柔却坚定的试探。作者在开篇部分展现出的那种近乎偏执的清晰度，着实令人印象深刻。他似乎并不急于抛出那些让人眼花缭乱的复杂公式，而是花费了大量的篇幅来构建一个坚实的概念框架。我尤其欣赏他对于“结构”一词的解构与重塑，那不是我们日常生活中常见的砖瓦堆砌，而更接近于一种本体论层面的探讨。书中引用的那些跨学科的例证，从古老的数学哲学探讨到现代拓扑学的最新进展，都处理得游刃有余，丝毫没有生硬的堆砌感。每次读完一个章节的论述，我都会忍不住合上书本，在房间里踱步许久，试图将那些抽象的图景在脑海中具象化。这种阅读过程中的“内化”体验，是很多信息密度不够的书籍所无法提供的。它迫使你停下来，去质疑你固有认知中的“连接”和“系统”的定义。

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坦白说，这本书的阅读曲线并非一帆风顺，尤其是在进入到第三部分，涉及高度抽象的数学推导时，我不得不放慢速度，甚至需要借助外部资料来辅助理解那些符号逻辑的意义。但这并非缺陷，反而体现了作者的学术诚意——他没有为了迎合大众而稀释核心内容。我注意到作者在处理复杂证明时，总会穿插一些非常精妙的比喻，这些比喻如同黑暗中的探照灯，虽然光束范围有限，却能精准地照亮当前最晦涩的那个角落。比如，他将某种高维度的映射过程比作是“在一张被拉伸的橡皮膜上绘制的影子游戏”，这个形象的比喻立刻让那个原本冰冷的公式活了起来。这种叙事上的张弛有度，使得整本书保持了一种令人敬佩的平衡感，既有理论的严谨性，又不失人文的温度。

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这本书的行文风格有一种古典学者的风范，措辞精确，用词严谨，偶尔会冒出一些晦涩难懂的术语，但每一次术语的出现，都会伴随着详尽的脚注或侧边解释，极大地降低了初读者的阅读门槛。我发现自己开始习惯于在阅读过程中频繁地查阅那些被作者刻意嵌入的“历史参照点”，这些参照点如同散落在知识旷野中的路标，指引着我理解当前论断的来龙去脉。有那么一小段落，我读了不下五遍，因为它描述了一个关于“非线性递归”的场景，初看之下似乎与我的专业背景（假设是应用物理学）风马牛不相及，但细细品味后，才猛然惊觉其背后蕴含的普适性原理。这种醍醐灌顶的感觉，是阅读真正优秀学术著作时才能体会到的独特乐趣，它拓宽了知识的维度，让你开始用全新的视角去审视手头正在进行的工作。

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这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，那种深邃的蓝色调搭配上烫金的字体，让人立刻感受到一种沉甸甸的学术气息。我是在一家独立书店偶然翻到的，一开始只是被它封面上那复杂的几何图形所吸引，那些线条的交织和重叠，仿佛在暗示着某种超越日常理解的结构。拿到手里掂量了一下，厚度就知道这不是一本轻松的读物，纸张的质感也相当不错，读起来有一种沙沙的触感，很适合沉下心来慢慢品味。内页的排版非常考究，无论是引文的格式还是图表的清晰度，都显示出出版方在制作上的用心。我花了几天时间来适应它的阅读节奏，这本书的体例结构非常严谨，每一章的逻辑递进都像是精密仪器上的齿轮咬合，环环相扣，不容许丝毫的跳跃。虽然我还没有完全深入到核心理论部分，但仅从其外在的构建和呈现方式，就能预见到这是一部需要投入大量精力去消化的重量级作品。它的存在本身，就好像是书架上的一座知识的里程碑，无声地昭示着研究的深度和广度。

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读完这书的感受，更像是一场智力上的“长途跋涉”，而不是一次轻松的“周末漫步”。它带来的满足感并非即时的，而是需要时间来沉淀、消化和反刍的。这本书的价值，不在于它是否能直接提供一个立竿见影的解决方案，而在于它提供了一种全新的、极具穿透力的思维工具箱。它教会你如何去质疑“结构”的边界，如何用更精细的网去捕捉现实世界中那些稍纵即逝的关联。我现在看待任何复杂的系统——无论是生物的神经网络，还是大型的社会经济模型——都会不自觉地套用书中某些分析的框架。这本书已经超越了一本纯粹的理论专著，它更像是一次对思维模式的系统升级，一次对自身认知局限性的有力挑战。我确信，在未来的很长一段时间里，我都会不断地从中汲取出新的理解和启示。

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关于modular decomposition的内容很有趣。但用一种很混蛋的2-structures来描述使得本书非常晦涩难懂。为了抽象而抽象，结果失去了意义。

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