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出版者:University Of Chicago Press

作者:J. F. Adams

出品人:

页数:192

译者:

出版时间:1983-1-15

价格:USD 18.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780226005300

丛书系列:

图书标签:

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《李群讲义》是一部关于数学中一个重要分支——李群理论的深入探讨。本书旨在为读者提供一个扎实且全面的理解，该理论在现代数学和物理学的多个领域都扮演着核心角色。 本书的内容结构严谨，从基础概念出发，逐步深入到李群的更高级性质和应用。开篇部分会对群论的基本概念进行回顾，为读者建立必要的背景知识。随后，将引入李群的定义，强调其光滑流形和群结构的结合，这是李群区别于离散群的关键所在。读者将学习到李群的生成元、指数映射等基本工具，理解它们如何连接李群的代数结构（李代数）与其几何结构。 本书的一个重要贡献在于对李代数的细致分析。李代数是与李群紧密相关的向量空间，通过研究李代数的结构，可以深刻地揭示李群的性质。读者将学习到李代数的分类，包括单李代数、半单李代数以及其根系等重要概念。特别是，对于古典李代数（如 $A_n, B_n, C_n, D_n$），本书将提供详细的构造和性质分析，并探讨它们在对称性和表示论中的作用。 本书的另一核心部分是李群的表示论。表示论是将抽象的群转化为线性代数的语言，极大地便利了对群的理解和计算。本书将系统地介绍李群及其李代数的表示，包括不可约表示、张量积表示等。我们将深入探讨如何构建和分类这些表示，以及它们在量子力学、粒子物理等领域的应用。例如，同构于 $SU(2)$ 的李群在描述自旋角动量时起着至关重要的作用。 除了理论的讲解，本书还注重数学方法的展示和应用的介绍。读者将接触到许多经典的数学工具和技术，如伴随表示、李群的黎曼几何、以及微分方程在李群动力学中的应用。本书还会探讨一些重要的李群家族，例如一般线性群 $GL(n, mathbb{R})$、特殊线性群 $SL(n, mathbb{R})$、正交群 $O(n)$、特殊正交群 $SO(n)$、以及酉群 $U(n)$ 和特殊酉群 $SU(n)$ 等，并分析它们各自的结构和性质。 在物理学的应用方面，本书将穿插介绍李群理论在粒子物理标准模型中的作用，例如 $SU(3) imes SU(2) imes U(1)$ 的规范群。此外，还将触及李群在广义相对论、杨-米尔斯理论以及量子场论等领域的深远影响，展示其作为描述对称性和基本相互作用的强大框架。 本书的语言清晰，逻辑严密，力求做到既有理论的深度，又不失可读性。对于希望深入理解现代数学物理中核心概念的读者，无论是研究生、研究人员，还是对抽象代数和微分几何有浓厚兴趣的数学爱好者，本书都将是一份宝贵的参考资料。通过研读本书，读者将能够构建起一个关于李群的坚实知识体系，并为进一步探索相关领域的研究打下坚实的基础。

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这部著作的篇幅和深度着实让人印象深刻，它仿佛是一部精心打磨的艺术品，每一个章节都展现了作者对李群理论深厚的理解和独到的见解。阅读体验如同跟随一位经验丰富的向导，穿越广袤而复杂的数学森林。作者似乎并未满足于仅仅罗列定理和证明，而是致力于构建一个连贯、直观的认知框架。从最初的群论基础，到矩阵群的直观几何解释，再到抽象的李代数结构，过渡得极其自然流畅。特别是对于那些初次接触此领域的读者来说，书中对拓扑性质的细致探讨，以及如何将分析工具巧妙地引入代数结构，提供了极佳的切入口。它不仅仅是一本教科书，更像是一本深思熟虑的“导览手册”，旨在帮助读者真正把握李群作为连接几何、分析与物理学的核心桥梁的精髓所在。那种通过严谨的逻辑链条逐步揭示深层美感的写作手法，实在令人叹服，读完后感觉对高维几何空间的理解被彻底刷新了。

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尽管内容深度毋庸置疑，但我个人在阅读过程中，感觉书中对“应用”层面的讨论略显保守，或者说，着墨不多。从一个侧重于理论物理或应用数学角度来看，读者可能会期待看到更多关于经典群（如旋转群、洛伦兹群）在量子场论或广义相对论中的具体实例是如何被抽象理论所指导的。书中的大部分篇幅都沉浸在对结构本身的挖掘中，这当然是其核心价值所在，但对于那些渴望看到“理论如何落地”的读者，可能会觉得意犹未尽。它更像是为“理论建筑师”准备的蓝图，而非为“应用工程师”提供的工具箱。因此，如果将它视为一本纯粹的数学专著，它是无可挑剔的；但若期待其包含丰富的跨学科案例分析，则可能需要辅以其他辅助材料。

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这本书的排版和装帧质量，从一个纯粹的阅读材料的角度来看，也值得称赞。纸张的质感、清晰的字体选择，以及数学公式的规范化处理，都极大地提升了长时间阅读的舒适度。更重要的是，它在某些关键定理的证明部分，提供了一种“多路径”的解释方式，这在同类著作中是相对罕见的。例如，在介绍Chevalley-Chevalley-Tutte定理时，作者不仅仅提供了一种证明，还附带了对其他可能路径的简短评论，这对于想要深入研究该领域且希望从不同角度理解问题的读者来说，简直是如获至宝。这种体贴入微的设计，让原本可能枯燥的符号推演过程，变成了一场结构清晰、富有层次感的智力探险。它成功地在保持学术高标准的同时，兼顾了读者的实际操作体验。

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我必须承认，这本书的难度曲线相当陡峭，它显然不是为那些寻求快速入门的读者准备的。更像是为那些已经具备扎实代数和拓扑学背景的研究生或研究人员量身打造的“进阶秘籍”。作者在处理提升（lifting）和表示论的部分时，那种近乎苛刻的精确性让人不得不放慢速度，反复推敲每一个符号的含义。它没有用那些华而不实的比喻来稀释核心概念，而是直接以最纯粹的数学语言进行阐述。这种风格的优点在于其无可辩驳的严谨性，缺点则在于，如果基础不牢，很容易在某个关键的定义或引理处迷失方向。我认为，此书最宝贵的地方在于它对同调和上同调理论在李群结构研究中的应用展示得淋漓尽致，将原本看似孤立的领域优雅地统一了起来，体现出一种宏大的数学视野。

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这本书最令人称奇之处，或许在于它如何处理“局部性”与“整体性”之间的关系。作者巧妙地利用李代数作为李群的“局部快照”，通过对代数的深入分析，反向推导出群的整体几何和拓扑性质。这种“以微观知宏观”的论证策略贯穿始终，使得整个理论体系看起来像是浑然天成，逻辑闭环严密。特别是对于那些对规范场论感兴趣的读者，书中关于纤维丛和联络的引入（虽然是间接的），为理解现代物理学中的对称性提供了坚实的基础。它不是简单地告诉你“李群很重要”，而是通过严谨的数学推理，让你自己得出“李群是理解一切连续对称性的唯一语言”这一结论。这种潜移默化的教育方式，远比生硬的灌输更为有效和持久。

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beautifully written.

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