Noncommutative Harmonic Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Michael E. Taylor

出品人:

页数:328

译者:

出版时间:1986-8-1

价格:USD 42.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821815236

丛书系列:Mathematical Surveys and Monographs

图书标签:

• 数学
• 调和分析
• 分析
• Noncommutative analysis
• Harmonic analysis
• Operator algebras
• Representation theory
• Mathematical physics
• Functional analysis
• Group theory
• Spectral theory
• Time-frequency analysis
• Quantum groups

数学的疆域：深入非交换几何与拓扑的广袤世界 内容简介 本书旨在带领读者进入现代数学中两个至关重要的交叉领域——非交换几何与非交换拓扑学。这两大领域不仅是理论物理学（尤其是量子场论与弦理论）的深刻数学基础，也在纯数学的诸多分支，如代数、分析和拓扑学内部引发了革命性的发展。本书的叙述风格严谨而富有洞察力，力求在保持数学深度和严密性的同时，清晰地勾勒出这些复杂概念的内在联系与发展脉络。 第一部分：泛函分析与拓扑结构的基础重塑 本部分从经典的泛函分析出发，为非交换结构的研究打下必要的分析基础。 第一章：拓扑向量空间与弗雷歇代数 我们将从经典的巴拿赫空间（Banach spaces）和希尔伯特空间（Hilbert spaces）的回顾开始，迅速过渡到更一般的拓扑向量空间，特别是核空间（nuclear spaces）和贝内尔伯格空间（Bornological spaces）。重点探讨这些空间上的拓扑结构如何影响线性算子的性质。 紧接着，我们引入弗雷歇代数（Fréchet algebras）。作为一种带有拓扑的结合代数，弗雷歇代数在描述连续变换群的代数结构时至关重要。我们将详细分析其上的局部凸性（locally convex structures）和完备性条件，并引入“准幂零性”（quasi-nilpotence）的概念，这在处理无穷维矩阵的谱理论时是不可或缺的。 第二章：C-代数的结构理论 C-代数是研究紧算子和希尔伯特空间上的代数结构的基石，也是非交换几何的“点集”的经典替代品。本章深入探讨 C-代数的核心理论： 1. Gelfand-Naimark 构造 (Gelfand-Naimark Representation Theorem)：详细阐述如何将任意 C-代数表示为某个紧生成集合上的连续函数代数的子代数。 2. K-理论的初探：引入 C-代数的 K₀ 群和 K₁ 群。K-理论作为一种拓扑不变量的代数工具，在分类非平凡的 C-代数（例如关于约化问题）中展现出强大的威力。我们将解析其公理化定义及其与稳定等价（stable equivalence）的关系。 3. 追踪与迹的理论：探讨有限维或具有特定完备性的 C-代数上的“迹”（Trace）的概念，以及其在谱分解和冯·诺依曼代数分类中的作用。 第二部分：非交换几何的代数框架 非交换几何的核心思想是用代数结构来取代传统几何中的点集，从而描述那些不具有传统拓扑意义的点结构的系统（如量子空间）。 第三章：算子代数与冯·诺依曼代数 本章专注于弱算子拓扑下的代数结构，这是研究无限维希尔伯特空间上算子群的必要工具。 