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出版者:北京师范大学出版社

作者:Oртогоральные ряды

出品人:

页数:491

译者:

出版时间:2007-11

价格:55.00元

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isbn号码:9787303084548

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《正交级数》：数学之美的探索之旅 数学，这门古老而又充满活力的学科，以其严谨的逻辑、抽象的符号和深邃的智慧，描绘着宇宙的秩序与规律。在这浩瀚的数学海洋中，级数以其独特的魅力，吸引着无数探求者。而“正交级数”，更是其中一个极其重要且富饶的研究领域，它如同数学的璀璨明珠，闪耀着智慧的光芒，揭示着函数之间微妙而深刻的联系。 本书《正交级数》并非一本简单的定义与公式的堆砌，它更是一场引人入胜的探索之旅，带领读者深入理解正交级数的核心概念、理论精髓及其在各个领域的广泛应用。它旨在为读者构建一个清晰、系统的知识框架，从最基础的概念出发，逐步攀登至高阶的理论，最终领略正交级数在现代科学技术中扮演的关键角色。 第一章：奠基石——函数的概念与性质 在踏入正交级数的神圣殿堂之前，我们首先需要巩固对“函数”这一基本数学对象的理解。本章将从函数的定义出发，深入探讨函数的连续性、可微性、可积性等重要性质。我们将回顾经典的函数类型，如多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等，并重点关注它们在不同定义域上的行为表现。 此外，本章还将引入“完备性”和“可分性”等概念，这些概念在理解正交基和级数收敛性方面起着至关重要的作用。通过对这些基础概念的深入剖析，读者将为后续的学习打下坚实的基础，确保能够更清晰地理解正交级数的内在逻辑。 第二章：核心概念——内积空间与正交性 正交级数的核心魅力在于“正交性”。本章将深入介绍“内积空间”这一抽象但极其强大的数学结构。内积是向量空间的一种广义化，它允许我们定义向量的“长度”和向量之间的“夹角”，从而将几何中的“垂直”概念推广到更广泛的空间。我们将详细阐述实数域和复数域上的内积空间，并介绍一些常见的内积定义。 在此基础上，我们将正式引入“正交性”的概念。两个向量（或函数）在内积下为零，则称它们正交。我们还将讨论“正交向量组”和“正交归一向量组”（即标准正交基）。标准正交基的重要性在于，它能够将任何一个向量（或函数）分解为一系列具有特定系数的基向量（或基函数）的线性组合，这种分解具有极强的简洁性和唯一性。本章还将通过生动的例子，帮助读者直观理解正交性的几何意义。 第三章：构建之路——正交级数 有了内积空间和正交性的坚实基础，本章将正式引入“正交级数”这一核心概念。我们将阐述如何构建一个正交级数，即如何选择一个标准正交基，并将一个函数展开为该标准正交基的线性组合，系数由内积计算得出。 我们将重点介绍几种最经典也是最重要的正交级数： 傅里叶级数 (Fourier Series)：这是正交级数中最具代表性也是应用最广泛的一种。傅里叶级数将周期函数展开为一系列三角函数的线性组合（正弦和余弦函数）。本章将详细介绍傅里叶级数的定义、收敛性定理（如狄利克雷条件），以及其在信号处理、图像分析等领域的神奇应用。我们将探讨傅里叶级数在不同周期下的形式，以及其在函数逼近中的作用。 勒让德级数 (Legendre Series)：勒让德级数将函数展开为一系列勒让德多项式的线性组合。勒让德多项式在描述球对称性问题时尤为重要，常在物理学中的势论、量子力学等领域出现。本章将介绍勒让德多项式的性质及其递推关系，并阐述勒让德级数的展开方法。 切比雪夫级数 (Chebyshev Series)：切比雪夫级数使用切比雪夫多项式作为基函数。切比雪夫多项式在逼近理论和数值分析中有着独特的优势，例如在最小二乘逼近和最佳逼近问题中扮演重要角色。本章将介绍切比雪夫多项式的分类（第一类和第二类）及其性质，并探讨切比雪夫级数的展开与收敛性。 其他正交级数：除了上述几种经典级数，本章还将简要介绍其他一些重要的正交级数，如拉盖尔级数 (Laguerre Series)、埃尔米特级数 (Hermite Series) 等，并提及它们的应用领域，以拓宽读者的视野。 第四章：深度分析——收敛性与逼近 正交级数的强大之处在于它能够将复杂的函数“分解”并“逼近”。本章将深入探讨正交级数的收敛性问题，这是理解其理论的基石。我们将详细讨论不同条件下级数的收敛性，例如点点收敛、一致收敛、在 $L^2$ 空间中的收敛等。 收敛定理：我们将介绍并证明一些重要的收敛定理，如傅里叶级数的收敛性定理。理解这些定理能够帮助我们判断一个函数是否可以用正交级数进行表示，以及表示的精确度。 函数逼近：正交级数的最重要应用之一是函数逼近。本章将探讨如何利用正交级数的有限项来近似一个函数，并分析逼近的误差。我们将介绍“最佳逼近”的概念，即在给定基函数集合下，用级数的有限项逼近函数时，能使误差最小化的方法。 均方收敛：在 $L^2$ 空间中，正交级数的收敛性具有特殊的意义，称为均方收敛。本章将详细阐述均方收敛的概念及其重要性，特别是在处理非连续函数时，均方收敛的意义更加凸显。 第五章：实践之道——应用领域 数学理论的价值最终体现在其应用之中。本章将带领读者领略正交级数在各个尖端科学技术领域的广泛应用，让读者真切体会到数学的实用性和力量。 信号处理与通信：傅里叶级数是信号分析和处理的基石。从音频信号的压缩与去噪，到无线电波的传输与接收，正交级数都在其中发挥着至关重要的作用。我们将介绍如何利用傅里叶分析来理解信号的频率成分，以及如何通过滤波器来改变信号的特性。 图像处理与压缩：二维傅里叶变换是图像处理的核心技术之一。本章将介绍如何将图像分解为一系列二维正交基函数的线性组合，从而实现图像的滤波、增强、压缩等操作。例如，JPEG 图像压缩算法就广泛使用了离散余弦变换（DCT），而 DCT 可以看作是傅里叶变换在离散信号上的变种。 偏微分方程的求解：在物理学和工程学中，许多重要的现象都由偏微分方程描述。正交级数，特别是傅里叶级数和傅里叶变换，是求解某些类型偏微分方程（如热方程、波动方程）的重要工具。本章将介绍如何利用正交级数将偏微分方程转化为一系列常微分方程，从而简化求解过程。 量子力学：在量子力学中，波函数通常需要用一套完备的正交归一基函数（如能级算符的本征函数）进行展开。这些展开本质上就是正交级数。本章将简要介绍量子力学中正交级数的作用，例如在薛定谔方程的求解中。 数值分析与逼近理论：如前所述，切比雪夫级数在数值分析和函数逼近领域有着重要地位。本章将进一步探讨如何利用正交级数来近似复杂的函数，从而简化计算，提高算法的效率和精度。 第六章：进阶探索——特殊函数与特殊问题 本章将进一步深化对正交级数的研究，触及一些更专业和更具挑战性的内容。 傅里叶变换 (Fourier Transform)：与傅里叶级数处理周期函数不同，傅里叶变换能够将非周期函数分解为连续的频率分量。本章将介绍傅里叶变换的定义、性质以及其与傅里叶级数的关系。 拉普拉斯变换 (Laplace Transform)：拉普拉斯变换是另一个强大的积分变换工具，在求解常微分方程和系统分析中应用广泛。本章将介绍拉普拉斯变换的基本性质及其与傅里叶变换的联系。 积分变换在工程中的应用：本章将集中探讨积分变换（包括傅里叶变换和拉普拉斯变换）在电路分析、控制系统、信号滤波等工程领域的具体应用案例，展示其解决实际问题的能力。 特殊函数与正交性：一些特殊的数学函数，如贝塞尔函数、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式等，本身就构成了一组正交函数系。本章将简要介绍这些特殊函数，并阐述它们在不同数学和物理问题中的应用。 结语 《正交级数》一书，力求将深奥的数学理论以清晰、系统、富有逻辑的方式呈现给读者。通过对函数基础、内积空间、正交性概念的深入讲解，再到各种经典正交级数的剖析，以及对收敛性、逼近理论的细致讨论，最后以丰富的应用领域作为点缀，我们希望能够激发读者对数学，特别是对正交级数这一领域的兴趣和热情。 无论您是数学专业的学生，还是对科学技术充满好奇的爱好者，亦或是需要在实际工作中运用数学工具的工程师，本书都将为您提供宝贵的知识财富。它不仅是一本学习正交级数的教材，更是一扇通往数学之美、智慧之光的大门。希望通过这本书，您能够领略到数学的严谨逻辑、抽象之美，以及它在塑造我们所处世界中所扮演的不可或缺的角色。

