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出版者:Springer

作者:John A. Vince

出品人:

页数:264

译者:

出版时间:2005-11-09

价格:GBP 19.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781846280344

丛书系列:Mathematics for Computer Graphics

图书标签:

• 编程
• 游戏开发
• 数学
• Computer.Graphics
• 计算机图形学
• 数学基础
• 线性代数
• 几何学
• 微积分
• 数值计算
• OpenGL
• DirectX
• 游戏开发
• 渲染技术

《数值分析在工程模拟中的应用》 本书旨在深入探讨数值分析方法在现代工程模拟领域的核心作用及其前沿应用。我们聚焦于如何运用严谨的数学工具来解决复杂工程问题，并籍由计算机实现高效、精确的模拟。全书内容涵盖了从基础理论到高级算法的广泛谱系，强调理论与实践的紧密结合，旨在为工程技术人员、研究人员以及对计算科学感兴趣的学生提供一套系统而深入的指导。 第一部分：数值分析基础理论与核心方法 本部分为读者打下坚实的理论基础，着重讲解数值分析中的关键概念和基础算法。 误差分析与数值稳定性： 任何数值计算都不可避免地引入误差。本章将系统梳理计算误差的来源（截断误差、舍入误差），深入剖析误差在数值算法中的传播规律，并介绍评估和控制数值稳定性的关键指标与策略。理解误差的本质和量化方法是保证模拟结果可靠性的前提。我们将讨论诸如病态问题（ill-conditioned problems）的识别与规避，以及如何选择对误差不敏感的算法。 线性方程组的数值求解： 线性方程组在科学与工程中无处不在，从结构分析到电路仿真，再到流体力学模拟，都依赖于高效求解线性系统。本章将详述直接解法，如高斯消元法及其优化变种（如 LU 分解、Cholesky 分解），并深入分析其计算复杂度与数值稳定性。在此基础上，我们将介绍迭代解法，包括雅可比迭代、高斯-赛德尔迭代以及更高效的共轭梯度法（CG）、广义最小残差法（GMRES）等，重点阐述它们的收敛条件、收敛速度以及适用范围。 非线性方程与方程组的求解： 许多工程问题最终会归结为求解非线性方程或方程组。本章将介绍几种经典的求解方法，如牛顿-拉夫逊法（Newton-Raphson method）及其收敛性分析，探讨其在不同问题中的应用和改进。此外，还将涵盖不动点迭代法、二分法等，并讨论多变量非线性方程组的求解策略。 函数逼近与插值： 在实际应用中，我们常常需要根据离散数据点来估计或逼近一个未知函数。本章将介绍多项式插值（如拉格朗日插值、牛顿插值），分析其在不同情况下的优缺点，并引出样条插值（spline interpolation）的概念，重点讲解三次样条的构造及其在光滑曲线和曲面表示中的广泛应用。还将探讨最佳逼近理论，如最小二乘逼近，用于数据拟合和降噪。 数值积分与微分： 积分和微分运算是描述物理过程和分析系统行为的核心。本章将介绍多种数值积分方法，包括梯形法则、辛普森法则、高斯-勒让德求积等，并分析它们的精度与计算效率。对于微分方程的求解，我们将重点讨论常微分方程（ODE）的数值解法，如欧拉法、改进欧拉法、龙格-库塔法（Runge-Kutta methods）及其高阶变种，详细阐述它们的稳定性与收敛性。 第二部分：高级数值技术在工程模拟中的应用 本部分将深入探讨一些更高级的数值技术，并展示它们在解决具体工程模拟问题中的强大能力。 有限元方法（FEM）的核心原理与离散化： 有限元方法是目前工程领域最强大、最灵活的数值模拟技术之一，尤其在结构力学、传热学、流体力学等领域。