1. 冯·诺依曼代数 (von Neumann Algebras)：定义 II 类因子（Type II factors）和 III 类因子（Type III factors），并深入探讨其投影算子的结构。我们将详细分析射影（Projections）和部分等距算子（Partial Isometries）在这些代数中的作用。 2. 分类与结构定理：阐述 Murray-von Neumann 的分类理论（I, II, III 型），以及在因子上的迹的唯一性与非唯一性问题。重点讨论 Tomita-Takesaki 理论（TTT 理论）的基本思想，特别是其对因子的动态系统（modular automorphism group）的深刻揭示。 第四章：谱理论的推广：非交换谱 传统代数几何依赖于环论中的谱图（Spec(R)）。为了处理非交换代数，需要新的“谱”概念。 1. Gelfand 谱的局限性与必要性：解释为何 Gelfand 谱仅适用于交换代数，以及它在处理非交换 C-代数和冯·诺依曼代数时的不足。 2. 广义谱的构造：引入基态表示（Primitive Ideal Spectrum） $ ext{Prim}(A)$ 和 Connes 谱 $Sigma(A)$。我们将讨论如何利用不可约表示（irreducible representations）来构造这些非交换的“空间”。 3. 度量与距离：探讨 Connes 在非交换黎曼几何中引入的“度量”概念，即如何通过代数结构来定义一个广义的距离函数，这是连接代数与几何直觉的关键桥梁。 第三部分：非交换拓扑学与同调理论 本部分将代数工具应用于拓扑问题的研究，特别是通过同调理论来“探测”非交换空间的拓扑特征。 第五章：非交换同调论 同调理论为代数结构提供了强大的不变式。 1. 循环上同调（Cyclic Cohomology）：这是非交换几何中最核心的同调理论之一。我们将从经典拓扑学的 de Rham 上同调出发，定义一个基于代数对的、适用于非交换代数的周期性（Periodicity） 循环上同调群 $HC^(A)$。详细阐述其链复形构造和 Connes-Boca 周期性定理的意义。 2. 扭曲（Twisted）理论：介绍如何通过一个“扭转子”（a twist element）来推广循环上同调，这在处理带有规范场的量子理论中至关重要。 3. K-理论与上同调的联系：详述 Bott 周期性在 K-理论中的体现，并探讨 Chern 字符（Chern Character Map）如何将 K-理论的元素映射到循环上同调群中，这是连接代数拓扑和分析几何的关键对偶性。 第六章：非交换李群与动力系统 我们将李群的结构概念推广到非交换的设置中，这与量子群（Quantum Groups）的研究紧密相关。 1. 量子群的代数框架：介绍 Hopf 代数（Hopf Algebras）作为量子群的对偶描述。探讨其基本运算：共乘法（coproduct）、对偶（coinverse）和对偶（counit）。 2. 非交换测度论与遍历性：分析在非交换 C-代数上定义“平均值”或“测度”的困难。引入 KMS 态（Kubo-Martin-Schwinger states）作为一种自然的、在热力学平衡态下定义的非交换遍历理论。这与 Tomita-Takesaki 理论中的模块自同构群有着深刻的内在联系。 结语 本书的最终目标是构建一个连贯的理论框架，展示如何通过算子代数和同调代数的工具，来解析那些无法用传统微分几何语言描述的复杂系统。它为研究者提供了一个深入探究量子空间、规范理论几何化，以及更高维度拓扑不变量的坚实起点。阅读本书需要扎实的泛函分析基础和对代数拓扑的基本概念的了解。