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这本《正交级数》的阅读体验，简直就像是走进了一个由无限可能构筑的迷宫，每一个转角都藏着令人屏息的美景。初读时，我原以为这会是一本枯燥的数学专著，充斥着密密麻麻的符号和严苛的逻辑推导。然而，作者的笔触却出人意料地轻盈而富有画面感。他没有直接将那些复杂的理论砸向读者，而是巧妙地构建了一个个生活化的场景，将抽象的函数空间具象化为声波的振动、光线的衍射，甚至是市场波动的预测模型。我尤其欣赏作者在阐述傅里叶级数收敛性时所采用的比喻——将任何不规则的信号想象成不同音高的纯音的叠加，这种类比极大地降低了理解的门槛。书中对于收敛速度的讨论，不再是冷冰冰的数学不等式，而是与实际工程中的误差控制紧密结合，让人深刻体会到理论与实践之间的桥梁是如何搭建起来的。那种茅塞顿开的感觉，仿佛是尘封已久的乐高积木突然找到了正确的拼装图纸，每一块知识点都完美契合，构建出一个宏大而和谐的结构。这本书的价值，不仅在于传授知识，更在于培养一种将复杂问题分解、重构的思维方式，这对我目前从事的信号处理工作来说，无疑是如虎添翼的指引。