本章将详细介绍有限元法的基本思想：将连续的求解域离散化为有限个小单元，在每个单元内用简单的插值函数（形函数）逼近未知量，然后通过变分原理或加权余量法建立单元方程，最终组装成全局方程组进行求解。我们将重点讲解单元的构造、形函数的选择、体力与应力场的计算，以及边界条件的施加。 有限差分方法（FDM）及其在偏微分方程中的应用： 有限差分方法是另一种重要的数值技术，尤其适用于规则网格上的偏微分方程求解。本章将阐述如何用差商来近似微分，介绍不同阶数的有限差分格式（如向前差分、向后差分、中心差分），并分析它们的精度和稳定性。重点将放在 FDM 在求解热传导方程、扩散方程、波动方程等典型偏微分方程中的应用，探讨显式与隐式方法的区别与联系。 谱方法与伪谱方法： 相比于有限元法和有限差分法，谱方法和伪谱方法通常能以较低的网格密度获得极高的精度，尤其适用于光滑解的问题。本章将介绍如何利用全局的基函数（如傅里叶级数、切比雪夫多项式）来逼近解，并详细讲解伪谱方法中如何通过代数算子来近似微分，以及在求解偏微分方程（如 Navier-Stokes 方程）中的应用，突出其在计算流体力学（CFD）和计算声学等领域的高效性。 网格生成与自适应网格技术： 精确而高效的网格是数值模拟的基础。本章将介绍各种网格生成技术，包括结构化网格、非结构化网格的构建方法，以及网格质量的评价标准。更重要的是，我们将深入探讨自适应网格细化（Adaptive Mesh Refinement, AMR）技术，分析如何根据误差估计或物理量梯度自动调整网格密度，以在关键区域（如激波、边界层）提高精度，同时在其他区域节省计算资源。 大规模线性系统求解器的优化与并行化： 随着模拟规模的不断增大，求解大规模线性系统成为计算瓶颈。本章将聚焦于优化和并行化技术，介绍如何利用稀疏矩阵存储技术、多重网格法（Multigrid methods）等高效求解器，并讨论 MPI、OpenMP 等并行计算框架在数值算法中的应用，以及 GPU 加速等新兴技术。 第三部分：数值分析在特定工程模拟领域的实践案例 本部分将通过一系列具体的工程模拟案例，展示前面介绍的数值分析方法如何在实际应用中发挥作用，并探讨各领域面临的挑战与前沿问题。 结构力学与固态力学模拟： 介绍如何使用有限元方法进行静态、动态结构分析，包括应力、应变、位移的计算，以及疲劳、断裂等失效模式的预测。重点关注大变形、非线性材料、接触等复杂问题的数值处理。 计算流体力学（CFD）： 探讨如何运用有限差分、有限体积或有限元方法求解 Navier-Stokes 方程，模拟流体的运动，包括层流、湍流、多相流等。涵盖边界层、激波、涡流结构等关键物理现象的数值捕捉。 传热与传质模拟： 分析如何使用数值方法求解热传导方程、对流-扩散方程，模拟热量在固体、流体中的传递过程，以及化学物质的扩散与反应。 电磁场计算： 介绍如何运用有限元、时域有限差分（FDTD）等方法求解麦克斯韦方程组，模拟电磁波的传播、散射，以及天线设计、微波器件分析等。 多物理场耦合仿真： 随着工程问题的日益复杂，多物理场（如流固耦合、热固耦合、电热耦合）的仿真需求日益增长。本章将讨论如何耦合不同物理场的数值模型，以及如何处理耦合界面上的边界条件和信息传递。 现代仿真技术与趋势： 简要介绍机器学习在仿真中的辅助作用，如数据驱动的模拟、参数学习；以及高性能计算（HPC）和云计算在支撑大规模仿真方面的地位。 本书力求在保持数学严谨性的同时，充分考虑工程应用的实际需求，提供清晰的算法描述、详实的理论推导以及丰富的图示和算例。通过学习本书，读者将能够深刻理解数值分析的强大之处，并能将其娴熟地应用于解决各种复杂的工程模拟问题，为推动技术进步贡献力量。

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