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这本《非交换调和分析》绝对是一部学术巨著，它的深度和广度令人叹为观止。刚拿到书的时候，我被它厚重的篇幅和密集的公式所震撼，心里不免有些打退堂鼓。然而，一旦沉下心来阅读，我立刻被作者构建的那个宏大而精妙的数学世界所吸引。书中对于群代数、C*-代数以及非交换傅里叶变换的阐述极为透彻，每一个概念的引入都经过深思熟虑，逻辑链条清晰得像是艺术品。尤其是在处理一些高阶的张量积和拓扑结构时，作者展现出了惊人的洞察力，将原本晦涩难懂的抽象概念具象化。对于那些在函数空间理论、表示论领域有深入研究的读者来说，这本书无疑是一座灯塔，它不仅提供了严谨的理论基础，更指引了未来的研究方向。我特别欣赏作者在章节末尾设置的那些富有挑战性的习题，它们不是简单的计算，而是对核心思想的深刻理解和灵活运用能力的考验。读完几章后，我感觉自己对泛函分析的理解达到了一个新的高度，那些在传统调和分析中看似偶然的结果，在这里都有了更本质的、更普适的解释。这本书的价值在于，它不仅仅是知识的罗列，更是思维方式的重塑。

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坦白说，这本书的阅读体验是“痛苦而美妙”的交织体。我购买它的初衷是想了解其在量子信息领域的一些潜在应用，但很快我意识到，这本书的主要目标读者是纯数学研究者，它几乎没有提供任何直接的“应用速查表”。然而，这种纯粹性恰恰是它的力量所在。书中的证明严密到令人发指，每一个引理的引用都精准无误，作者似乎不容许任何语义上的模糊存在。例如，在处理关于动力系统和遍历理论在非交换代数上的推广时，作者引入了非常规的构造方法，这迫使我必须跳出已有的范式去思考。这本书对读者的要求是极高的，它假设你已经熟练掌握了拓扑泛函分析和大部分经典调和分析的知识，否则，你可能连章节标题都无法完全理解。我花了数周时间才勉强啃完关于扩张代数结构的那部分，那种智力上的“榨干感”非常真实。但一旦理解了某个关键的构造，那种豁然开朗的感觉，是任何轻松的读物都无法比拟的。

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我第一次翻开这本书时，立刻被它对历史背景的细致梳理所吸引。作者并没有将非交换调和分析视为凭空出现的理论，而是花了大量篇幅追溯其与经典调和分析、代数K理论以及C*-代数理论的内在联系。这种“溯源”的方式极大地增强了阅读的代入感，让我明白了为什么有些概念必须以这样的形式出现。书中对Gelfand-Naimark-Segal (GNS) 构造的详尽解释，几乎可以作为一本独立的小册子来使用，它不仅展示了如何从一个代数中构造出一个希尔伯特空间，更深入探讨了这种构造的本质意义。这本书的排版和符号系统非常规范，尽管内容艰深，但良好的物理呈现避免了阅读过程中的额外疲劳。我特别欣赏作者在引入非交换拓扑空间概念时所使用的类比手法，虽然这些类比最终都会被严谨的数学语言所取代，但它们确实是构建直觉的绝佳跳板。对于希望从事更高层次数学研究的学生来说，这本书是不可或缺的参考书。

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从一个侧重于代数几何角度的数学学习者的视角来看，《非交换调和分析》提供了一个令人兴奋的全新视角来审视“空间”和“变换”的本质。书中对非交换李群和量子群的探讨，虽然只是蜻蜓点水，却清晰地揭示了传统李群理论在更广阔代数结构下的自然延伸。我发现作者在处理算子代数上的张量积和极限构造时，其技巧之高超，远超我之前接触的任何教材。这本书的论证风格偏向于“从构造中发现性质”，而非“从性质出发推导构造”，这与我熟悉的许多现代数学教科书截然不同，反而带有古典数学的严谨与深度。阅读过程中，我不得不频繁地查阅关于 Von Neumann 代数和 K-理论的补充材料，这表明本书的知识密度极高，要求读者具备非常扎实的预备知识。总而言之，这不是一本适合闲暇时阅读的书籍，它更像是一份需要投入大量时间去“攻克”的智力挑战，但其回报是丰厚的，它真正打开了通往一个更抽象、更普遍的数学世界的门扉。

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我带着对纯粹数学的敬畏之情翻开了这本书，本以为会是一场枯燥的符号游戏，结果却发现它像是一部充满哲思的史诗。作者的叙事风格非常独特，他似乎不太在意用最简洁的方式传达信息，而是倾向于展示概念是如何一步步“生长”出来的，这种叙事方式对于初次接触非交换几何概念的读者来说，既是挑战，也是一种极大的享受。书中对非交换黎曼几何的某些初步探讨，虽然篇幅不长，却点亮了我对空间结构本质的思考。我尤其喜欢其中对“测度”和“积分”在非交换框架下重构的讨论，那感觉就像是重新学习如何看待世界一样，颠覆了许多基于经典欧氏空间的直觉。读这本书需要极大的耐心，因为它不是一本用来快速获取知识的书，而更像是一次漫长的、需要反复咀嚼的学术朝圣之旅。每当遇到一个难以跨越的障碍时，我都会退回去阅读前文的铺垫，然后惊喜地发现，作者早已在不知不觉中为我铺设好了脚下的石阶。这是一种罕见的、充满人文关怀的硬核数学著作。

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