Studies in Lie Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Bernstein, Joseph (EDT)/ Hinich, Vladimir (EDT)/ Melnikov, Anna (EDT)

出品人:

页数:524

译者:

出版时间:2006-1

价格:$ 190.97

装帧:HRD

isbn号码:9780817643423

丛书系列:

图书标签:

• Lie Theory
• Representation Theory
• Mathematics
• Algebra
• Lie Groups
• Lie Algebras
• Mathematical Analysis
• Abstract Algebra
• Differential Geometry
• Topology

宇宙的编织：一本关于拓扑学、几何与统一场论的深度探索 图书名称：《拓扑流形与黎曼几何的深层结构》 作者： 阿尔伯特·冯·赫尔姆霍兹（Albert von Helmholtz） 出版社： 普林斯顿大学出版社（虚构） 页数： 850页 --- 内容简介： 本书旨在为对现代数学物理前沿抱有浓厚兴趣的研究者、高级研究生以及资深爱好者，提供一套严谨而深刻的知识体系，聚焦于拓扑流形理论、微分几何的核心概念，以及它们在量子场论和广义相对论统一场构建中的潜在应用。我们避开了对经典代数结构（如李群或李代数的常规介绍），转而深入探讨更底层的几何本体论，探寻空间本身如何被“编织”和“弯曲”的奥秘。 第一部分：流形的基础与非寻常拓扑结构 本部分从基础的拓扑空间理论出发，迅速过渡到微分流形的精确定义，但我们着重于非光滑结构和奇异拓扑。 第一章：超越欧几里得：奇异点的拓扑分析 我们首先分析了克尔度规下时空奇异点（奇点）的局部拓扑性质，特别是奇点如何影响切丛的结构。重点讨论了“阿蒂亚-辛格指标定理”在处理奇点边界时的局限性，并引入了“分形拓扑维度”的概念，用以量化极端引力场中时空结构的不规则性。我们详细探讨了De Rham上同调在辨识流形上“洞”和“环”的精确工具性，并展示了如何利用这些代数不变量来区分具有相同局部结构的流形，例如区分高维球面和某些非可微流形。 第二章：切丛、纤维丛与规范理论的几何前驱 本书对切丛和余切丛的介绍，侧重于它们作为规范场理论基本载体的作用。我们深入研究了主纤维丛的构造，并引入了“几何连接”（Geometric Connection）的概念，这一概念比标准的“仿射联络”更具普适性，能够自然地包容非阿贝尔规范理论中场的自相互作用。本章详细分析了“非交换几何”（Noncommutative Geometry）的初步框架，探讨了当坐标环不再是交换代数时，流形的“点”的概念如何退化为某种代数结构，这是理解圈量子引力（Loop Quantum Gravity）几何观点的关键。 第三部分：黎曼几何的深水区：曲率、测地线与共形不变性 本部分将研究的焦点从拓扑转移到度量结构，深入解析了决定空间弯曲程度的黎曼几何工具。 第三章：里奇几何与能动量张量 我们系统地回顾了里奇曲率的定义，但着重于其在爱因斯坦场方程中的角色，并探讨了Weyl张量与引力波传播之间的精确关系。一个核心论述是“守恒律的几何化”：如何通过流形上的特定向量场（如Killing向量场）的积分形式来表达能量和动量的守恒，并探讨了在渐近平坦时空中，这些守恒量如何转化为真实的质量和角动量。本章引入了“Weyl等积类”（Weyl Equivalence Classes），用以分类在共形变换下保持某些物理量不变的度规。 第四章：测地线流与动力学：混沌与稳定性 我们将测地线（最短路径）的分析提升到动力学系统的视角。详细研究了测地线偏微分方程的解的稳定性，特别是那些涉及负曲率的区域，如黑洞视界附近的几何。我们引入了Poincaré截面的概念，用于分析测地线流的混沌行为，这与宇宙学中物质分布的随机性密切相关。特别地，我们探讨了“测地线完备性”的数学判据，用以判断时空是否在物理上存在无限延伸的可能，或是否必然在有限时间终止（如碰撞或坍缩）。 第三部分：高维几何与时空统一的尝试 本部分将前述工具应用于更高维度的几何结构，探讨它们在理论物理中作为统一框架的潜力。 第五章：卡拉比-丘流形与超对称几何 本书深入分析了卡拉比-丘（Calabi-Yau）流形，重点不在于其紧致性，而在于其荷尔森（Hodge Numbers）的精确计算及其对真空期望值的约束。我们详细阐述了奇异卡拉比-丘（Singular Calabi-Yau）的几何，并展示了这些奇异性如何自然地在弦理论的T对偶中扮演关键角色。此外，本章探讨了超卡勒流形（Hyperkähler Manifolds），特别是它们在描述四维N=2超对称场论时的几何对应，以及与希格斯场运动方程的深层联系。 第六章：规范理论的拓扑荷与涡旋结构 本章回归到场论，但从纯粹的几何视角审视规范场。我们利用Chern-Simons理论的拓扑性质，解释了电荷、拓扑荷（如磁单极子数）如何被编码在流形上的积分中。重点分析了Ginzburg-Landau模型中涡旋（Vortex）和瞬子（Instanton）的几何拓扑结构，并展示了这些拓扑激发如何通过Bogomol’nyi-Prasad-Sommerfield（BPS）条件与流形的基本拓扑不变量（如Euler示性数）建立联系。本书最后推导了一个基于非交换度规张量的推广爱因斯坦方程，试图在数学上构建一个无需预设背景时空结构的时空理论。 --- 本书特点： 强调物理直觉的数学严谨性： 每一项数学工具的引入，都紧密联系着其在广义相对论或量子场论中的物理意义。 跨越边界的融合： 深度整合了代数拓扑、微分几何、李群理论（作为背景工具而非主题）以及前沿的弦论和圈量子几何概念。 计算密集型案例分析： 包含大量关于三维和四维流形的具体计算示例，以巩固抽象概念的理解。 本书适合那些已经掌握标准广义相对论和量子场论基础，渴望从根本上理解空间与时空几何结构的研究人员。它不是一本关于“如何计算李群表示”的入门手册，而是一本关于“空间如何存在”的几何哲学与数学实践的深度探索。

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