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出版者:Cambridge Univ Pr

作者:Chaumont, Loic/ Yor, Marc

出品人:

页数:254

译者:

出版时间:2003-11

价格:$ 89.26

装帧:HRD

isbn号码:9780521825856

丛书系列:Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics

图书标签:

概率论
概率统计
概率练习
数学
高等教育
习题集
概率模型
随机过程
统计推断
应用概率

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具体描述

This book was first published in 2003. Derived from extensive teaching experience in Paris, this book presents around 100 exercises in probability. The exercises cover measure theory and probability, independence and conditioning, Gaussian variables, distributional computations, convergence of random variables, and random processes. For each exercise the authors have provided detailed solutions as well as references for preliminary and further reading. There are also many insightful notes to motivate the student and set the exercises in context. Students will find these exercises extremely useful for easing the transition between simple and complex probabilistic frameworks. Indeed, many of the exercises here will lead the student on to frontier research topics in probability. Along the way, attention is drawn to a number of traps into which students of probability often fall. This book is ideal for independent study or as the companion to a course in advanced probability theory.

概率论基础与应用：从理论到实践的深度探索本书旨在为读者提供一个全面、深入且易于理解的概率论学习路径，覆盖从经典概率论的核心概念到现代统计推断的前沿应用。本书的叙述风格严谨而不失启发性，注重理论的内在逻辑与实际问题的紧密结合，特别强调通过大量的例题和习题来巩固和深化读者的理解。第一部分：概率论的基石——基础与公理本部分将为读者打下坚实的理论基础。我们从概率学的历史起源和哲学基础入手，探讨概率概念的演变，并详细阐述概率的公理化体系。 1. 集合论基础与样本空间：概率论建立在严密的集合论之上。本章首先回顾必要的集合论知识，如集合的运算、可数集与不可数集的概念，为定义随机现象的样本空间做准备。我们将详细讨论离散型、连续型以及抽象样本空间的构建，理解可测空间的重要性。 2. 概率的定义与性质：从古典概型到几何概型，再到基于测度的现代概率定义，本书将循序渐进地引导读者理解概率是如何被精确量化的。我们将系统地推导和证明概率的基本性质，如可加性、容斥原理，并引入条件概率的核心概念。 3. 随机变量的构建：随机变量是连接样本空间与实数域的桥梁。我们将区分离散型随机变量和连续型随机变量，并深入探讨它们的概率分布函数（PMF）和概率密度函数（PDF）。对于更复杂的随机现象，本章还将引入混合分布的概念，并讨论分布函数的性质。 4. 联合分布与独立性：在实际问题中，我们常常需要同时考察多个随机变量。本章聚焦于联合概率分布的分析，包括边缘分布的求解和独立事件的判断标准。我们将详细阐述随机变量独立性的严谨定义，并分析其在联合分布函数中的体现。 5. 期望、方差与矩：期望是描述随机变量集中趋势的关键指标，而方差则量度了离散程度。本章不仅计算了一系列标准分布（如伯努利、二项、泊松、均匀、指数、正态分布）的期望和方差，还扩展到更高阶的矩，包括偏度和峰度，这些工具对于理解分布的形状至关重要。第二部分：随机变量的深度分析与极限理论在巩固了基础概念后，我们将进入概率论更具理论深度的领域，探讨随机变量的变换、随机向量，以及连接个体概率与宏观统计规律的极限理论。 6. 随机变量的函数与变换：当随机变量经过某种函数变换后，其新的分布如何确定？本章将系统介绍一维和多维随机变量函数的分布求解方法，包括变量代换法、累积分布函数法和矩母函数法。 7. 随机向量与协方差结构：本章扩展到多维随机变量（随机向量）的分析，重点讨论协方差矩阵在描述多个随机变量之间线性关系中的核心作用。我们还将深入探讨多元正态分布的性质，及其在统计推断中的基础地位。 8. 随机变量的收敛性概念：概率论的强大力量体现在其极限定理中。本章将清晰区分随机变量收敛的四种主要类型：依概率收敛、依分布收敛、几乎必然收敛，以及平方均收敛。我们将详细比较这些收敛方式的强弱关系和适用场景。 9. 极限定理的精髓：这是概率论理论的核心部分。我们将详尽论证大数定律（弱大数定律与强大数定律），解释其在估计稳定性和统计推断中的理论依据。随后，我们将深入探讨中心极限定理 (CLT) 的不同形式（如李雅普诺夫定理），展示无论原始分布如何，大量独立同分布随机变量的和近似服从正态分布的普适性。第三部分：随机过程——时序依赖性的建模随机过程是描述随时间演变的随机现象的数学工具。本部分将介绍几种最重要且应用广泛的随机过程模型。 10. 基础随机过程：本章介绍马尔可夫链（Markov Chains）的基本概念，包括一步转移概率、状态空间以及时间齐次性。我们将分析有限状态马尔可夫链的长期行为，包括平稳分布的存在性与唯一性。 11. 泊松过程与到达过程：泊松过程是描述随机事件发生率的经典模型。我们将从定义出发，推导其基本性质，如独立增量性和平稳增量性。本章还将探讨复合泊松过程，并将其应用于排队论和保险精算中的事件计数问题。 12. 维纳过程与布朗运动：作为连续时间随机过程的基石，布朗运动（Wiener Process）的特性（如独立增量、正态增量）将被详尽描述。我们将讨论其路径的连续性、处处不可微性，并初步接触到伊藤积分在金融数学中的重要性。第四部分：统计推断的桥梁——数理统计基础概率论是数理统计的数学基础。本部分将概率论的工具应用于实际数据的分析与推断。 13. 统计推断基础：本章定义了总体（Population）与样本（Sample）的概念，并介绍描述性统计量。我们将讨论充分性 (Sufficiency) 和完备性，阐述如何从样本信息中提取关于未知参数的最优信息。 14. 参数估计方法：本部分详细介绍了两种最核心的参数估计方法：矩估计法 (Method of Moments, MoM) 和极大似然估计法 (Maximum Likelihood Estimation, MLE)。我们将分析MLE估计量的渐近性质，包括一致性、渐近正态性和渐近有效性。 15. 假设检验的原理：构建统计检验是统计推断的另一核心任务。本章讲解零假设与备择假设的设定，检验统计量的选择，以及P值的含义。我们将深入分析第一类错误和第二类错误，并探讨最有可能拒绝 (Neyman-Pearson) 准则在构建最优检验中的应用。 --- 本书特色：理论的严谨性：所有关键定理和结论均提供完整的、基于测度的证明（在不影响初学者理解的前提下）。丰富的案例分析：结合物理学、工程学、生物统计学和金融学的真实案例，展示概率论在解决实际问题中的强大能力。习题设计：每章后附有大量难度分级的习题，从基础概念的验证到高级理论的推导，是读者自我检验和提高的宝贵资源。本书适合对象：概率论和数理统计专业的本科生、研究生，以及需要扎实概率论背景的工程、金融和数据科学领域的专业人士。读者应具备微积分和线性代数的基础知识。