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这本书的装帧和排版处理也值得称赞，这对于一本需要长时间面对的专业书籍来说至关重要。《正交级数》的纸张选择偏向哑光，有效减少了长时间阅读带来的视觉疲劳，这一点对于需要对照推导的读者非常友好。更重要的是，作者在关键公式的呈现上非常克制，他没有把整个页面塞满公式，而是利用大量的留白和清晰的段落划分，让重要的数学表达式有足够的“呼吸空间”。比如，当介绍贝塞尔不等式时，公式被置于一个单独的段落中，并配以简短的文字解释其几何意义，而不是像某些书籍那样被埋没在一堆证明步骤中。另外，书中附带的那些“拓展阅读”和“历史注脚”虽然不属于核心内容，却极大地丰富了阅读体验，它们巧妙地穿插在章节之间，介绍例如欧拉与傅里叶的争论等历史轶事，这些软性内容让原本可能略显生硬的知识点变得有血有肉，充满了人文学科的色彩。总而言之，这是一本在内容深度、逻辑清晰度以及阅读友好性上都达到了极高水准的优秀著作。

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说实话，市面上关于级数展开的书籍汗牛充栋，但大多数都停留在公式的罗列和定理的证明上，缺乏一种贯穿始终的“哲学”思考。而《正交级数》这本书最让我感到震撼的，是它对“分解”这一数学行为的深刻哲学探讨。作者似乎在不断地追问：我们是否能用最基础、最纯粹的“组件”来完美描述一个复杂的整体？正交性，在这里不再仅仅是一个技术工具，而成为了一种对世界本质进行拆解和理解的终极语言。书中的案例选择非常独到，从经典的三角函数展开到现代的小波分析（虽然小波分析只是作为展望提及，但极大地拓宽了视野），都围绕着“正交基”这一核心概念展开。特别是对L2空间中函数逼近的讨论，作者通过对比不同基函数在信息熵和计算复杂度上的表现，引发了我对于“什么是好的表示方法”的深思。这种将数学理论与信息论、甚至认知科学边缘概念相结合的尝试，使得这本书的层次感远远超越了一本单纯的数学工具书。它像一位博学的导师，不仅告诉你如何计算，更引导你去思考为什么我们必须以这种方式去计算。

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坦白说，我对这类偏向理论深度的书籍向来敬而远之，总觉得它们是高高在上的理论“象牙塔”，与我的日常工作相去甚远。但是，《正交级数》这本书的叙事节奏和内容组织，却牢牢抓住了我的注意力，让我这个“非科班出身”的工程师也能够跟上节奏。它不像有些教材那样，把所有的基础知识堆积在前面，让人在开篇就感到窒息。作者显然深谙“循序渐进”的艺术，他首先花了相当大的篇幅去探讨向量空间的内积定义，用几何直觉去铺垫“正交”这一核心概念的意义，这种处理方式非常高明，因为它首先建立了直观的画面感，让读者不再畏惧那些高维度的抽象。接下来的内容，如勒让德多项式和切比雪夫多项式，作者通过将其应用到数值逼近和最小二乘问题中，立刻展示了其强大的实用价值。我印象最深的是其中关于函数空间投影的几何解释，那一段的插图简洁而富有启发性，让我瞬间理解了为什么在有限维空间中，我们可以用正交基来表达任意向量，这种对“最佳近似”的数学表达，是如此优雅而有力。这本书的魅力在于，它既有理论的深度，又不失工程的广度，是一本真正能让人“用起来”的书。

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阅读《正交级数》的过程，更像是一场与时间赛跑的智力探险。这本书的难度曲线设计得非常巧妙，它在前半部分用相对柔和的笔调介绍了基本的施密特正交化过程和傅里叶级数展开，给予读者建立信心的机会。然而，当进入到拉普拉斯方程的边值问题，以及涉及到无穷维希尔伯特空间时的讨论，难度陡然增加，开始考验读者的抽象思维极限。我记得有几处关于算子理论和谱分解的论述，我不得不反复阅读，甚至需要借助外部的在线资源来辅助理解其背后的深刻内涵。但正是这种挑战，才使得最终的豁然开朗变得如此有价值。作者在处理高级主题时，始终坚持提供清晰的物理或工程背景，比如讲解厄米特多项式在量子力学中处理谐振子时的应用，这使得即使在最晦涩的部分，读者也能感受到理论的“温度”和现实的关联性。这本书不是一本可以囫囵吞枣的书，它要求你慢下来，去品味每一个定义和定理背后的数学逻辑的精妙构造。读完后，感觉自己对于“完备性”和“收敛”的理解提升到了一个新的层次，远超我以往接触的任何教材。

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